1、高中数学基础知识点 (备考精简版 ) 编者 ： - 1 - 高考数学基础知识点 (备考精简版 )(第二版 ) 高中数学基础知识点 (备考精简版 ) 编者 ： - 2 - 目录 第一章 集合与命题、充要条件 . 01 一 、 集合 . 01 二 、 命题 . 03 三 、 充要条件 . 04 第二章 不等式 05 一 、 不等式的基本性质 05 二 、 不等式的解法 05 三 、 基本不等式 07 四 、 不等式的证 明 （理 ） . 08 第三章 函数的基本性质 . 09 一 、 函数的有关概念 09 二 、 函数的三要素 10 三 、 反函数 . 11 四 、 函数的基本性质 12 第四章
2、基本初等函数 19 一、正比例函数、反比例函数及其变型 .19 二、二次函数的概念与性质 . 20 三、幂函数、指数函数与对数函数 . 24 四 、 抽象函数 . 28 第五章 三角比与解斜三角形 . 30 一 、 任意角的有关概念 30 二 、 同角三角比 31 三 、 三角比恒等式及其应用 33 四 、 解斜三角形 34 第六章 三角函数与反三角函数 . 37 一 、 三角函数的图像与性质 37 二 、 形如 y = Asin( x + ) + B 的函数 . 38 三 、 反三角函数的图像与性质 40 四 、 三角方程的解法 41 第七章 数列与数学归纳法 . 43 一 、 数列的有关概
3、念 43 二 、 等差数列的概念与性质 43 三 、 等比数列的概念与性质 45 四 、 数列通项的求法 46 五 、 数列求和的方法 47 六 、 数列的极限 48 七 、 数学归纳法 50 第九章 行列式与矩阵初步 . 54 一 、 行列式初步 54 二 、 矩阵初步 . 55 高中数学基础知识点 (备考精简版 ) 编者 ： - 3 - 第十章 平面向量 59 一 、 平面向量的概念与运算 59 二 、 平面向量的数量积及其应用 61 三 、 平面向量基本定理 62 第十一章 坐标平面上的直线 . 64 一 、 直线的倾斜角与斜率 64 二 、 直线的方程 64 三 、 点与直线的位置关系
4、 65 四 、 直线与直线的位置关系 66 五、简单线性规划（ ） . 67 第十二章 圆锥曲线 . 69 一 、 曲线与方程 69 二 、 圆 . 69 三 、 椭圆的性质与应用 71 四 、 双曲线的性质与应用 72 五 、 抛物线的性质与应用 74 六 、 直线与圆锥曲线 75 七 、 参数方程 77 第十三章 复数初步 . 80 一 、 复数的有关概念 80 二 、 复数的运算 80 三 、 复数的几何意义 81 四 、 实系数一元二次方程的解法 82 第十四章 空间直线 与平面 . 84 一 、 平面及其基本性质 84 二 、 空间两条直线 84 三 、 空间直线与平面 85 四 、
5、 空间两个平面 87 五 、 空间向量在立体几何中的应 用 （理 ） 88 第十五章 多面体与旋转体 . 91 一 、 多面体的概念与性质 91 二 、 旋转体的概念与性质 92 三 、 多面体与旋转体的体积 94 第十六章 排列组合与二项式定理 . 97 一 、 计数原理 . 97 二 、 排列与组合 97 三 、 二项式定理 98 第十七章 概率与统计初步 . 100 一、概率初步 . 100 二、统计初步 . 102 - 4 - x 1 x 1 x 1 x 1 第一章 集合与命题、充要条件 一、集合 1.集合的有关概念 集合的定义： 具有某种共同的确定的属性的元素的全体。用大写的英文字母
6、表示： A, B, C, 其中的元素用小写的英文字母表示： a, b, c 集合与元素的关系： x 属于 A ： x A ； x 不属于 A ： x A ; 集合中元素的基本性质： 确定性、互异性、无序性 ； 集合的分类： 按元素个数分： 有限集、无限集；空集、一元集、多元集。 空集的特点： 没有元素的集合称为空集，记作 ； 0, 0, , 0, ; 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 按元素性质分： 数集、点集等。 A = x | y = 表示函数的定义域； A = y | y = 表示函数的值域； A = f (x) | f (x) = 表示一个函数组成的集合； A = ( x
