1、基于阶梯教室地面设计的数学模型阶梯教室地面升起高度的设计关系到学生是否会被前面的同学挡住视线，能否顺利看到黑板，对学生的学习影响很大。本文将从实际出发，画出阶梯教室的纵剖图，做出合理的假设：只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以认为不会存在遮挡视线问题。从而将问题巧妙的转化为几何问题，然后利用几何中的相似，斜率关系等简单的数学知识有效的推导出了阶梯教室地面升起曲线的函数表达式。并且，本文采集了学校阶梯教室的一些原始数据对模型的合理性进行了检验，最终证明模型是合理的，所求出的函数表达式证明了学校阶梯教室视线遮挡现象普遍的根本原因，也可以在一定程度上为学校阶
2、梯教室地面升起高度的设计提供有用的理论指导。关键词 ：阶梯教室 地面设计 地面升起曲线 数学模型吴峰教育技术学学号 2012170401091. 问题重述在阶梯教室上课的时候，经常发现自己被前面的同学挡在视线，问了下其他同学，发现这并不是我一个人所遇到的烦恼。显然，教室内的学生都在朝黑板上看，如果阶梯教室内的地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边同学必然会遮挡后面同学的视线。虽然学校的阶梯教室已经有了一定的坡度，但既然已经将教室做成阶梯型，就应该做到很好的无遮挡性。而如何确定阶梯教室地面的坡度曲线就成了问题的关键，为了学校能够更好的设计出令人满意的阶梯教室，我将试着利用所学的数学知识，建立数学
3、模型来研究良好的阶梯教室的地面所应满足的坡度曲线。2. 问题分析以黑板最低处的任一点 O 为原点，以地面的水平线为 x 轴，其垂直方向为 y 轴，建立坐标系，其中黑板的最低处的点 O 也称为设计视点。 （其它符号见符号说明） 。我们可以从下面绘出的阶梯教室的纵剖面图看出，只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以假设为不会存在遮挡视线问题。从而问题即为求任一排 x 与设计视点 O 的竖直距离函数 y=y(x),使此曲线满足视线的无遮挡要求。3. 模型假设（1） 阶梯教室地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。（2） 同一排的座位在同一等高线上。
4、（3） 每个坐在座位上的同学的眼睛与地面的距离相等。（4） 每个坐在座位上的同学的头与地面的距离也相等。结合假设（3）知每位同学的头顶到眼睛的距离相等4. 符号说明a ：第一排同学与设计视点的水平距离b ：第一排同学的眼睛到 x 轴的垂直距离: 第一排同学的眼睛到地面的距离1 : 黑板（最下边往上 10cm 处）距地的距离2 h ：台阶高度n ：相邻两排的排距d ：同学的头顶到眼睛的垂直距离x ：任一排与设计视点的水平距离Y ：台阶距离地面高度5. 模型建立与求解模型一由前面假设，每位同学的眼睛与地面的高度差都是一样的，因而我们可以用同学的眼睛曲线来代替所求的坡度曲线 y=y(x)，而真正的地
5、面高度 Y=y+ 2 1设眼睛的升起曲线满足微分方程 (x， y),则其应满足初始=条件：y |=从第一排起，同学的眼睛与 O 点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。选择某排同学 M（x ， y）及相邻排 ，考虑，做出下图，由曲线 y=y（x ）是凹的，可以看出，在 M 点其中 K 是斜率。由图易得= MN = AB = d11 故= =1+1 +又由 MA 与OMC 相似，有1=故MA =代入= = ，即有+ 1 + 对于 ，由 与ONC 相似于，知2 222+ = +故2 = +(+) = + +从而2 = 2 = + + 所以可写成 +
6、 故同学的眼睛连起来的升起曲线 y=y（x）所应满足的条件为：令 1 = 1 + 1|=解得： （ x）=1 + 令2 = 2 + + 2|= 解得： （ x）= d（ -1）2 + 由 的解我们可以初步给出同学眼睛升起曲线 y(x)的取值范围，即（x） d（ -1） + + 在此，采用工程上常用的折衷法，取y =1 + 2 2 从而有y= （ -1） + 2 故所求地面相对于设计视点所在 x 轴升起的高度曲线为：Y = y + = （ -1）+ 2 1 + 2 2 1模型二如下图，以设计视点 O 为原点，以地面的水平线为 x 轴，其垂直方向为 y 轴，建立坐标系，设所求曲线的方程为 y =
