1、普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分. 1若集合 ， ，则 . R,|2yxAR,sin|xyBBA2. 若 ， ，则 .253sin2cot3. 函数 （ ）的反函数 .xxflog1)(1)(1xf4. 若 ，则 .5205 aa 521a5. 设 R，若 表示焦点在 轴上的双曲线，则半焦距的取值范k12kxyy围是 .6. 设 R，若函数 是偶函数，则 的单调递增区间是 .m1)(32mxxf
2、 )(xf7. 方程 的解 .log259log2xx 8. 已知圆 : （ ）和定点C02kyyR，若过 可以作两条直线与圆 相切，则 的取值范围是 .1,PC9. 如图，在直三棱柱 中， ，1BA90， 若 与平面 所成的角为 ，则三棱锥BCAA116的体积 为 .110.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为 ，则 出d2,10现 的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）.11. 设地球半径为 ，若 、 两地均位于北纬 ，且两地所在纬度圈上的RAB45弧长为 ，则 、 之间的球面距离是 （结果用含有 的代42 R数式表示）.12. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 时，R)(xfy)(2(xf
3、f1x；21)(xf函数 ，若 ，则 ，函数 零点.0,lg)()(xgfxF10,5)(xF的个数是 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13.若 ，则下列不等关系中，不能成立的ba0是（ ）.)A(ba1Bab1C31baD214.设无穷等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 .则“ ”n1qnnS1qa是“ ”成立的（ ）.1limnS充分非必要条件 必要非充分条件 )A( B充要条件 既非充分也非必要条件CD15. 设 是直二面角，直线 在平面 内，直线 在平
4、面 内，且 、l aba与 均不垂直，则（ bl）.与 可能垂直，但不可能平行 与 可能垂直，也可能平)A(aBab行与 不可能垂直，但可能平行 与 不可能垂直，也不可CbD能平行16. 设 是两个非零向量 、 的夹角，若对任意实数 ， 的最小值为 ，abtbta1则下列判断正确的是（ ）.若 确定，则 唯一确定 若 确定，则 唯一确定)A(aBb若 确定，则 b唯一确定 若 确定，则 唯一确定CDa三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满
5、分 8分已知 R，函数a|)(xaf（1）当 时，解不等式 ；f2（2）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.x0)(x1,a18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分已知椭圆 ： （ ）的左、右两个焦点分别为 、 ， 是12byax0a1F2P椭圆上位于第一象限内的点， 轴，垂足为 ,且 ，xPQ621， 的面积为 .935arcos21FP21F3（1）求椭圆 的方程；（2）若 是椭圆上的动点，求 的最大值, MMQ并求出 取得最大值时 的坐标.Q19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6
6、 分，第 2 小题满分8 分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为 8.7，总重量为 .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.3/cmg85kg（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材 0.11 千克，共需要多少千克防腐材料（结果精确到 ）01.20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分.已知数列 的各项均为正数，且 ，对于任意的 ，均有na1a*Nn， .1412nanblog2n（1）求证： 是等比数列，并求出 的通项公式；（2） 若数列 中去掉 的
7、项后，余下的项组成数列 ，求nnanc；1021cc（3）设 ，数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 （1nnbdndnTm） ，使得 、 、 成等比数列，若存在，求出 的值；若不存m1Tmn在，请说明理由.21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分.已知函数 ,若存在实数 、 （ ） ，使得对于定义域内的任)(xfymk0意实数 ，均有 成立，则称函数 为“可平x )()xff )(xf衡”函数，有序数对 称为函数 的“平衡” 数对.k,（1）若 ，判断 是否为“可平衡”函数，并说明理由；mxfsin)(（2