7、, y ) | y = 表示曲线上的点组成的集合； 集合的表示方法： 列举 法 ： a1, a2 , a3 ； 描述 法 ： x | x 的属 性 ； 字 母 法 ： N N Z Q R C； 其 中： N * :正整数集， N : 自然数集， I : 虚数集， C :复数集； 2.子集的概念与性质 Z :整数集， Q : 有理数集， CRQ : 无理数集， R : 实数集， 子集的定义： A B : x A x B； 集合与集合的关系： A 是 B 的子集： A B； A 是 B 的真子集： A B ； B 中至少含有一个元素不属于 A ； A 不是 B 的子集： A B； A 与 B 相等
8、： A = B A B 且 B A ； 子集的性质： A， A( A ), A A； A = B ： A B, 且 B A ； A B, B C A C ； A B CU B CU A A B = A A B = B A CU B = CU A B = U ; * - 5 - 子集个数公式： 集合 A 含有 n 个元素，则 :集合 A 的子集个数为 2n ，真子集个数为 2n 1 ，非空子集个数为 2n 1，非空真子集个数为 2n 2 。 3.集合的运算 交集： A B = x | x A 且 x B； 交集的性质： A B = B A; A A = A; A = ; A B A; A B B
9、; 并集： A B = x | x A 或 x B； 并集的性质： A B = B A; A A = A; A = A; A B A; A B B; 补集 ： CI A = x | x I 且 x A； 其中 I 称为全集。 补集的性质： A I ;CI A I ; A CI A = ; A CI A = I ;CI (CI A) = A; 注：补集思想 在解题中有着很重要的作用； 4.Ven 图 两个集合的 Ven 图： ： A B ： A CI B ： B CI A ： CI A CI B 三个集合的 Ven 图： ： A B C ： A B CIC ： A C CI B ： B C CI
10、 A ： A CI B CIC ： B CIC CI A ： C CI A CI B ： CI A CI B CIC 5.集合运算律 交换律： A B = B A， A B = B A； 结合 律： ( A B) C = A (B C)， ( A B) C = A (B C)； 分配 律： ( A B) C = ( A C) (B C)， ( A B) C = ( A C) (B C)； - 6 - 摩根定律： CI ( A B) = CI A CI B， CI ( A B) = CI A CI B； 二、命题 1.命题的定义： 一个可以确定真假的判断语句叫作一个命题。 其形式均可改写为 ：
11、“如 果 ，那 么 。 ” 或“ 若 ，则 。 ” 2.命题的分类 按正确与否分： 真命题，假命题； 真假命题的判断方法：判断真命题，需要证明；判断假命题，只需举一个反例即可。 按命题形式分： 简单命题，复合命题； 3.复合命题的形式 逻辑与： P 且 Q ，记作 P Q ,一假必假； 逻辑或： P 或 Q ，记作 P Q ,一真必真； 逻辑非： 非 P ，记作 P ,真假互换； 4.命题的四种形式 四种形式： 原命题： p q; 逆命题： q p; 否命题： p q; 逆否命题： q p; 四种形式的有关结论： 否命题是条件与结论均否，不同于命题的否定形式，即非命题； 原命题等价于逆否命题，
12、逆命题与否命题等价； 原命题为真，则逆否命题为真，逆命题与否命题不一定为真； 对于以否定形式出现的问题，通常转化为其等价命题来判定； 5.语句的否定形式 原语句 反设词 是（等于） 不是（不等于） 都是 不都是 一定是 不一定是 整数 非整数 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至多有 n 个 至少有 (n +1) 个 p 或 q p 且 q p 且 q p 或 q x 都成立 某个 x 不成立 x 都不成立 某个 x 成立 - 7 - 其中 ： “ ” 为 全称变 量 ， 读作 “ 对任意的 ” ； “ ” 为 特称变量 ，读作 “ 存在 ” 。 6.反证法原理与运用 反证法的步
13、骤： 假设结论的否定形式正确，推导出矛盾，则原结论正确。 矛盾的四种形式： 与生活常识矛盾； 与已知条件矛盾； 与公理矛盾； 与定理矛盾； 自相矛盾；等等 注意：在证明有关命题时，多会用到 条。 三、充要条件 1.定义 : P Q ：命题 P 是命题 Q 的充分条件，命题 Q 是命题 P 的必要条件。 2.条件的四种形式 P Q 且 Q P ： 命题 P 是命题 Q 的充分非必要条件； Q P 且 P Q ： 命题 P 是命题 Q 的必要非充分条件； P Q 且 Q P ： 命题 P 是命题 Q 的充分必要条件； P Q 且 Q P ： 命题 P 是命题 Q 的非充分非必要条件； 3.条件的求
