1、数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16 种放缩技巧，30 道典型例题及解析，供日后学习使用。1、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项2、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质3、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘4、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论5、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和典例 1已
2、知数列 ， ， ， 。na01a)(1*221Nnan（）求证：当 时： ；*N1n（）记 ，求证)1()(1)1(1 22 nn aaaaT 。)(3*Nn解析（）令 ，得 （*） ；1n12a又 ， ，两式相减得 ，212nna21nn 011nnaa即 与 同号（*） ；n11n由（*） 、 （*）得 ；1na（）令 ，得 ；n252由（）得 单调递减，即 ；na312an所以 ；1222 )()1(nnT即 。321)3(231)3()(3112 nnnn典例 2已知数列 满足 ， 。na51 *1,Nnan（）求 的通项公式；na1（）设 的前 项和为 ，求证： 。nnS58n解析（
3、）由 得 ，即 ；nna321 2131na)1(231nna所以 是公比为 的等比数列，首项为 ，所以 ，即 ；1na2323nna)23(11)23(na（）由（）得 ；1342nna)3(21)(所以 321)(78452)3()(3145421 nnnnaS 6.1890.98)3(9845 n典例 3设数列 满足 ， 。na1)(*Nnan（）证明： ；)(232*n（）求正整数 ，使 最小。ma2017解析（）因为 ，且 ，即数列2221 1)(nnnn a 011nna递增，所以 ，则 ，累加得na1an 321na，即 ，即 ；221)(3)(2 2312n（）由（）得 ，且2
4、211nnaa；4)1(212212 nnnn aaa累加得 212201526201672017 )()()( a)411(40311206 2262 naa ；3.40)(34n即 ，所以 ；.02017a 640925.403.6017a所以正整数 ，使得 最小。64mma2017（2）放缩成差比数列再错位相减求和典例 1已知数列 满足： ， ，求证：na1)()2(*Nnaan。1123na解析因为 ，所以 与 同号；nna)(11na又因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以数列 为01a0n 021nn na1na递增数列，所以 ，即 ；1aa累加得： ；121nn令 ，所以 ，两式相减得
5、：12nnS nnS2123，所以 ，所以；nn1132 1nn 123nna故得 。11nna典例 2已知数列 与其前 项和 满足 。nnS)2(1)(1aSan（）求数列 的通项公式；na（）证明： 。)(31*Nnakn解析（）设 公差为 ，所以 ，解得 ，所以 ；nd2)31()7(1d1na因为 ，所以 ，两式相减得 ；)(1(nbaS nnbaSnb将 代入原等式，解得 ，所以 ；a1n（）由（）得 ， ，所以 （糖水原理） ；nnbnnnb211所以 ，有错位相减法得 ，所nknkba211 k n2 21)(3以 ， 。312nknk *Nn（3）放缩成可裂项相消再求和典例 1
6、已知 。求证： 。)(12*nan )(312*321 Nnaan解析即证 ；)2()2()( 131 na因为 ；)(111nna所以；)1212(31321 nna即证 ；)2(13n记 ，下证 ；1nb3)(21nb因为 ；12)12()12(12 nnnnnb所以)3()( 1433221 nnnb ，即原不等式成立。1)3(1n典例 2已知数列 满足 ， 。na21 )(1(*1NnSann（）求证： 是等比数列；n（）求证： 。161321naa解析（）因为 ， ，两式相减得 ；)(1Snn )1(2nSn 231na所以 ， 是公比为 3 的等比数列；31nana（）由（）得 ；
