1、1对数函数例题解析考题 1计算对数函数 对应于 取 、 、64、128 时的函数值。xy4log164解析当 时， ；6x 2l164当 时， ；4l4ly当 时， ；x3og4当 时，128 .27log2l18l74 y点评本题主要考查学生利用对数运算法则，准确地进行对数运算的能力，在计算过程中要将算式转化为公式结构，从而熟练地运用公式。考题 2如图是对数函数 的图象，已知 值取 ，则图象xyaloga10,534相应的 值依次是（ ）431,CaA 、 、 、 B 、 、 、510341053C 、 、 、 D 、 、 、3解析当 时，图象上升； ，图象下降，又当aa时， 越大，图象向右
2、越靠近 轴； 时， 越小，图象向右1ax10越靠近 轴，故选 A。x点评这类问题还可这样求解，过点(0,1)作 轴的平行直线 （如图）与xl的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种4321,C求解方法简单易记。考点 3已知 ，且 1，函数 与 的图象只能是图中的（ ）0axay)(loga分析可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数 对图象的影响。a解法一：首先，曲线 只可能在上半平面， 只可能在左半平面上，xay)(logxya从而排除 A、C。其次，从单调性着眼， 与 的增减性正好相反，又可排除 D。x)(logxa2解法二：若
3、 ，则曲线 下降且过点(0,1)，而曲线 上升且过10axay)(logxya，以上图象均不符合这些条件. 若 时，则曲线 上升且过(0,1) ，而曲线),1( 1x下降且过 ，只有 B 满足条件。logxya),(解法三：如果注意到 的图象关于 轴的对称图象为 ，又)(logxayal与 互为反函数（图象关于直线 对称） ，则可直接选定 B。lxy x答案B点评函数图象是一个重要的问题，可从定义域、值域、单调性、对称性及特殊点入手筛选，对常见函数图象一定要掌握好。考点 4已知 ，那么 的取值范围是 。12logaa分析利用函数单调性或利用数形结合求解。解由 ，得当 时， ， ；当 时，aal
4、l121a10a， 故 ，或21a.210.0答案 或点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于 1 还是小于 1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答，理解会用以下几个结论很有必要：（1）当 时， ；a 0log,10logxxxaa（2）当 时， ，10.la考题 5设 ， .)()(l2xfa（1）求 ；（2）求证： 在 上为增函数.)(xf R解析 （1）设 ，则)(logtxta ).0(t于是 .1)()22tttf 因此 ).(2xaxfx（2）设 ，1则 )()()( 11222 xxaff .21122xxaa ,0.,212xx即 ， ，.02112xx 0
5、a 即)(ff )(1ff 在 上为增函数。R3点评问题（1）中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论 的单调性，这里 ，若条件改为 ，xay10a0a且 ，该如何解答？a考题 6求下列函数的定义域：（1） ).1,0()log1axya解析要使原函数有意义，需 ,)(l1a即 .og)(logax当 时，1,0 .当 时， ,x .x当 时，原函数定义域为 ；1a0|xa 时，原函数定义域为0.点评函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解.考题 7设函数 ).(12lg()Rxaxf （1）若 的定义域为 R，求 的取
6、值范围；)(xf（2）若 的值域为 R，求 的取值范围。解析 （1）因为 的定义域为 R，所以对一切 恒为正数，由此)(f 12,xax可得 ，且 ，解得0a04a.1（2）因为 的值域为 R，所以真数 能取到一切正实数，由此可得)(xf 2a，且 ，解得.点评本题很多同学容易把（1）与（2）混为一谈，常用求解问题（1）的方法去处理问题（2） 。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以及二次、对数函数性质的应用。考题 8 （1） 的大小顺序为（ ）43log,l34A B C Dllogl344343logll433log4ll33 lllog43344（2）若 ，试比较 的大小.12a
7、b babalog,log,解析 （1） 13l0,4log43， 选 B。)(43log1 .43ll（2） ， ab.0ba ).1,0(log),(l,0logabab又 ，且 ， 故有1,llogb.lloglababa考题 9 （1）若方程 的所有解都大于 1，求 的取值范围；4)l(l2xa（2）若 ，求 的取值范围.)32(la解析 （1）原方程化为 .)lg)(l(gxa若使 ，则需 ，原方程等价于.04lgllg22xx 10,0)4(lg21,3,)(l)l(aa解得 . 的取值范围是.10|a（2） ,1)3(log2a .log32ll1 aaa当 时，有 为增函数，.
8、1 ，结合 ，故23a1.2当 时，有 为减函数，03loga .3a ，结合 ，3.0 的取值范围是a2|考题 10若不等式 ，当 时恒成立，求实数 的取值范围.log2xax )1,0(a解析要使不等式 在 时恒成立，5即函数 的图象在 内恒在函数 图象的上方，而 图象过点xyalog)21,0(xy2xy2.由图可知， ，显然这里 函数 递减，又)2,1(la ,10aalog,l2a ，即 所求的 的取值范围为12.)(2aa.1)2(a点评原问题等价于当 时， 的图象在 的图象的下方，)1,0(xxy21xyalog由于 的大小不确定，当 时，显然 ，因此 必为小于 1 的正数，当 的图象aaa2y通过点 时， 满足条件，此时 那么 是大于 还是小于 才满足呢？)2,1(2y.)2(000a可以画图象观察，请试着画一画，这样可以对数形结合的方法有更好地掌握。