14、法 求命题 P 的 充分条件 ： 求能推出命题 P 的命题； 求命题 P 的 必要条件 ： 求命题 P 能推出的命题； 求命题 P 的 充要条件 ： 求与命题 P 能相互推出的命题； 4.条件的集合表示 记满足命题 P 的所有元素组成集合 A ；满足命题 Q 的所有元素组成集合 B ；则： 当 A B 时， P 是 Q 的充分条件 ;若 A B, 则 P 是 Q 的充分非必要条件； 当 B A 时， P 是 Q 的必要条件 ;若 B A, 则 P 是 Q 的必要非充分条件； 当 A = B 时， P 是 Q 的充要条件；这就意味着 P 和 Q 是可以相互推出的； 当 A B 且 B A 时，
15、P 是 Q 的非充分非必要条件； 注： 小范围能推出大范围 ， 大范围不能推出小范围； - 8 - 第二章 不等式 一、不等式的基本性质 1.对称性： a b b a； 2.传递性： a b, b c a c； 3.可加性： a b a + c b + c； 4.可乘性： a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc； 5.叠加性： a b, c d a + c b + d , a d b c； 6.叠乘性： a b 0, c d 0 ac bd , a b ； a b 0, c d 0 ac bd , a b ； d c d c 1 1 1 1 1 1 7.可倒性： a b,
16、 ab 0 ； a b 0 0 , 0 a b 0; a b a b a b 8.乘方开 方 性 ： a b 0 an bn , n a n b， (n N ); 9.分式放缩性： a b m 0 b m b b + m ; a m a a + m 10.指数放缩性： 0 a 1 a a2 an ; a 1 a a2 an ; 二、不等式的解法 1.整式不等式的解法： 一元一次不等式的解法： ax b : 当 a 0 时， x b ；当 a 0 时， x b ； a a 当 a = 0, b 0 时， x ，当 a = 0, b 0 时， x R 。 一元二次不等式的解法 ： f (x) =
17、ax2 + bx + c(a 0), x x ； 1 2 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 0 x x1 或 x x2 x x1 或 x x2 x1 x x2 x1 x x2 = 0 x b 2a x R x x = b 2a 0 x R x R x x 一元高次不等式的解法： f (x) = a0 (x x1)(x x2 )(x xn )(a0 0) ； 序轴标根法 : f (x) 0： 位于序轴上方的区间； f (x) 0： 位于序轴下方的区间； - 9 - f (x) f (x) f (x) f (x)
18、 注意： 各因式 x 前的系数必须为正数 ； 从最大根右侧的上方画起 ； 可取的根画实圈，不可取的根画空圈 ； 奇重根 直 接穿过，偶重根反弹；俗称 “ 奇 穿 偶不穿 ” 。 2.分式不等式的解法： f (x) 0 f (x)g(x) 0, f (x) 0 f (x)g(x) 0 ； g(x) g(x) g(x) 0 f (x) f (x) g(x)h(x) ( f (x) g(x)h(x) g(x) 0 h(x) 0 ； g(x) g(x) g(x) 0 分式不等式也可用 序轴标根法 解之，在前面的基础上我们还需注意： 不能对角相乘，只能 移项通分 ； 分母不能为零 ，分母为零处画空圈 ；
19、 注意： 对于可以作出图像的分式不等式，也可用数形结合法解之，方便快捷； 3.绝对值不等式的解法：定义法，平方法，公式法， 零点分段讨论 等。 f (x) a(a 0) f (x) a 或 f (x) a； f (x) a(a 0) a f (x) a f (x) g(x) f (x) g(x) 或 f (x) g(x)； f (x) g(x) g(x) f (x) g(x)； f (x) g(x) f 2 (x) g 2 (x); f (x) g(x) f 2 (x) g 2 (x); f (x) g(x) h(x)： 令 f (x) = 0， g(x) = 0， 得到 x = x1, x2
