1、第3章 立体的投影,31 基本立体的投影,第3章 立体的投影,32 平面与立体的截交,33 立体与立体的相交,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环, 3-1 基本立体的投影,由若干个平面围成的立体,由回转面或平面与回转面所围成的立体,31 基本立体的投影, 3-1 基本立体的投影,一、常见平面立体的投影,（一）棱柱体的投影,1. 分析棱柱体的形体特点,上顶面及下底面为多边形，各棱线平行且相等。,侧棱面,底面,棱线,底边,棱柱的棱线相互平行, 3-1 基本立体的投影,2. 画棱柱体的投影,先画反映实形的上、下底面（正六边形）的三个投影，然后将上、下底面对应顶点的同面投影连接起来。,注意
2、：绘制对称图形时，应先用细点划线画出对称中心线，以确定三个投影图的位置。, 3-1 基本立体的投影,需要说明的是：棱柱在投影体系的摆放位置不同，其投影也相应变化,主、俯视图长对正,主、左视图高平齐,左、俯视图宽相等,“三等”关系, 3-1 基本立体的投影,1.分析棱锥体的形体特点,（二）棱锥体的投影,底面为多边形，各棱线交于一点锥顶,棱锥的棱线相交于锥顶,侧棱面,底面,棱线,底边,锥顶, 3-1 基本立体的投影,2.画棱锥体的投影图,s,a,b,c,a,c,b,s,b“,a“(c“),s“,1)画底面的水平投影， 2)画底面的另外两个投影及锥顶的水平、正面、侧面投影， 3)分别将顶点与下底面各
3、点对应的同面投影连接起来， 4)作图完成。, 3-1 基本立体的投影,画平面立体的投影就是画出组成平面立体各表面及各棱线的投影，并将可见的棱线的投影画成粗实线，不可见的棱线的投影画成虚线。,总 结, 3-1 基本立体的投影,1.棱柱体表面上取点,在平面立体表面上取点时必须首先确定该点在平面立体的哪一个棱面上。,二、平面立体表面上取点、取线, 3-1 基本立体的投影,棱柱体表面上取点的作图方法,A,1)分析点位于哪一个棱面上， 2)利用面上找点的方法作图 3)判别可见性。,a“,a,(d“),(k“),n,分析,M SA,N SB,K SBC,m,m“,n“,k, 3-1 基本立体的投影,2.棱
4、锥体表面上取点, 3-1 基本立体的投影,1.圆柱体的形成,B,A,二、常见曲面立体的投影,（一）圆柱体的投影, 3-1 基本立体的投影,正面投 影外形 轮廓线,2. 圆柱体的投影,圆柱的 外形 轮廓线,侧面投 影外形 轮廓线, 3-1 基本立体的投影,作图方法利用圆柱面投影的积聚性,3. 圆柱面上取点、取线,a,A,B,（1）圆柱面上的点,一般位置点, 3-1 基本立体的投影,m,n,m,（2）外形轮廓线上的点,k,k,K,N,M,特殊位置点, 3-1 基本立体的投影,例：补全圆柱表面上点和线段的三面投影,1)分析点的位置 2)确定作图方法 3)判别可见性,e,a b,d,c,d,c,E,C
5、,D,A,B,( ), 3-1 基本立体的投影,1. 圆锥体的形成,（二）、圆锥体的投影, 3-1 基本立体的投影,2. 圆锥体的投影, 3-1 基本立体的投影,b,3. 圆锥面上取点、取线,a,b,a,辅助素线法,一般位置点,特殊位置点,辅助纬圆法,可直接作图,c,c,c,d,d, 3-1 基本立体的投影,例:补全圆锥表面上曲线的三面投影。, 3-1 基本立体的投影,1. 圆球的形成,（三）、圆球的投影,轴线,圆球表面无直线！,圆绕其直径旋转而成,球面,2.圆球的投影,最大正平圆,最大水平圆,最大侧平圆, 3-1 基本立体的投影, 3-1 基本立体的投影,作球的投影图,注意： 三个圆绝不是空
6、间一个圆的三个投影。,先画各投影的中心线，再画球的三面投影均为大小相等的圆。,球的投影特性：三个投影均为平行于投影面的最大圆的投影（转向轮廓线的投影）；圆的直径=球的直径；三个圆均无积聚性。, 3-1 基本立体的投影,3.圆球表面上取点,方法: 辅助纬圆法 利用球面上平行于投影面的圆作为辅助线。,即：过球表面上的点可任意作一个与投影面平行的圆。,k,思考：过球表面上的点可作几个与投影面平行的圆？, 3-1 基本立体的投影,例：补全属于球体表面的点、线段的三面投影,平面 基本体 截交线,平面体,本节重点：截交线求法,回转体,截平面,共有线,32 平面与立体的截交, 3-2 平面与立体的截交,截交
