1、,概率模型,概率模型,（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,随机模型,数学期望,离散型随机变量 X 的概率分布为,则随机变量 X 的数学期望值为,连续型随机变量 X 的概率密度函数为,则随机变量 X 的数学期望值为,期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！,传送系统的效率,在机械化生产车间里，你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进入稳
2、态后，请大家构造一个衡量传送系统效率的指标，并建立模型描述此指标与工人数量、钩子数量等参数的关系。,效率：工人所生产的产品数，传送系统带走的产品数，稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，当生产进入稳态后，工人生产一件产品的时刻再一个周期那是等可能，工人的生产是相互独立的。钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子为空钩。,模型的建立：工人人数n个钩子个数 m个带走的产品数s个定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内D带走的产品数/生产的产品数s/n,S的确定：与空钩个数有关从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。从钩子的角度
3、：钩子无次序，处于同等地位，在一周期内，m个钩子求出非空的概率p，则s=mp,P的确定任一只钩子被一名工人触到的概率：任一只钩子不被一名工人触到的概率：工人相互独立，任一只钩子不被n名工人挂产品的概率：任一只钩子非空的概率为,则传送系统效率为：d=s/n=mp/n=,当n10,m=40,报童的诀窍,问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。,1.确定设计
4、变量和目标变量,2.确定目标函数的表达式,每天的总收入为目标变量,每天购进报纸的份数为设计变量,3.寻找约束条件,寻找设计变量与目标变量之间的关系,设计变量所受的限制,问题分析,若每天购进 0 份，,则收入为 0。,若每天购进 1 份，,售出，则收入为 a-b。,退回，则收入为 (b-c)。,若每天购进 2 份，,售出1份，则收入为 a-b (b-c) 。,退回，则收入为 2(b-c)。,售出2份，则收入为 2(a-b) 。,收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量,则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。,1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),每天需求量为 r 的概率 f(
5、r), r=0,1,2,2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,模型假设与符号说明,求 n 使 G(n) 最大,每天的收入函数记为U(n)，则,收入函数的期望值为,建模,将r视为连续变量,模型求解,使报童日平均收入达到最大的购进量,应满足上式。,因为,售完的概率,因为当购进,份报纸时，,是需求量,不超过,的概率,是需求量 超过,的概率,售不完的概率,上式意义为：购进的份数,之比，恰好等于卖出一份赚的钱,与退回一份赔的钱,之比。,应该使卖不完与卖完的概率,根据需求量的概率密度,的图形可以确定购进量,在图中用,分别表示曲线,下的两块面积，则,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时
6、，报童购进的份数就应该越多。,结论,求解的几何意义,注意,求解技巧：连续化,建模方法：从特殊到到一般,归纳抽象,1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形2000年C题 飞越北极 球形到椭球形,人口模型，战争模型,随机变量的目标函数：期望值,航空公司的超额订票模型,利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？,举例,查概率积分表得,航空公司的 预订票策
7、略,1 问题的提出,航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。,试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。,2 问题分析,公司的经济利益,公司的社会声誉,利润 = 收入-成本-赔偿金,已订票但被挤掉的乘客的数量,怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。,问题转化为,以预订票数
8、量为决策变量的双目标随机规划问题。,订票策略：,为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。,3 模型假设,飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为常数 r。 机票价格按照 来制订，其中 是利润调节因子，如 表示飞机60%满员就不亏本。,预订票数量的限额为常数 m(n) ，每位乘客不按时前来登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。,每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。,4 模型建立,先不考虑社会声誉的影响。 公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量,订票的总人数是,，,有可能超出,航空公司可能从航班中得到的利润为,当有,个人误机时，,个人误机的概率是
9、 ，,平均利润 即 ( 数学期望值)，,设有,由,得,当 给定后，可以求 m 使 最大。,考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。 而由于被挤掉者的数量是随机的。 用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。 设被挤掉的乘客数超过 人的概率为 ，则,被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过 m-n-j 人。,从社会声誉和经济利益两方面考虑,n,m-n,j,m-n-j,所建模型为双目标的优化模型,模型变形,航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，即,计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设,5 模型求解,结果表明：当
10、超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和30%。,6 模型推广,1）酒店 酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再 接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会 要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种 方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多）， 而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。 这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。,3）图书馆 图书馆都有可
11、能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在 学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极 有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试 建立书籍使用的模型。,2）汽车出租公司 汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内） 以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预 测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可 能充分地留出比它们计划中要多的汽车。,求解双（多）目标的优化模型 根据对多目标的偏好程度，通过加权组合形式，化为单目标规划问题。 把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划问题。,7 注意,假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%会回到这类餐厅，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率，试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比。,课堂练习,学生就餐问题,