20、; 将 x1, x2 标于序轴得到三个区间，分别于这三个区间进行讨论去绝对值符号。 4.无理不等式的解法： f (x) 0 f (x) 0 g(x) g(x) 0 f (x) 0 或 ; g(x) g(x) 0 ； f (x) g 2 (x) g(x) 0 f (x) g 2 (x) g(x) f (x) 0 g(x) 0 f (x) 0 或 ; g(x) f (x) 0 g(x) 0 ； f (x) g 2 (x) g(x) 0 f (x) g 2 (x) 注意： 对于根号下是一次或二次的无理不等式，我们也可以用 解析法 解之，方便快捷； 5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题： 分离变量
21、不等式的恒成立问题 ： 不等式 M (t) f (x) 在区间 D 上恒成立 在区间 D 上， M (t) f (x)min ； 当 x D 时， f (x) 的值域为 (m, n) ，则：不等式 M (t) f (x) 在区间 D 上恒成立 在区间 D 上， M (t) m. ； - 10 - p 2 ab n a1a2 an 1 2 n n a2 + a2 + a2 不等 式的 能成立 问题 （有解 问 题 ） ： 不等式 M (t) f (x) 在区间 D 上能成立（有解） 在区间 D 上， M (t) f (x)max ； 关于 x 的方程的有解无解问题： 关于 x 的方程 M (t)
22、 = f (x) 在区间 D 上有解 在区间 D 上， M (t) f (x) 的值域； 关于 x 的方程 M (t) = f (x) 在区间 D 上无解 在区间 D 上， M (t) f (x) 的值域； 记住 ： “ 恒成 立问题 ，有 解问题 ，分 离变量 ” 。 不等式的恰成立问题： 不等式 f (x) M (t) 在区间 D 上恰成立 不等式 f (x) M (t) 的解集为区间 D ； 三、基本不等式 1.基本不等式 a, b R, a2 + b2 2 ab 2ab （当且仅当 a = b 时取等号 ） ； a, b R+, a + b 2 （当且仅当 a = b 时取等号 ） ；
23、 a, b R+, a 2 + b2 ( a + b )2 ab （当且仅当 a = b 时取等号 ） ； 2 2 a, b, c R+, a + b + c 33 abc （当且仅当 a = b = c 时取等号 ） ； 2.极值定理： 已知 a, b 都是正实数，则： 若 ab 是定值 p ，则当 a = b 时， a + b 有最小值 2 ； 若 a + b 是定值 q ，则当 a = b 时， ab 有最大值 q ； 4 简言之： 一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 。 3.均值不等式：调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数： 若 a, b R+, 则： 2 a + b ；
24、 （ 当且仅当 a = b 时取等号 ） ； 1 + 1 2 a b 若 a , a , a R+, n N *, 则： 1 2 n n a + a + a 1 + 1 + 1 1 2 n ； n a1 a2 an （当且仅当 a1 = a2 = = an 时取等号 ） ； ab a2 + b2 2 - 11 - 4.绝对值不等式： 若 a, b, c R, 则： | a | | b | a b | a | + | b |；其中等号成立的条件为： 当且仅当 ab 0 时， | a | | b |=| a b |, a + b = a + b ; 当且仅当 ab 0 时， | a | | b |
25、=| a + b |, a b = a + b ; 推广： a , a , a R, n N *, 则： a + a + a a + a + a . 1 2 n 1 2 n 1 2 n （当且仅当 a1, a2 , an 两两非异号时等号成立 ） 。 注意： 在很多时候，我们可以利用不等式的取等条件做题 ； 四、不等式的证明： 1.比较法： 作差法： 作差与 0 比较大小，常用于求证的不等式两端是多项式或分式的形式； 作商法： 作商与 1 比较大小，常用于求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式； 2.分析法：“ 执果索因 ” ，即从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠拢 “ 已知 ” 。
