1、题目:基于 NOTEBOOK 的生猪最优出售时机的建模与分析一 问题思维视图：1. 系统要素：投入资金、生猪体重增量、猪肉出售价格2. 要素关联：纯利润=收入-投入-成本=生猪现在的体重*生猪现在的售价-每天成本的投入*时间-生猪的初始体重*生猪的初始售价3. 问题脉络形象化：该饲养场什么时候出售这样的生猪会使利润最大？一饲养场每天投入 4 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头 80kg 重量的生猪每天增加 2kg。目前市场生猪出售价格为 8 元/kg，但是预测每天会下降 0.1 元。给出如下简图：每天投入 4 元成本每天增重2kg售价 8kg/斤售价每天下降0.1 元重80kg二数学刻画
2、：1.给定每天投入 4 元资金使生猪体重每天增加常数 r（=2kg）；生猪出售的市场价格每天降低常数 g(=0.1)。2.给出如下符号列表：符号 t w p C Q R含义 时间生猪体重单价 t 天资金投入纯利润 出售收入单位 天 kg 元/kg 元 元 元三推演：假设 r=2，g=0.1，t 天后出售，则：生猪体重：w=80+r*t（r=2）; 出售单价：p=8-g*t;出售收入：R=p*w； 资金投入: C=4*t;于是利润为：Q=R-C-8*80.从而得到目标函数(纯利润)：Q(t)=（8-g*t）(80+r*t)-4*t-640 （1）其中，求 t（=0）使 Q(t)最大。这是二次函数
3、最值问题，而且是个现实中的优化问题，故 Q(t)的一阶导数为零的 t（t=0）值可使 Q（t）取最大值。先求 Q(t)一阶导数：matlab 求解如下：syms t;Q(t)=(8-g*t)*(80+r*t)-4*t-640;y=diff(Q(t),t)y =- r*(g*t-8) - g*(r*t + 80) - 4 再令 y=Q(t)=0，求出 t 值：matlab 求解如下：g,t,r=solve(-r*(g*t-80)-g*(r*t+80)=4,g=g,r=r)g =z1t =(40*z1 + 2)/(z*z1)r =z 即： t=(4*r-40*g-2)./(r*g ) (2)在这个
4、模型中：取 r=2，g=0.1，则：Q（t）=（8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640）目标函数 MATLAB 作图如下：ezplot(8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640,0,20)hold onxlabel(t 坐标); ylabel(Q(t)坐标); 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2002468101214161820t坐坐(8-0.1 t) (80+2 t)-4 t-640Q(t)坐坐从图象可知 t=10 时，Q（t）max=10。即 10 天后出售，可得最大利润为 20 元。四超参数：设每天生猪的降低 g=0.1 元不变，研究 r 变化的
5、影响，由（2）式可得：t=（40*r-60）./r, r=1.5 （3）MATLAB 作图如下：ezplot(40*r-60)./r,1.5,3)hold onxlabel(r 坐标);ylabel(t 坐标);1.5 2 2.5 302468101214161820r坐坐(40 r-60)/rt坐坐设生猪体重的增加 r=2kg 不变，研究 g 变化的影响，由（2）可知：t=（3-20g）./g, 0 =g=0.15 (4)MATLAB 作图如下：ezplot(3-20*g)./g,0.06,0.15)hold onxlabel(g 坐标);ylabel(t 坐标); 0.06 0.07 0.
6、08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15051015202530g坐坐(3-20 g)/gt坐坐由上述 2 个关系图可知：r 是 t 的增函数，t 是 g 的减函数。于是可以用相对变量衡量结果对参数的敏感程度。t 对 r 的敏感度记作s(t,r)，定义为：s(t,r)=( t./t)/( r./r)(dt./dr)*(r./t) (5)由（3）式，当 r=2 时:s(t,r)60./(40*r-60)=3 (6) 即生猪每天的体重 r 增加 1%，出售时间推迟 3%。类似定义 t 对 g 的敏感度 S（t，g），由（4）式，当 g=0.1 时可出：s(t,r)=
7、( t./t)/( g./g)(dt./dr)*(g./t)=-3./(3-20g)=-3 (7)即生猪价格每天的降低 g 增加 1%，出售时间提前 3%。五超模型：研究 r，g 不是常数时对模型的影响：w=80+r*t w=w(t)p=8-g*t p=p(t)Q（t）=p（ t）*w（t） -4*tQ(t)=0p(t)*w(t)+w(t)*p(t)=4每天利润的增值 每天投入的资金 综上可知，出售的最佳时机是保留生猪直到每天利润的增值等于每天的费用时为止。由于本案例:S（t，r）=3，如果 1.8 w 2.2(10%),则7 t 13（30%）建议一周后（t=7）重新评估 p,p,w,w,再做计算。六评注：总而言之，这个案例短期内还是有很大的研究价值。由于本案例在t=10 天时，它就能使利润最大化，说明这个案例在短期内实用性很强。因为生猪体重增量和市场价格变动的变化不会出现巨大的变动。但是如果当 t 取很大时，这个案例就有比较大的局限性。因为生猪的价格可能会受外来同类产品的冲击、各种替代产品的影响以及节日的影响等等，这些都将会使案例估算出现很大偏差。