8、）若 R， ，当 变化时，求证： 与 的a0a2)(xfxag2)(“平衡”数对相同；（3）若 、 R，且 、 均为函数 的“平衡”1m22,14,2mxf2cos)(数对.当 时，求 的取值范围.40x21普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分） 1-6:：4 分； 7-12：5 分。1 . 2. . 3. （ ）. 4. 31. 5. . 6. .,02471x2c,07. 1. 8. 或 . 9. . 10. . 11. . 12. .k06213R15二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）题号13 14
9、 15 16答案B B C D三、解答题17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7分【解】 （1）当 时， ，所以 （*）a|)(xfxf)(x|1若 ，则（*）变为， 或 ，所以0x 01)202； 若 ，则（*）变为， ，所以2xxx由可得， （*）的解集为 。,1（2） ，即 其中 0)(xf02|xaxa121,2令 = ，其中 ，对于任意的 、 且 g121,1,221x则 2121)(xxxg21x由于 ，所以 ， ， ，所以21014021x所以 ，故 ，所以函数 在区间21x0)(21xg)(xg上是增函数,所以 2g，即
10、,故9)(x31g3,29)(xga3,18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分【解】 （1）在 中，由21FP935arcos21得 935cos21 6sin21FP因为 的面积为 ， ,所以21FP21.3sin2121解得 2 分在 中，由余弦定理得，121FP，所以 ,故211222 cosFPF 32PF，32于是 ,故 4 分，由于 ，所以3421aac,b故椭圆 的方程为 132yx（2）设 ，根据题意可知 ，故 ,由于0,P23021yF20y,所以 20y7 分，将 代入椭圆方程得， ，解00y13x得 ，由于 ，
11、所以 ，故 的坐标为 8 分 令xx2xQ0,2，则 ,所以yM,132y43y， 2xQ7x3582其中 11 分，所以当 时， 的最大值为322MQ，故 的最大值为 13 分，此时点 的坐标为3816M12. 0,19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分【解】设正六棱柱的底边边长为 ，高为 ，圆孔的半径为 ，并设螺帽的表面ahr积为 ，根据三视图可知， ， ， ，则（1）设螺帽的体积表S105r为 ,则 ，其中Vh底底 2260sin16ra 36高 ，螺帽的体积 ，0h1051V个2532168.7.（2） 2260sin16r
12、aahS表 ha225316210610（千克）05376 答：这堆零件至少有 252 个，防腐共需要材料 千克。 520. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分.【解】 （1）由 得 ，由于412nnaa221nna0na故 ，即 ，所以1nn )(1nn 1n故数列 为等比数列，且 ，所以na21a2a（2） ，故 ， 21lognbbn1其中 （常数） ，所以数列 是以 为首项、 为公差的n 等差数列, ， ， 1ab2764106b2307由（1）可得， ， 因为 ，a58 12764ab807所以 10
13、21cc 721072b)(372172490821201nnbd1nn12n 1251312nTn 其中 , ， 2mT假设存在正整数 （ ） ，使得 、 、 成等比数列n1Tmn则有 ，即 ,所以 ， nmT122301423解得 ,又因为 , ,所以 ,此时 ,626*N12n所以存在满足题设条件的 、 mn21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分.【解】 （1）若 ，则xfsi)(kxkkxf sin)( kxcosin2要使得 为“可平衡” 函数，需使故 对于任意实0co1数 均成立，只有 3 分，
14、此时 ， ，故 存在，x21cosk3kZk所以 是“ 可平衡”函数xfin)(（2） 及 的定义域均为 R2xag)(根据题意可知，对于任意实数 ， 2222 kxkm即 ,即 对于任意实数 恒成立22kxm0kx只有 ，故函数 的“平衡”数对为0, 2)(f 0,2对于函数 而言， xag2)(kxkxkx am 2所以 kx， ， 0222mamkx 02ak即 ，故 ，只有 ，9 分，所以函数 的 xag2)(“平衡”数对为 0,2综上可得函数 与 的“平衡”数对相同2)(xf xag2)(（3） ，所以coscos221 xm xm221sinco，所以 44222 x2由于 ，所以