26、分析法论证 “ 若 A 则 B ” 这个命题的模式是：为了证明命题 B 为真， 需证命题 B1 为真，从而有 , 需证命题 B2 为真，从而又有 , 需证命题 A 为真 而已知 A 为真，故 B 必真。 3.综合法： “ 由因导果 ” ，从 “ 已知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步推出 “ 结论 ” 。 4.换元法： 常用于条件不等式的证明 ； “ 1”的妙用 ： 多用于整式与分式的相互证明等，任意常数都可以比例地换成 1； 三角换元法： 如已知 x 2 + y 2 = a 2 ，可设 x = a cos , y = a sin ； 5.放缩法： 把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性
27、来证明不等式的方法，放缩 的标准是应该有利于计算的顺利进行； 6.反证法： 凡是 “至少 “、 “唯一 “或含有否定词的命题，适宜用反证法。 - 12 - ； 一、函数的有关概念 第三章 函数的基本性质 1.函数的 定 义 ： f (x) : x y, x D, y E, D： 定义域，必须为非空数集 ； E： 值域，必须为非 空数集； f (x)： 对应法则；一对一，多对一，不能一对多。 2.函数的三要素： 定义域，值域，对应法则；对应法则是核心。 定义域的表示方法： 集合表示法、区间表示法； 函数的表示方法： 解析法、图像法、列表法。 函数相同： 定义域、值域、解析式均相同； 3.函数的图
28、像 作图方法： 描点法 步骤：列表 描点 连线（平滑曲线） 函数图像的变换：只对单个的 x 或 y 有效； 平移变换：左加右减，上加下减； 横向平移： a 0; 向左平移 a 个单位 y = f (x) y = 向右平移 a 个单位 f (x + a)； 向上平移 b 个单位 纵向平移： b 0; y = f (x) y = f (x) + b 向下平移 b 个单位 沿向量平移 ： a 0， b 0; y = f (x) 沿 向 量 （ a,b） 平 移 y = f (x a) + b ； 伸缩变换： 横向伸缩： a 1 ； y = 横坐标缩小为原来的 1 f (x) a y = f (ax)
29、； 纵向伸 缩： b 1； y = f (x) 纵 坐 标 扩 大 为 原 来 的 b倍 y = bf (x)； 同时伸缩 ： b 1； y = f (x) y = bf (ax), a 1, b 1： 先 将 y = f (x) 图像的横坐标 缩 小为原 来的 1 ，得到 y = f (ax) 的图像，再将 y = f (ax) 图像的纵坐标扩大为原来的 b 倍，得到 a y = bf (ax) 的图像。 翻折变换： y = f (x) y = f ( x )： 俗称 “ 去 左 右翻 ” 将 y = f (x) 的 y 轴左侧的图像去掉，再将 y 轴右侧的图像翻转到 y 轴左侧，与 y 轴
30、右侧原来 的图像所组成的图像，即为函数 y = f ( x ) 的图像； y = f (x) y = f (x) ： 俗称 “ 下 翻 上 ” 将 y = f (x) 的 x 轴下方的图像翻转到 x 轴的上方，与 x 轴上方原来的图像所组成的图像，即为 y = f (x) 的图像； - 13 - , 二、函数的三要素 1.函数定义域的求法 分母 0 ; x0 中 x 0 ； 偶次根号下 0 ; log 后面 0 ； log 底数要大于零且不等于 1; 四则运算得到的函数的定义域 ： 每个函数定义域的交集 ; 复合函数的定义域 ： y = f (x) 的定义域 y = f g(x) 的定义域；
31、已知 y = f (x) 的定义域为 D ， 则 y = f g(x) 的定义域为： x | g(x) D. 已知 y = f g(x) 的定义域为 D ， 则 y = f (x) 的定义域为； t | t = g(x), x D. 2.函数值域的求法： 基本方法： 换元法、数形结合法 直接法： f (x) 0, f (x)2 0, 0, ax 0, sin x 1,1, cos x 1,1， arcsin x , ， arccos x 0, ， arctan x , ， arc cot x (0, )； 2 2 2 2 配方法： 二次函数 f (x) = ax2 + bx + c 及可化为其