7、f (x)。图中点A 为阶梯教室中任意一排（最后一排座位除外）同学的眼睛，其视线为 OA，点 B 是该同学身后一排同学的眼睛，其视线为 OB。如果过点 A 的垂线与视线 OB 相交于点 P，则 PA 就是同学的头顶到眼睛的垂直距离 d。再设点 A 的横坐标为 x ，两排座位之间的距离为 n，则点 B 的横坐标为 x +n，于是由三角形相似得即d=PA = (1) ( + ) + ()这便是所求曲线y = f (x) 应满足的函数方程。为使问题简化，我们把它化为一阶微分方程（如果要提高精确程度，可将其化为二阶或高阶微分方程）：由泰勒公式得f ( x + n ) f(x) + f( x ) n代入
8、（1）式，整理得f(x) (2)() = + 方程（2）是曲线y = f (x)应满足的一阶微分方程。下面我们来求解这个方程，先求解齐次微分方程f(x) = 0() 得f(x)= x 1再用常数变易法令f(x)= (x)x 1则有f(x)= (x)x+ (x) 1 1把f(x)和f(x) 都代入(2),得(x)=1( 1 + 12 ) 于是有（x）=1从而得到 ( )=( 1 1 ) + 故Y=f(x) + =+ 2 1 2 1即为所求阶梯教室地面升高曲线的数学模型。6. 模型检验为了检验模型的合理性，也为了弄清楚为什么很多阶梯教室都会出现视线遮挡现象，我在教二 101 和敬文讲坛等阶梯教室进
9、行了数据的采集，数据采集结果如下表(单位：厘米)说明：由于教二 101 前面四排座位是平铺的，因而测量 a 时直接选取第四排与黑板的距离作为模型中第一排同学的眼睛到黑板的距离。教室名称 a b n d h t s教二 101 718 -23 88 15 12 120 143敬文讲坛 887 -24 106 15 16 126 150其中 与 分别为第一排同学的眼睛到地面的距离和黑板（最1 2下边往上 10cm 处）距地的距离,所需量 b= - ，由于敬文讲坛第一12排就有半层台阶故 值略高于其他教室。1对于模型一，代入各参量得到地面升高曲线为教二 101：y= （ -1）23718 + 158
10、8 718 152 718 敬文讲坛：y= （ -1）24887 + 15106 887 152 887 对于模型二： ( )=( 1 1 ) + 解出 C,得到= ( ) ( 1 1 ) 利用初值,得到教二101 ：C=-1.1321 ，从而 ( )=( 1 88 1 ) 151.1321 敬文讲坛：C=-0.9707，从而 ( )=( 1 106 1 ) 15-0.9707 由 Matlab 程序算出模拟值，得下表各阶梯教室地面实际高度与模拟高度数据如下（相对于模型中的 x轴）教二 101实际值模型一模拟值模型二模拟值敬文讲坛实际值模型一模拟值模型二模拟值第 1 排 -23 -23 -23
11、 -24 -24 -24第 2 排 -11 -10 -9 -8 -10 -10第 3 排 1 4 5 8 4 5第 4 排 13 18 21 24 20 22第 5 排 25 35 38 40 37 41第 6 排 37 52 56 56 56 60第 7 排 49 71 76 72 76 81第 8 排 61 90 96 88 96 102第 9 排 73 110 117 104 118 124第 10 排 85 131 139 120 140 148第 11 排 97 153 161 136 163 172第 12 排 152 187 197第 13 排 168 212 222第 14 排