15、 ，故 ,0x1cos2x2tan0,1sec2m211tan2t5tan4t2 xx， 5tan5x由于 ，所以 时，401tan02x56tan52x，所以83tan212x2m82017 届奉贤区高三数学调研测试题（满分 150 分，完卷 时间 120 分钟） 一、填空题(本大题满分 54 分 )(本大题 1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分) 考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1已知集合 ， _.2,1,23ABAB2已知复数 满足 ,其中 是虚数单位，则 _.z)(iiz3方程 的解 _.lg)3l(x4已知 o(0,1)af，且 2)
16、(1f，则 )(1xf_.5若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_.x2aa6若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 _.py2152yxp7中位数 的一组数构成等差数列，其末项为 ，则该数列的首项为1005_.8如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为 1，那么这个几何体的表面积_.9互异复数 ，集合 ，0mn2,nm则 _.10已知等比数列 的公比 ，前 项的和 ，对任意的naqnnS主视图俯视图 左视图, 恒成立，则公比 的取值范围是_.*nN0nSq11参数方程 表示的曲线的普通方程是_.2,0sin1co2y
17、x12已知函数 ，若函数 在区间 内单,fwxRfx,调递增，且函数 的图像关于直线 对称，则 的值为_.fx二、选择题(本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分13对于常数 m、 n， “ 0”是“方程 21mxny”表示的曲线是双曲线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14若方程 ()20fx在 (,)内有解，则 ()yfx的图像可能是（ ）15已知函数 是奇函数，则 （ 2sin,()co(),xf0x(,2)）A B C D02
18、 2316若正方体 的棱长为 1，则集合1234134中元素的个数（ ）1|,12,341,234ijxABjA1 B2 C3 D4三、解答题(本大题满分 76 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 （第 17-19 每个满分 14 分，第 20 满分是 16 分，第 21 满分18 分）17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分已知圆锥母线长为 5，底面圆半径长为 4，点 是母线 的中点， 是底面圆的MPAB直径，点 是弧 的中点CAB（1）求三棱锥 的体积；OP（2）求异面直线 与 所
19、成的角M18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 9 分，第 2 小题满分 5 分已知函数 ，且 logxaxf 0f（1）求 和 的单调区间；a（2）解不等式 12ff PMA BOC19 （本题满分 14 分）本题共有 1 个小题，满分 14 分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P观测到灯塔 AB舍在一直线上，并与航线成角 轮船沿航线前进 米到达 C处，此时观测到灯塔 在北偏西 45方09b向，灯塔 B在北偏东 方向， 求 C （结果用09009的表达式表示） ,b20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7
20、分，第3 小题满分 6 分过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 、 两点，其142yxPlAB中 是 的中点.PAB（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 ，求直线 的方程；2,0xl（3）求证： 是一个定值O21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第3 小题满分 8 分设数列 的前 项和为 .若 ，则称 是“紧密数列”.nanS*12naNna（1）若 是“紧密数列” ，且 ，求 的取值范围；n 4,3,21xx（2）若 为等差数列，首项 ，公差 ，公差 ，判断 是否为“紧aad10an密数列”；（3）设数列 是公比为