7、线的性质：是一封闭的平面多边形此多边形的每个顶点某棱线与截平面的交点此多边形的每条边某棱面与截平面的交线,求截交线的方法：棱线法截平面棱线=交点，顺次连成多边形棱面法截平面棱面=交线，组成多边形,一、平面与平面立体相交, 3-2 平面与立体的截交,例1:完成截头三棱锥的投影,A,B,C,P,a“,c“,b“,a,c,b,a,b,c, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤：1.分析形状，确定作图方法2.求截交线（先补全形体的投影）3.完成投影图截交线原来立体的投影,正垂面P,三角形,例2:求五棱柱被截切后的三面投影图。,c“,d,d“,e(f),f“,e“,作图步骤： 1.分析截交线的形状； 2.
8、求截交线（补全立体的左视图）； 3.完成投影图。 截交线 原来立体的投影, 3-2 平面与立体的截交,e,f,c,a,b,b“,a“,c(d),a(b),正垂面,六边形,例3：完成切口四棱锥的水平投影和侧面投影。, 3-2 平面与立体的截交,水平面,正垂面,作图步骤： 1.分析截交线的形状2.求截交线3.完成投影图,截面(一),截面(二),:四边形,:四边形,截面(一),截面(二),取有效部分,取有效部分,截交线,截平面的交线,原来立体的投影, 3-2 平面与立体的截交,例4：求立体切割后的投影, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤： 1.分析截交线的形状2.求截交线3.完成投影图,截面(一)
9、,截面(二),:四边形,:五边形,截面(一),截面(二),取有效部分,取有效部分,截交线,截平面的交线,原来立体的投影,例5：求立体切割后的投影,7“,11“,8“,8,7,11,1“,2“,10“,5“,6“,9“,4“,3“,9,6,10,5,3,(4),( 2),1,(5),10,(6),9,(7),8,11,2,(4),1,(3), 3-2 平面与立体的截交,9,10,11,5,例6：四棱柱被P、Q 截切，求侧面投影,P 为正垂面，p“、p为类似图形 四边形,投影分析,Q 为铅垂面，q“、q为类似图形 五边形,P,Q,按“三等”关系作图,p,q,1,2,3,4,1,4,3“,4“,2“
10、,求q“,5,6,7,5(6),(7),5“,6“,7“,(2),(3),求p“,类似图形,“三等”关系,检查,p,q,p“,1“,q“, 3-2 平面与立体的截交,截交线的性质：一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线围成的平面图形；其形状取决于回转面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。,二、平面与回转体相交, 3-2 平面与立体的截交,就是要找出回转体表面和截平面上的若干共有点，然后依次光滑的连接各点。,求回转体截交线的方法：,求共有点的方法： 1. 面上取点法；（回转面有积聚性时） 2. 辅助平面法；, 3-2 平面与立体的截交,圆柱体表面交线的形状：取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,（一
11、）、平面与圆柱体表面相交,一对平行直线 （截平面轴线）, 3-2 平面与立体的截交,圆 （截平面轴线）,椭圆 （截平面轴线）,应用举例：, 3-2 平面与立体的截交,平面与圆柱体截切的作图步骤：,3、完成投影图：（1）截交线；（2）原来立体的投影。,1、分析：(1) 截平面与圆柱体的位置关系；(2) 截交线的空间形状；(3) 截交线的已知投影、预见其未知投影。,2、作图：(1)求特殊位置点(直接作图)：(a) 轮廓线上的点；(b) 极值点；(c) 可见与不可见的分界点；(2)求一般位置点(面上取点法) ：(3)顺序连接成光滑曲线，并判别可见性；, 3-2 平面与立体的截交,B,C,D,A,a,