7、1n因为 ；)13(21)3()3(3111 nnnnnnna所以 )1(28 14321 nnna 165)38(5n典例 3设 是数列 前 项之积，满足 ， 。nMna1naM*N（）求数列 的通项公式；n（）设 ，求证： 。221nnMS 3115naS解析（）因为 ，所以 ，即 ，所以 是nana1nMn1公差为 1 的等差数列，首项为 2，所以 ，即 ，所以1n；nMan（）设 ，因为1aST，即 是递增数列，所以0)21(2)(21 nnnn nT，即不等式左端成立；1531Tn又因为 122TTnnn 2543)(1)()1( 222 1)(43()1(4322 nn 25)(1
8、()51 1)1543(21342( nn，即不等式右端成立；321)()1 n综上， 。325T（4）数列和比大小可比较单项典例 1已知数列 满足 ， 。na521*1,3Nnan（）求 的通项公式；na1（）设 的前 项和为 ，求证： 。nnSnn)32(156解析（）由 得 ，即 ；nna321 21na)1(21nna所以 是公比为 的等比数列，首项为 ，所以 ，即 ；na23nn)3(1)23(n（）设 为数列 的前 项和， ；nTnb 321)(5)3(156nnnT所以 ，要证 ，只需证 ，即 ；1)32(5nnbnSnba1)()2(nn即 ，显然成立；)(1n所以 ，从而 。
9、nbannTS)32(156典例 2已知 ，圆 ： 与 轴正半轴的焦点为 ，与曲线*NnC)0(22nRyxyP的交点为 ，直线 与 轴的交点为 。对 ，证明：xy),1(QP),(naA*N（） ；21na（）若 ， ，则 。inS1niT12357nTS解析（）由点 在曲线 上可得 ，又点在圆 上，则Nxy)1,(nNnC， ，从而 的方程为 ，由点221)1(nRnnRM1nRyax在 上得： ，将 代入化简得),(NM1nnan，则 ；na1 211nn a（）原不等式化为 ，将不等式左右两端分别看成数列 、nTSTnn23257nb的前 项和，则只需证 ，即 ；nccab2357na
10、因为 ，故 ，所以有04)1()2(2xx 21x；nn cnna 32又因为当 时，有 ，即 ，10x0x 0)32()12()(2( xxx即 ，即 ；因为1)1)2()(212 ，所以 ，所以有 ；n0n nnan 572综上， ，即nncab2357nTS二、公式、定理（1）利用均值不等式典例数列 定义如下： ， 。证明：na21a121nna（） ；na1（） ；nn21（） 。121nnaa解析（）由 ， ，得 ；0)(21 nnn 1ana1（）因为 ，所以 ，)(1nnanna1累乘得 ；nnna 21111 )(（）先证 ；21na由 ，得 ，即 ；)(1nna nnnn a
11、a1)(11 1nna累加得 ，即不等式左端成立1112 aaann再证 ；nn21因为 ，所以只需证 ，即 ；121 nnaa nna11 na1因为 ，即 ；nnaan 12121 nn1所以 ，即不等式右端成立；nn121综上， 。1112nnaa（2）利用二项式定理典例已知数列 满足： ， 。na1)2(132nan（）求数列 的通项公式；n（）设 ， ，证明： 。*Nm2mnamn1)()21(2解析（）设 即 与)(31xxann 123nnca比较系数得 ，即 又123naca(2)(1n，故 是首项为 公比为 的等比数列，故 ；1na3nna23（）即证 ，当 时显然成立。易验
12、证当且仅当mmn1)()232n时，等号成立；设 下面先研究其单调性；)1()23nbmn当 时， ； )1()231()11 nmnbmn 所以 ，所以 ；即数列 是34)(3)()23(11 mmn 1nbnb递减数列；因为 ，故只须证 ，即证 ；2nb12m1)(2因为 故上不等式成立；49251)( 2Cmm综上，原不等式成立。（3）利用不动点定理求数列通项典例 1已知函数 ，数列 满足 ， ，4716)(xfnba, 0,1b)(1nnaf， 。)(1nnbf*N（）求 的取值范围，使对任意的正整数 ，都有 ；1anna1（）若 ， ，求证： ，3141b180nnab*N解析（）因
