1、 第7卷 中国教育发展研究杂志 Vo17 2010年4月第4期The Research Journal Of China Educational Development No4 2010 浅谈多元函数求极限的一般解法和特殊解法 李文浩张跃 西南交通大学峨眉校区 四川峨眉山614202 【摘要】多元函数的多自变量性，决定了多元函数求极限的复杂性和多元性，本文通过对常用方法的介绍，引出几种 多元函数的特殊解法，加深对多元函数极限的求解思考与理解。 【关键词】函数连续性夹逼准则极坐标法特殊罗比塔法则球面坐标法 1求多元函数极限一般方法。在一般方法中主要介绍 常规运用的解法：利用多元初等函数的连续性法
2、、夹逼准则 法、重要极限的性质法以及有理化法、变量代换法。 11利用多元初等函数的连续性法。多元初等函数的 和、差、积、商及其复合所得的函数仍是连续函数，在其定 义域内拥有函数值等于极限值的特性，只需把所求点P(Xo，Yo) 带入函数即可。 册1 +厢J l + J 解：当4xy20函数才有意义，由于(1，0)在定义域内 的点，f(x，y)在(1，0)处连续： 【 +眄 ， ：In(1；2+一e)+2：ln2+2 l+0 I2利用夹逼准则法。在x,y的变化过程中，若 五 ) f(x， ) (五y)且 y) A， )- (其中 A为常数)，,lJf(x， )_ ，这样用两边夹逼原理求极限往 往适
3、用于可以变换绝对值不等式的函数极限中。 例题2、求l：i m ：十2y 。 解：因21xyl0，都 满足：存在 )当0o，又1im 所以，由夹 挤定理得到：；li：m l xy+ I=。，l；i：m3 号 。 22球坐标法。 直角坐标与球面坐标关系是： x=：rrcsoisnS ssininq 【z=rcos 设f(x，y)在点( o，y0)的某去心邻域内有定义，则limx-*x0， YY0，f(x，y)=A的充要条件是：恒有lim r一0， +f (rcos0+x0rsin0+yo)=A，为与0取值无关的一确定常数。 嘲、求 篱 解：这里很明显应采用球坐标法，xo=3，yo=2，根据推论 二
4、可得： 1 f(rcosO+3，rsin8+2) ，U ：lim 塾 二 ，_0(，COS0+33) +(rsin0+22) =l，i 。 ! =lii l(rcosOsina)llm lira rCOS SIn0：01P = 一= = ， 则 =o 注：由于多元函数的自变量多，对于判断其极限存在与 否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难。因此， 我们可运用球面坐标把多元函数极限转化为一元函数极限 来求，特别含有 一 ) 一 ) 形式应首先联想球坐标 法。 23特殊罗比塔法则。罗比塔(LHospita1)法则是 计算一元函数待定型极限的一种有效方法。以旦型为例，直 0 接对上下直接求导，
5、即可求得极限，但是在多元函数中往往 会是错误的，然而我们能否增加适当的条件，构造出能使罗 析：很明显，如果按照一元函数求极限方法，此题为旦 0 型，直接用罗比塔法则，可以求出：；li m内df (x,yy )= ，但是 实际上 不存在，此例也说明一元函数中的罗比塔 法则在多元函数中的局限性。 正解I：当xO，y-O时，f(x，Y)、g(X，Y)lg-o 而 =t+ = 一妾=2 =-2 lim 0 +O 告 cz一。 + c 一 妻c 一。 + c O = 0 结果不确定，原函数极限不存在。 解法2：通过沿坐标轴不同方向趋近0，会得到极限和 未知数k的关系，随k的变化极限也不相同，也可说明极限
6、 不存在。 注：一般多元函数的罗比塔法则是利用多元函数未定型 极限的罗比塔法则，具体应满足：设函数舡，y)、g y)在点 (xo，yo)的某个去心领域上有定义且有连续的偏导数，并且 (xy)一(Xo，Yo)时，f(x，Y)、g(x，Y)都趋于零(或趋近 予无穷大) 姜(一。)+ (y )0 f (X-Xo)+ 一 ) g 一Xo)+ ( yo) dx 。(k为有限或无穷 = 大)lim ：七 ； g 说明：1)当Xo,Yo均为无穷大时，(3)式改为 limLr +y珊 法则仍然舭 2)在条件中，( ， ) ( ，Y。)(或趋近于无穷大)， g(x，Y)一oo，法则仍然成立。 更正：2010年3月第3期第84页数控机床第一课一文作者王毓蓉地址安徽省冶金技术学校应改为安徽省冶金技工学 校。特此更正! 22 1，1I1 _ 一
