1、命题教学的一个案例介绍-勾股定理的教学分析江苏教育学院数学系 章飞,一 目标确定 二 教学设计 三 思考,一目标确定 目标确定一般需要进行学情分析和学习任务分析,学习任务分析首先需要了解学习任务的地位和作用，这一般可以从数学学科结构和历史两个视角进行考察： 勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理 勾股定理在数学内部和现实生活中都有广泛的运用 方法多样，能引发学生对数学文化、历史的思考(方法的收集与分析) 发现、证明过程蕴含着丰富的数学探索活动，这些都可以成为丰富学生数学活动经验、发展学生探究能力的一个契机,教学目标： 经历勾股定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展学
2、生的推理能力； 掌握勾股定理，并能利用它们解决简单的问题； 通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。,二 教学设计,一般有这样几个教学环节： 情景引入 探究结论 明晰结论 应用巩固 课堂小结 课外练习,1 情景引入 激发兴趣或者揭示学习的意义（必要性） 案例1：外星交流 案例2：毕氏传说 案例3：问题驱动,2探究或验证,2自主探索 合作交流,（1）请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表格，探究规律。,直角三角形三边数量关系,（2）图中正方形A、B、C的面积是否还具有类似的结论？,分割成若干个直角边为整数的三角形,勾,股,弦,3明晰结论,直角三角形两直角边的平方
3、和等于斜边的平方。 如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。,勾股定理,4应用巩固,5课堂小结 1、你这节课的主要收获是什么？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？ 3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？ 4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？,6课外练习 案例：勾股定理探究后的课后习题,教学设计中几个环节的思考： （1）探究到什么程度？ 这主要决定于学生的学力水平。 一般状况； 可以适当发展的； 学生基础很好的；案例：青朱出入图,（2）假如力图多个角度感受勾股定理的发现或证明方法，如何组织？ 一气呵成还是分步呈现？ 如何
4、处理各种方法，既让学生感受到其立体丰富，又保证一定的层次？案例,（3）如何设计有关运用问题 基本层次：直角三角形是现成的，正反运用 拓展的方向1：没有直角三角形，需要构建直角三角形 拓展的方向2：向三维空间拓展,三 一些思考 教学需要预先设计，设计在于你的准备。 教无定法，在于得法。得法的关键在于适应你的学生。 教学对象不是整齐划一的，需要关注不同学生的发展。某种教学设计，都是基于总体状况作出的一个选择。如何设法给不同的学生以空间，是我们需要关注的问题。,谢 谢 ！,三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。,2002年
5、世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。,收集: 方法一,约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。,方法二,希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著几何原本给出一个公理化的证明。,1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。,方法三,据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。,将4个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角
6、形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2,图1,图2,方法四,在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。,做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明,方法五,方法六,美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”。,如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：,化简为：,方法七,意大利著名画家达芬奇的证法：,分析, 运用了哪些数学知识？, 体现了哪些数学思想方法？, 如何进行简单的
7、归类？相互之间有什么样的关系？如果选用，如何恰当地建立联系？,对某一验证方法,三种类型：,第一种类型：算两次(用两种不同的方法得到同一个几何图形的面积)以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。,c,b a,毕达哥拉斯的证明。,图1,图2,美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”。,如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：,化简为：,意大利著名画家达芬奇的证法：,这种类型,体现了以形助数、数形统一的思想,有助于发展学生的数形结合意识。,意大利著名画家达芬奇的证法：,第二种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任
8、何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。,印度、阿拉伯的无字证明。,第三种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。,返回,毕达哥拉斯（公元前572前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.,（一）听故事，想问题,黑白相间的地砖,A,B,C,从现实问题引入，引出探究勾股定理的必要性： 情境a：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 情境b：某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能顺利通过该隧道吗？ 情境c：如图（图略），圆柱高30厘米，底面直径10厘米，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从下底面的A处爬到上底面的B处，它怎么爬最近，最近距离是多少？ 情境d：等腰三角形ABC中，底边BC的长为6，腰AB的长为10，你能求该三角形的面积吗?,这种引入方式，关注探究的必要性，但如何探究，学生给学生思路启示，怎么办？如何引导到方格纸上的探索活动？ 学生最为直接的做法是什么？-尝试、猜测-测量-测量能得到吗？如何引导？,