13、为 （*） ，即 ，解得761nnna 0724na，所以 ；下证： 时，恒有 。270na201201an1因为 ，且 ，即 与 同号，所以174671 nnn aa271nna恒有 ，由（*）得 ；20na1综上， ；71（）由不动点定点得 与 均是以 为公比的等比数列；21a71b91所以 ， ，所以 ，即不等式左端成立；)9(714nna2)9(4nn 0nab又因为 nnnnnnnab )91(7)91()91(7)91()()(11819)718(9)718(91)(718(9)(719 nnn；累乘得 ，即不等式右端成立；11)88nnnabab综上， (0*1Nnn典例 2已知
14、函数 ，数列 满足 ， ， 。54)xfna1)(nnaf*N（）求 的实数解；0(xf（）是否存在实数 ，使得 对所有的 都成立？证明你的结论；c122nnac*N（）设数列 的前 项和为 ，证明： 。nanS4Sn解析（） ， ；41x12（）由（）及不动点定理得 是以 为首项， 为公比的等比数列；4na20316所以 ，显然 ，所以 取奇数时有 ， 取偶数时有203)16(4nna0na4na，即存在实数 ，使得 对所有的 都成立；4c122nnc*N（）由（）得 ；453)16(7nna先证 ；41nS只需证 （ 为奇数） ，即 ，即21an 21453)16(4753)16(47nn
15、；2153)6(453)16(4nn因为 为奇数，上述不等式化为 ；2153)6(4)1(nn因为 ；21)6(18)()(53)6(453)16(4 2 nnnnn所以， 成立，即不等式左端成立；Sn再证 ；1n只需证 ，由（）得 为偶数时， ，成立；)(*Nann14na为奇数时， ，即 为奇数时， 成立；1322 ann na所以， 成立，即不等式右端成立；1S综上， 。)(4*Nn（4）利用二次函数性质典例在正项数列 中， ， ， 为 的前 项和，且na)0(1t312anSa2341SSnn（）比较 与 的大小；2016a2017（）令 ，数列 的前 项和为 。121nnbnb42t
16、Tn解析（）令 ，则有 ，所以062016272015634SS，即 ，所以 ；2016201720156)(3SS 2016272016a201720163a（） ， ，221121 94)(nnnn aaab )(221naaT所以 ， ，)3(nta29t。2212 41)()()91( tttTnnn 三、累加、累乘（1）累加法典例 1已知数列 ， ， ， 。na01a)(1*221Nnan（）求证：当 时： ；*N1n（）记 ，求证： 。nnaS21 )(2*nSn解析（）令 ，得 （*） ；12又 ， ，两式相减得 ，212nnaa21nna 011nnaa即 与 同号（*） ；n
17、11n由（*） 、 （*）得 ；1na（）因为 ，所以累加得211nn；即 ，即 。)()()( 221 naa 2nS)(2*NnSn典例 2已知 ，数列 的首项 ， 。xf2n1)(nnaf（）求证： ；na1（）求证： ， 。2121na *,Nn解析（） ，所以 ；221 nnnaa 01na因为 ，所以 ，所以 ；21a021n n1（）由递推关系可得 ， ；1a432所以（*） ；1267411 22 aan又 ，得 ，即 ；nn21 )(1nna 11nna所以 （*） ；211 113221 nnnaa 结合（*） 、 （*） ，得， 。2112naa *,Nn典例 3已知数列
18、 满足 = 且 = - （ ）n11n2n*（）证明：1 （ ） ；12na*N（）设数列 的前 项和为 ，证明 （ ）.2nanS112()2()nSn*N解析（）因为 ，所以 ，即数列 递减，所以021nnana1n；又因为 ，即 与 同号，所以 ；21an )(n )(0*所以 ，即 ；11na)(2*1Nan（）因为 ，累加得 ；12nna 11nnnaS原不等式化为 ，即 ，即)1(21)2(nan 21)(na，即 ；12anan因为 ，即 ；)1(21nnna 11nna又因为 ，所以 ，即 ，0n 2na21n累加得 ，12211aannn 所以 ，即 ，所以 。)()(11n