12、b,c,d,b,(d),c,a“,b“,c“,d“, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤：1.分析2.作图（先补全基本体的投影）特殊位置点一般位置点顺序连接成光滑曲线3.完成投影图截交线原来立体的投影,椭圆、面上取点法,a,E,F,G,H,e,e,f,e“,f“,g,(h),(f),g“,h“,g,h,例1 完成圆柱体切割后的投影。,正垂面,椭圆长短轴随截平面与轴线夹角的变化而改变,截平面与圆柱轴线成45, 3-2 平面与立体的截交,截平面与轴线相交时，椭圆的长短轴变化情况：,例2 完成圆柱体被平面P、Q 截切后的投影,P,Q,p,q, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤：1.分析2.作图特殊
13、位置点一般位置点顺序连线3.完成投影图截交线截平面的交线原来立体的投影,若增加圆柱孔结果将如何？,注意检查孔的轮廓线,无线!, 3-2 平面与立体的截交,例3:完成圆柱体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤：1.分析2.作图3.完成投影图截交线截平面的交线原来立体的投影,1“,2“,3“,4“,1(2),3(4),1(3),2(4),例5:完成圆柱体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,作图步骤：1.分析2.作图3.完成投影图截交线截平面的交线原来立体的投影, 3-2 平面与立体的截交,例4:完成圆柱体切割后的投影。,作图步骤：1.分析2.作图3.完成投影图截交线截平面的
14、交线原来立体的投影,1“,2“,3“,4“,1(2),3(4),1(3),2(4), 3-2 平面与立体的截交,例6:完成圆柱体切割后的投影。,作图步骤：1.分析2.作图3.完成投影图截交线截平面的交线原来立体的投影,例7:完成穿孔园柱的侧面投影, 3-2 平面与立体的截交, 3-2 平面与立体的截交,练习: 以下题目的截交线如何求呢？,圆锥体表面交线的形状：取决于截平面与圆锥轴线的相对位置,（二）、平面与圆锥体表面相交, 3-2 平面与立体的截交,双曲线,椭圆,抛物线, 3-2 平面与立体的截交,两相交直线 （截平面过锥顶）,特殊情况：,圆 （截平面轴线）,应用举例, 3-2 平面与立体的截
15、交,例1:完成圆锥体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,例2:完成圆锥体切割后的投影。,b, 3-2 平面与立体的截交,例3:完成圆锥体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,平面与球体的轴线不论处于何种相对位置，截交线均是圆。,（三）、平面与球体表面相交, 3-2 平面与立体的截交,应用举例, 3-2 平面与立体的截交, 3-2 平面与立体的截交,P,Q,例1:完成球体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,例2:完成球体切割后的投影。, 3-2 平面与立体的截交,例3:完成球体切割后的投影。,综合应用举例：,p,q,p“,q“,双曲线,P,Q,求与大圆柱的交线,求与小圆柱的
16、交线,求与圆锥的交线,加深, 3-2 平面与立体的截交, 作图（画截交线的投影）,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点同名投影顺序光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。, 先找特殊位置点，再补充一般位置点。,求截交线的步骤总结：, 空间及投影分析, 3-2 平面与立体的截交,截平面与立体的相交形式,单体单面,单体多面,多体多面,分别分析单面 与单体交线,截平面与截平面 之间的交线分析,体与体连接处的 交线分析, 3-2 平面与立体的截交,立体 立体 相贯线,本节重点：相贯线求法,33 立体与立体相交, 3-3 立体与立体相交,平平相交,曲曲相交,平曲相交,空间折线,曲线或直线构