21、 的等比数列.若数列 与 都是“紧密数列” ，求nqnS的取值范围.q2017 高三数学调研参考答案填空题 1（1-6，每个 4 分）1 21i3 45 12x5 61a填空题 2（7-12，每个 5 分）7 8 239 1011,0,11 122,02xyx2选择题（每个 5 分）13C 14D15D 16AD OC BAMP三、解答题（17-19 每个满分 14 分，20 满分是 16 分 ，21 满分 18 分）17 （1）点 是弧 的中点， ， 2 分CABOCAB面 4 分PO三棱锥 的体积 7 分14382V（2）如图，建立空间直角坐标系， ， ， 9 分0,4,A0,4B4,0C
22、0,3P30,2,M10 分34,2MC0,3PO33892cos 934MCPO 13 分 所以异面直线所出的角是 14 分389arcos也可以用平移法:连 ，过 作 交 于点 ，连 MODAODC又 ， 又 2543P2M542O， 等于异面直线 与 所成的角或其补/CP角可知 , ，MD25254tan3DPMA BOCx yz异面直线 与 所成的角MCPO45arctn318解：（1） 1 分2(1)log()fa所以 2 分24a所以 或 3 分 3()舍所以函数 2()logxf又因为 4 分 40x得 ， ，所以定义域 5 分(2)1x (0,)D所以 的单调递增区间为 6 分
23、2log()f设 ()4xt任取 120=12()(4)xxt7 分1221124)x x因为 为增函数， ，xy2120,x12()0tx1221()loglfftt9 分x所以 的单调递增区间为 9 分2()l(4)xf(0,)（2） 得1f12fxf11 分2log()log()x 1 144()48xxx所以 ， 12 分23x13 分log所以不等式的解集为 14 分2(0,log3)19环节 分值 答题表现0 分 没有体现建模意识1 分 画出大致示意图或有等价文字描述，如图 12-5 分 画出大致示意图或有等价文字描述，将已知的 4 个数据标在图中，每个 1 分，如图 2建模（满分
24、7 分）6-7 分 画出大致示意图或有等价文字描述，已知的 4 个数据标在图中，在解题过程中将 AC 和角 B 正确地用相应的量表示，1个 1 分，如图 30 分 结果与求解均不正确2 分 求解过程正确，并且 AC 和角 B 不正确4 分 求解过程正确，并且 AC 和角 B 之一正确求解（满分7 分）7 分 求解过程正确，并且 AC 和角 B，BC 正确图 1 图 2 图 3解：在 中， ， APC0450135PACsiniiisin(135)b所以 = 2 分i()AC2sico解法 2：作 ，设HPACx， ， ，04522cotPHx， 2 分cot2xxb1tb（2）因为 4 分00
25、018459B又因为 ，所以09B在 中 ACsiniAC所以 = 7 分iBsinco()b若 = 不扣分sni02i451ts()20解(1)令 得 204yxyx所以双曲线的渐近线方程为 3 分2(2)因为 P 在双曲线上，所以 ， ，041x02x又因为 P 在双曲线右支，所以 5 分设直线 :2()lykx联立方程组 消元得 2()14ykx2 2(4)(2)4()0kxkxk6 分又因为 ， 7 分122()kx得 8 分k所以直线 9 分:lyx当 不存在时， 与渐近线的交点的中点为 不合题意 10 分2(2,0)所以直线 的方程为l(3)设直线 与渐近线 与 分别交于 yx2x
26、12(,)(,)AxyB所以 中点 ，即 12 分 AB121(,)P12(,P在双曲线上， 13 分121(,)xx21124xx得 14 分12又因为 = 为定值 16 分OAB12125|5|xx解法 2：当直线斜率不存在时， ， ， 11 分0,AB5OAB当直线斜率存在时，设直线 :2()lykx， 2()ykx00,xy12 分002,yB若 是 的中点. ， 13 分PA0002kxyx04xky14 分0145AOk15 分01452AkxyOB16 分02k21解：(1) 2 分312142xx 4 分23(2)因为等差数列 ， na10ad所以 5 分1()0nad即证 恒
27、成立*2nN即证 6 分1na 所以 8 分102nnd12nna 1()()(1)0dd所以 10 分1na所以 是为“紧密数列”也可以作差法：因为等差数列 ， na 111122n nadd5 分1nda6 分因为等差数列 ， 所以 n10ad1()0nad7 分12na8 分 111122nn nadda10nd10 分(3)解：(解法 1)由数列 是公比为 的等比数列， ，naq1naq因为 是“紧密数列”，所以 na1211 分 当 时 ， ， ，所以 1 2.1q1nSan12 1nS故 时，数列 为“紧密数列”，故 足题意 12q分 当 时， ，则 . 11nnaqS1nS1nq13 分 因为数列 为“紧密数列”，所以 2 对于任意 恒成立 nS12 nS1nq*nN() 当 时， ，12q1nnq即 对于任意 恒成立 n*N14 分因为 ，301,021,21nqqq所以 ， ，n 3124n 所以，当 时， 对于任意 恒成立 15 分12q21nq*nN() 当 时， 12nnq即 对于任意 *恒成立 16 分12nqN因为 ，所以 解得 .1,2,20nqq21q1q又 ，此 时 不存在 17分 综上所述， 的取值范围是 . 18q1,2分