19、 n)1(2)(21nS（2）利用类等比数列累乘典例 1设 ，给定数列 ，其中 ， ， 。求证：3anaa1)1(21nna*N。12nna解析因为 ，所以 ；)1(2)1(21 nnn aa 21)(21nna累乘得， ，即 。112nnxa *1Nnn典例 2已知数列 满足： ，且 ，设n,01a321nna。1)(nab（）比较 和 的大小；211（）求证： ；121nab（）设 为数列 的前 项和，求证： 。nTnb52aTn解析（）因为 ，所以03121123122121 aaaa；121a（）因为 ，所以 ，即 ；0n 41)2(21 nnnaa nna1因为 ， ，所以 ，na2
20、321nn nnnnab 2121)()( 即 ；故 ；21nb 1123121 nnnaaab（）由（）中 可知，nn41 2163)(6nnnn a，且 ，所以 ；)3)(4(11nnnaa 04311nnna2nb又因为 ，所以 ，累乘得 ；所以nn1 2216nn 2126n，516)(3)(3)(63 22212121221 aaaaaT nnnn 即原不等式成立。典例 3已知函数 ，数列 ( 0) 的第一项 1，以后各项按如下方23)(xfnxnx式取定：曲线 在 处的切线与经过y)(,1nf（0，0）和（ ）两点的直线平行（如图）求证：当)(,nxf时，*N（） ；1223nnx
21、x（） 。21)()(n解析 （ ）证明：因为 所以曲线 在 处的切线斜23,fx()yfx1,()nfx率 123.nkx因为过 和 两点的直线斜率是 所以 .(0,),()nf 2,nx22113nnnxx（）因为函数 当 时单调递增；2hx0x而 ；22113nnnx214n211()nnx所以 ，即 因此1n1,nx112().nnxx又因为 令 则122(),nnxx2,nny1.2y因为 所以 因此211,y1()().2nn 21(),nnx故 2()().nnx典例 4设数列 满足 ， ，其中 。证明：na01*31,Nncan 310c（） ；)()3*Ncn（） 。cnaa
22、312221 解析（）因为 ，所以 与 同号，)1)()(21 nnnn ac 1nan因为 ，所以 ；所以 ，10a)(*Nnacacann3)1(12累乘得 ，即 ；1)3()(nnnc)()3*1Nn（）由（）得 ；所以12129nna122212221 )9()(9)3()(3 nnn cccca ，即原不等131)(32 cnn式成立。四、证明不等式常用方法（1）反证法典例 1设 ，给定数列 ，其中 ， ， 。求证：2anaa1)1(21nna*N（） ， ；1n*N（）如果 ，那么当 时，必有 。3a34lga31n解析（）用数学归纳法可证 ；2na因为 ，所以 ；1)(1)(1)
23、(21 nnna na1即 ；*1,Nn（）反证法：若当 时，有 ；34lga31n因为 ， ，且由（）得 单调递减；a1 43)1(2)1(21 nnana所以 ，即 ，与假设矛盾，所以当 时，必有 。nna)43(134lg34lg31na典例 2已知数列 的各项均为非负数，其前 项和为 ，且对任意的 ，都有n nnS*N，且 。求证： 。21na1nS)1(201an解析先用反证法证明 ；1na若当且仅当 时，有 ；knk1令 ，则有 ，因而与 矛盾，假设不成立；112ka21kka若当 时，有 ；)(,*Nmknn1令 ，则有 ，再令 ，则有 ，因而与kka1mk12mkka矛盾，假设
24、不成立；21mkmka若当 时有 ，则 ，且,nna1 121 )(kknkk aSaaS由题意得 ，当 时， ，因而与 矛盾，假设不成立；01kan1结合上述得，假设不成立，原命题成立，即 ；)(0*1Nnan再用反证法证明 ；)1(21nan若存在 时，有 ，即 ；k)(1kk )1(2)1(2kakak由题意得， ，所以 ；21nnaa )1(21321 kaak累加得 ；)()()(2kmkkmk所以 )1(2)1(2)(21 kkkaSk 2)()1()( kk当 时，有 ，因而与 矛盾；nknSnS假设不成立，原命题成立，即 ；)()12*1Nan综上， 。)()20*1Nan（2
25、）数学归纳法及利用数学归纳法结论典例设数列 满足 ， ，证明对 ：na31)(1*21Nnan *n（） ；2n（） 。2112naa解析（）数学归纳法：令 ， ，命题成立；1n23a假设 时，命题成立，即 ；k2ka令 ， 成立；1n 31)2(1)(12 kaakkkk由得， ；)(2*Nnan（）由（）中数学归纳法中间步骤得 ，即 ；所以121kka21k 21)()(11 11122 aaaa nnn五、其它方法（1）构造新数列典例设数列 满足 ， 为 的前 项和。证明：对na)(1*21Nnan nSa，*Nn（）当 时， ；10a10na（）当 时， ；11)(n（）当 时， 。2