12、 184 237 248根据表格数据画出散点图如下教二 101 阶梯教室0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6-0.0500.050.10.150.2敬文讲坛阶梯教室0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6-0.0500.050.10.150.20.250.3其中.， +， *图分别为真实值，模型一模拟值和模型二模拟值。分析：对于教二 101 阶梯教室：前面 23 排真实值与模拟值比较接近，但随着 x 的不断变大，真实值与拟合值间的差距不断增大，且趋势很明显，这在一定程度上符合了实际情况（教二 101 阶梯教室的视线遮挡现象很明
13、显，前排因为有四排是水平的，也存在很明显的视线遮挡，且越靠后越容易被挡住视线）对于敬文讲坛：前面六排座位真实值与模拟值吻合的比较好，但从第七排开始，逐渐出现差值，且逐渐增大 ，到第十排以后差距变得很明显，事实上，在上数学软件课的时候，我有意的在不同的座位上观察后发现，前面 56 排视线存在少量的视线遮挡现象，但不会影响上课，而后面的座位存在视线遮挡，且越靠后越明显，但比较二 101 教室的情况要好很多，这在很大程度上证明了模型的合理性，也进一步解释了为什么很多阶梯教室会出现视线遮挡现象。无论是教二 101 还是敬文讲坛，模型一与模型二的模拟值相差不是很大，且与真实值的差值相比甚至可以忽略不计，
14、这也从一定程度上表明模型一与模型二在一定程度上可以相互替代。学校的教室相对来说比较小，况且因为上课的需要，地面不宜升起过高，从而升起的高度有限，这也是学校的阶梯教室与模型的模拟值相差比较大，视线遮挡现象很普遍的原因。因为敬文讲坛视线遮挡现象相对于教二 101 少，且数据与模型吻合的程度更高，因而下面我们选取敬文讲坛的数据对模型一进行各参数的灵敏度分析。地面升高曲线方程为y= （ -1） + 2 其中 b,d 一般可变化程度不大，因而我们主要考虑 a 和 n对于敬文讲坛：y= （ -1）24887 + 15106 887 152 887 现将 a 的值分别减少、增加 5%，得到= （ -1）12
15、4842.65 +15106 842.65 152 842.65 = （ -1）2 24931.35 +15106 931.35 152 931.35 画出函数图如下0 500 1000 1500 2000 2500-100-50050100150200250300350其中曲线由上而下分别为现将 n 的值分别减少、增加 10%，得到= （ -1）124887 + 1595.4 887 152 887 = （ -1）224887 + 15 116.6 887 152 887 画出函数图如下0 500 1000 1500 2000 2500-100-50050100150200250300350
16、400局部放大图如下1400 1600 1800 2000 2200 2400 260050100150200250其中曲线由上而下分别为分析： 由图像知，地面升高曲线与 a 及 n 均成负相关，但 a 值变化对曲线影响不大，而 b 值的改变在前面几排没什么影响，但当座位距离黑板 15m 以后，b 值的改变对地面升起曲线影响比较大。这在一定程度上说明，取适当的 a 值后可以优先考虑增大 b 值，即增加台阶的宽度，从而可以有效减少视线遮挡现象。7. 模型评价模型优点：1. 模型一和模型二均从已有的数学知识出发，进行严格的推导，得出所求阶梯教室地面升高曲线。2. 模型来源于生活，具有很强的适用性。
17、3. 模型给出了具体的地面升高曲线，为今后阶梯教室的设计及座位的设计（发现旧体育馆的座位有些是错位的，有些不是，有效地较少了视线遮挡现象，只可惜没测到数据）提供了强有力的理论指导。4. 模型从根本上解释了很多阶梯教室出现视线遮挡的原因。模型缺点1. 有些数据的测量可能不是很准确。2. 模型简化了很多，如每个人的身高差别较大，模型中并没有深入考虑。8. 模型的改进与推广进一步深入研究地面升高曲线与参数 a 及 n 的关系，充分考虑不同学生身高的影响等可对模型进行一定程度上的改进。该模型具有很强的实用性，通过适当更改参数值，可推广到电影院或观众厅地面升高高度的设计，座位的合理编排，有效减少因地面升起而对音质造成的影响等。【1】