17、成 空间折线,空间曲线,共有线,交线形状分析,求交线,实质是求平面体 各表面与回转体 的截交线,（一）、平面立体与曲面立体相贯, 3-3 立体与立体相交,讨论,平面立体为四棱柱孔,有虚线,分别求四棱柱孔与圆柱内外表面的交线,无线,交线不变, 3-3 立体与立体相交,1. 相贯线的性质,性质：相贯线上的点必为两回转体表面的共有点。, 3-3 立体与立体相交,（二）、曲面立体与曲面立体相贯,形状： 一般情况下，是封闭的空间曲线；在特殊情况下也可成为平面曲线或直线。,2.求相贯线的方法,（1）先求出相贯线上一系列共有点的投影。,（2）顺序地连接成光滑的曲线。,3.求共有点的方法,（1）面上找点法当一
18、曲面的投影有积聚性时,（2）辅助平面法, 先找特殊位置点,4.相贯线的作图过程, 补充一般位置点, 判断可见性，顺序连接成光滑的曲线, 3-3 立体与立体相交,极值点 轮廓线上的点,完成投影图,例1：利用表面取点法求相贯线,空间及投影分析,求相贯线的投影,利用积聚性表面取点法, 找特殊位置点, 补充中间位置点, 光滑连接,两空心圆柱相交 求内圆柱表面的交线, 3-3 立体与立体相交,轴,测,图,投,影,图,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,两圆柱相贯的三种形式, 3-3 立体与立体相交,例2：利用辅助平面法求相贯线, 3-3 立体与立体相交,y,PV,QV,RV,y,y,作图步骤
19、：1.相贯线分析2.求共有点辅助面：水平面特殊位置点一般位置点3.顺序连接成光滑曲线，注意其虚、实？4.完成投影图,作图步骤：1.相贯线分析2.求共有点特殊位置点一般位置点3.依次光滑连线并判别可见性4.完成投影图,辅助平面为水平面, 3-3 立体与立体相交,例2：利用辅助平面法求相贯线,相贯线一般情况:封闭的、光滑的、空间曲线。相贯线的特殊情况：不封闭的（两体共底面）不光滑的（有尖点）不是空间曲线是平面曲线（椭圆或圆）不是曲线是直线,（三）、相贯线的特殊情况, 3-3 立体与立体相交,相贯线,1.同轴回转体相贯相贯线为垂直于轴线的圆,相贯线,相贯线, 3-3 立体与立体相交, 3-3 立体与
20、立体相交,2.同切于球的两曲面立体相贯相贯线为椭圆, 3-3 立体与立体相交, 外形交线, 两外表面相贯, 一内表面和一外表面相贯, 内形交线, 两内表面相贯,相贯线 趋势分析,例1：补全主视图, 3-3 立体与立体相交,3. 两轴线平行的圆柱相贯或共锥顶的圆锥相贯相贯线为直线, 3-3 立体与立体相交,无线,4.两立体表面相切相切处无线, 3-3 立体与立体相交,5.两曲面立体有公切点相贯线产生尖点, 3-3 立体与立体相交,三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定
21、其有几段相贯线组成。,（四）、复合相贯线, 3-3 立体与立体相交,多体 相 贯, 3-3 立体与立体相交,例2：分析并想象出物体相贯线投影的形状, 3-3 立体与立体相交,本 章 结 束,用辅助平面法求共有点, 3-3 立体与立体相交,1. 方法原理,（1）任作一辅助面（如平面），使之与两曲面体均相交；,（2） 求作辅助面与两曲面体的截交线；,2.选择辅助面的原则,（1）辅助面的作图简单易画，为特殊位置平面。,（2）使辅助面与两曲面立体的截交线的投影都是简单易画的图形。,（3） 两截交线的交点即为共有点。,两圆柱相贯线的变化趋势分析,交线总弯向直径大的圆柱的轴线,等径圆柱,平面曲线, 3-3 立体与立体相交,两圆柱相对位置变化对相贯线的影响,