26、1anS解析（）由于 （*） ；043)21(21 nnnaa又由于 ，即 ，即 与 同号，且 ，)(1nna1nn 1nan01a所以 （*） ；n结合（*） 、 （*） ，得 时，有 ；10a10na（）因为 ，且 ，所以 ，即 是单调递增数列；21)(nn1na1n由（）得 ；11aann所以 ；1112112211 )()()( nnnnn aaaaa （）由（）得， ，所以 ，所以 ，1,0211,0n nnaSn2)1(即不等式右端成立；令 ，由（） （）得 ；nnab1 )(*1Nbn由 ，可得 ；21nn 12nn从而 ；21)()()( 11321221 bbbbb nnn
27、又 ，故 ，即 ；221n 2n )(2*Nn注意到 ；)1(12nnb故 ；nnn 2)()2()0(21 即 ，即 ，即不等式左端成立；SnnSn综上，当 时，有 。21an2（2）看到“指数的指数”取对数典例已知数列 满足： ， 。证明：na231)(*21Nnan。1122n解析先证 ；12na因为 ；2221 )1()1(nnnn aa两边取以 2 为底的对数，得 ，即 ；)21(log)21(log2nnaa 2)1(log2na累乘得 ，所以 ，即不等式左端成立；11212 )(l)(lognnna 12n再证 ；123nn因为 ，所以 ；021nna2311an所以 ，即 ；2
28、221 nnn 21)(nn两边取以 3 为底的对数，得 ，即 ；nnaaloglog313log31na累乘得 ，所以 ，即不等式右端成立；13132l2lognna 12nn综上， 。)(*211 Nnnn（3）将递推等式化为递推不等式典例 1已知数列 满足： ， 。na21)(06*2Nnaan（）求证： ；n1（）求证： ；2017a（）若 ，求正整数 的最小值。nk解析（）由于 ，且 ，所以 ；20161nna 021na1（）由（）得 ，所以 ，即 ；1nannnaa201621 2016n累加得 ，所以 ，即 ，即 ；20161an2017a1207a2017a（） 取最小值时，
29、有 ， ；k1kk所以 ，即 ；1112 20670606kkkk aaa kka20176所以 ，即 ；111217 kkkkkk 20171ka累加得 ，所以 ，即 ，即 ；2011ak 2018a1208a2018由（）得， ，所以当 时，有 ，所以 最小值为 2018。2017k20182017k典例 2已知数列 满足： ， 。证明：na1)()*2Nnan（） ；21)(an（） 。n32解析（）因为 ，所以 ；0)1(21ann 11an所以 ；22121 )()()(ann（）先证 ；n因为 ，所以 ；2121 )()(nanan 21)(nan累加得 ；所以22131an nn
30、n 1)312(1)(31()2(2 即 ，不等式右端成立；a再证 ；3)1(2n因为 ，所以 ；12)1(21 nan 2)1(na所以 ，所以 ；)2()(121 aannnn )2(1nan累加得 )43()1(431 ann 即 ，即 ，所以 ，即不等式左端21n )(21an )1(2na成立；综上， 。nn3)(（4）符号不同分项放缩典例已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程na21ka， x的两个根，且 2(3)20kkxxA2(13)kka ， ， ，（）求数列 的前 项和 ；na2nS（）记 ， ，求sin1()32f(2)(3)(4)(1)145621fff fnnTaaa证： 5)64nT*N 解析（） ， ， ；02(3kxkx31k2所以 ；)4();,(12kknakn；2)1(2323963( 32 nnnS（）由（）得 ；ann121先证 ；245nT因为 ， ， ；)(f2)3(f1)4(f所以 nn aaaT2187654321 n3643 )2121(34654n；215)121(2453 nn再证 ；6nTnn aaa21876543211 )21(366 43232 nn ；611)21(1 2223 nn综上 。)(24561*NnT
