1、函数对称中心的求法解析湖北省广水市第一中学（432700） 刘才华题目 函数 的图象是中心对称图象，其对称中心为_.32()67fxx一、利用定义求对称中心 分析 根据中心对称图形的定义，在函数 图象上的任意一点 关于对称中心()fx(,)Axy的对称点 也在函数 的图象上.(,)ab(,)Axy()fx ，即 . ，2ayb2aby2,)Aaxby代入函数式有： ,32()()(6()7fxax化简得： ，322 32616781yxaaxb与 是同一函数，则对应系数相等，2()7f故 ， ， ，即函数 的对称中心为232617817aba13b()fx.(,3)点评 利用中心对称的定义求解
2、是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心 分析 在函数 的图象上取点 、 ，它们关于对称中心 的对称点分别()fx(1,3)2, (,)ab为 、 也在函数 的图象上.(21,3ab2,)abfx ，相减则 ，32(1)(6()7)a 26(53)0a 或 .又若对称中心为 ，则 关于 的对称点 应在函3ab213(,1)2(0,)(,1)2(,9)数图象上，而 ， 不是对称中心，故对称中心为 .()9f(,) (,3)点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足
3、一般的点，因此还要继续检验，排除增解. 三、巧构奇函数求对称中心 分析 把函数 变形为 ，设函数 ，()yfx3(1)()yx3()ygx为奇函数，其对称中心为 ，又将函数 的图象按向量 平()ygx0,O3yx1,)a移刚好得到 ， 的对称中心是由 的对称中心3(1)()x()yfx()x按向量 平移得到的，即为 的对称中心为 (0,)O,a1,3()yf,3)点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.四、巧用导函数求对称中心 分析 如右图示，若函数 的对称中心为 ，且点()fx0(,)xy1(,)xy和点 是函数图象上关于对称中心对称的两点，由对称性知，函数2(,)xy在 ， 处的切线斜率相等，设斜率为 ，则 ，1 k2()36fxk 的两根为 ， ，则 ， .2360xk1x2120x1又 .函数 的对称中心为 .0()13yff()f(,)点评 这里充分利用对称中心的性质：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函数，导函数的对称轴就是对称中心的横坐标，从而求出对称中心.1x2O0