32、形式的函数，配方后运用数形结合法； 分离常数法： 一次分式函数 f (x) 结合法； k x a + b 及可化为其形式的函数，分离常数后运用数形 配凑法： 用于定义域不为 R 的二次分式形式的函数，化为耐克函数或伪耐克函数； 基本不等式法： 耐克函数 f (x) x + a (a 0) 及可化为其形式的函数； x 法： 用于定义域为 R 的二次分式形式的函数： 反函数法： 一次分式函数 f (x) 等；尽量少使用； k + b x a 及可化为其形式的函数，不含定义域的指数函数 单调性法： 单调性可以确定的函数，如 f (x) x a (a 0) ； x 三角代换法： x 与 形成单调关系；
33、如 x 1,1, 则可令 x = sin , ； 2 2 3.函数解析式的求法 换元法 ： 已知 f g(x)的表达式，求 f (x) 的表达式。 令 t = g(x) x = g 1(t) 代入化简得到 f (t)， 即为 f (x). 配凑法： 已知 f g(x)的表达式，求 f (x) 的表达式。 将 f g(x)右边的表达式配凑出 g(x) 的形式，然后直接将 g(x) 换为 x 即得 f (x) 的表达式。 f (x) - 14 - 待定系数法 ： 已知 f (x) 的函数类型，可设 f (x) 的表达式，解之；多用于一次、二次函数。 区间转移法 ：求什么范围，就设什么范围，或用图像
34、法； 已知函数的奇偶性：变号； y = f (x), x a, b, f (x) = f (x) 或 f (x) = 已知函数的周期性：加减 n 倍周期 f (x) y = g(x), x b, a ; y = f (x), x a, b, f (x + T ) = f (x) y = g(x), x a + kT , b + kT , k Z ; 已知函数的对称轴： 2 倍对称轴 - x y = f (x), x m, n, f (x) 的对称轴为 x = a y = g(x), x 2a n, 2a m； 已知函数的对称中心： 2 倍对称中心横坐标 - x y = f (x), x m,
35、n, f (x) 的对称中心为 (a, b) y = g(x), x 2a n, 2a m； 已知函数的其他关系式： y = f (x), x a, b, 如 f (x) 满足： f (x +1) = f (x) 3 2 f (x) +1 y = g(x), x a +1, b +1； 高斯消元法 ：已知函数自身关系式求函数解析式，建立方程组 f (x) + kf (x) = g(x)(g(x) 已知， k 1) f (x) 的表达式 ; 1 f (x) + kf ( ) = g(x)(g(x) 已知， k 1) f (x) 的表达式 ; x 已知 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数：
36、 f (x) + kg(x) = h(x)(h(x) 已知 ) f (x), g(x) 的表达式 ; 三、反函数 1.反函数存在的前提条件 ： y = f (x) 在区间 M 上存在反函数的 充要条件 是 y = f (x) 在区间 M 上 一对一 ; y = f (x) 在区间 M 上存在反函数的 充分非必要条件 是 y = f (x) 在区间 M 上 单调 ; 即：区间 M 上的单调函数必存在反函数，函数在区间 M 上存在反函数不一定单调； 2.求反函数的步骤： y = f (x) 在区间 M 上存在反函数； x M y E； y = f (x) x = f 1( y)； 交换 x, y
37、的位置得到 y = f 1(x), x E； - 15 - x 3.互为反函数的函数图像之间的关系：充要条件。 y = f (x), x M 的图像与 y = f 1(x), x E 的图像关于 y = x 对称； y = f (x) 的图像与 y = g(x) 的图像关于 y = x 对称，则 g(x) = f 1(x)； 4.原函数与反函数的性质： 两个恒等式： x = f 1 f (x), y = f f 1( y) ; 原函数与反函数定义域、值域刚好相反 ; 原函数过 (a, b) ，则反函数过 (b, a) ； 原函数与反函数在对应区间上单调性相同； 奇函数不一定存在反函数，若存在反
38、函数，其反函数仍为奇函数； 偶函数不一定存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数一定不存在反函数； 存在反函数的偶函数有且只有一类 ： f (x) = c, x = 0, c 为常数； 周期函数一定不存在反函数； 自反函数 ：反函数是其自身 函数的图像关于 y = x 对称； 如 y = x, y = x + b, y = k x a + a 等； 原函数与反函数图像的交点不一定都在直线 y = x 上 。 当函数单调递增时，原函数与反函数的交点一定在 y = x 上；其他情况，不一定在 y = x 上。 1 1 1 1 1 如： 互为反函数的 y = log 1 x 与 y = 均过 , ,
39、, , 但都不在 y = x 上。 16 5.复合函数反函数的求法： y = f (x)、 g ( x) 的反函数存在； 16 f g ( x) 4 2 2 4 x D g(x) U y E； y = f g ( x) g ( x) = f 1( y) x = g 1 f 1( y)； 交换 x、 y 的位置得到反函数 y = g 1 f 1(x)， x E ； 注意 ： y = f g ( x) 的反函数不是 y = f -1 g ( x)； 四、函数的基本性质 1.函数的单调性 函数单调性的定义： y = f (x), x1、 x2 a , b, x1 x2 ； f (x1) f (x1)
40、 f (x2 ) f (x2 ) f (x) 在区间 a , b上单调递增； f (x) 在区间 a , b上单调递减； - 16 - 函数单调性的判断与证明方法： 定义 法： x1、 x2 a , b，且 x1 x2； 作差 f (x1) f (x2 ) 与 0 比 较； 在 f (x) 恒正或恒负时，亦可作商 f (x1) 与 1 比较。 f (x2 ) 一般步骤： 取值； 作差； 变形； 定号； 结论。 图像法： 画出已知函数的图像，由观察得出函数的单调区间； 利用已知函数的单调性： 基本初等函数的单调性必须牢记； 函数单调性的一些性质： 函数的单调性是函数的局部性质，而单调函数具有全局
41、性 ； 函数单调性的基本应用： f (x) 在区间 D 上单调，则其在 D 的任一子区间上单调性与其相同； 对称中心两侧对应区间上单调性相同，对称轴左右两侧对应区间上单调性相反 。 特别地：奇函数在 y 轴左右两侧单调性相同，偶函数在 y 轴左右两侧单调性相反。 函数四则运算等的单调性： f (x) , g(x) f (x) + g(x) ； f (x) , g(x) f (x) + g(x) ； f (x), g(x) R+； f (x) , g(x) f (x)g(x) ； f (x) , g(x) f (x)g(x) ； 函数与反函数的单调性：互为反函数的两个函数在相对应的区间上单调性相
42、同； 分段函数的单调性：分段判断，注意是否连续 ； f (x), x a, b F (x) = g(x), x (b, c , a b c; 若 F (x) 在区间 a, b 上单调递增，在 (b, c 上也单调递增 F (x) 在区间 a, c 上单调递增；反之： F (x) 在区间 a, c 上单调递增 F (x) 在区间 a, b 上单调递增， 在 (b, c 上也单调递增， f (b) g(b) ； 复合函数的单调性：同增异减 ； 注意： x, u 范围的相互制约； 2.函数的奇偶性 函数奇偶性的定义： 前提： y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称； x D, f (x) =
43、 f (x) y = f (x) 为奇函数； - 17 - x D, f (x) = f (x) y = f (x) 为偶函数； 函数奇偶性的等价定义： 前提： y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称； x D, f (x) + f (x) = 0 y = f (x) 为奇函数； x D, f (x) f (x) = 0 y = f (x) 为偶函数； 函数奇偶性的判断与证明方法 : 定义法： 首先求出 y = f (x) 的定义域 D ，判断其是否关于原点对称； 图像法： 看 y = f (x) 的图像是否关于原点或 y 轴对称； 奇函数、偶函数的一些性质： 奇偶函数图像的特点： 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像
