1、数学建模 刹车距离模型一：实验内容矩阵的基本操作矩阵的输入、加、减、乘、除、求逆、求特征值、特征向量、对角化、上三角化、Jordan 标准型、合同变换等求解线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组理解左除和右除操作绘制点和函数曲线坐标原点、坐标轴刻度的设定在坐标平面上绘制点在坐标平面上绘制函数曲线表达建模结果(以汽车刹车距离的数学模型为例，教材第 2.4 节)假设已经建立了带有未知参数的数学模型，并有一些实际数据。根据实际数据估算模型中的参数。然后将数学模型表达的曲线和实际数据绘制在同一个坐标平面内，并据此对数学模型做出分析。二：问题分析1 刹车距离与车速有关；2 刹车距离由反应距离和制动距离
2、两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。3 反应距离又反应时间和成酥决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性，对于一般规则可使反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。4 制动力在一般规则下又可看作是固定的。三：模型假设1 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和；2 反应距离 d1 与车速 v 成正比，比例系数为反应时间 t1;3 刹车时间用最大制动力 F，F 作的功等于汽车动能的改变，且 F 与车的质量 m 成正比。四：模型建立由假设 2 d1=t1v由假设 3 在 F 作用行驶距离 d2
3、作的功 Fd2 时车速从 v 变成 0，动能的变化为 mv2/2,如图所示，汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速不不变。刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。有能量守恒制动力所做的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车
4、的减速度基本上是常数。路面状况可认为是固定的。二、模型假设基于以上分析，作出如下假设。（1） 人的反应时间为一个常数。（2） 在反应时间内车速不变。（3） 汽车的减速度基本上是一个常数。（4） 路面状况是固定的。（5） 汽车的总刹车距离等于反应距离和刹车距离之和。（6） 反映距离与车速成正比，比例系数为反应时间。（7） 刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，且制动力与车的质量成正比。符号说明：(1) t 表示反应时间(2) d 表示总刹车距离(3) 表示反应距离(4) 表示刹车距离(5) v 表示速度(6) F 表示制动力(7) m 表示质量美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常
5、驾驶条件下车速每增加 10 英里/ 小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数 2 秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2 秒规则” 与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。解：(1)计算车速 10 英里/ 小时 2 秒钟前进距离说明车速 10 英里/小时时两规则并不一致。1.3.1 问题分析 制订这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在 10 英里/小时（约 16km/h）的车速下 2 秒钟行驶多大距离。
6、容易计算这个距离为：10 英里/小时5280 英尺/ 英里1 小时/3600 秒2 秒=29.33英尺（=8.94 米） ，远大于一个车身的平均长度 15 英尺（=4.6 米） ，所以“2 秒准则”与上述规则并不一样。为判断规则的合理性，需要对刹车距离作较仔细的分析。 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵巧、机警、视野等）和制动系统的灵敏性（从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间） ，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这
7、段时间内车速尚未改变。 制动距离与制动器作用力（制动力） 、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈的冲击。至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。(2) 刹车距离模型 刹车距离由反应距离和制动距离组成。反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用 汽车行驶的距离。 制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。解：(1)计算车速 10 英里/ 小时 2 秒钟前进距离: 说明车速 10 英里/小时时两规则并不
8、一致。(2) 刹车距离模型 刹车距离由反应距离和制动距离组成。反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用 汽车行驶的距离。 制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 模型假设3)刹车时使用最大制动力 F，F 作的功等于汽车 动能的改变，且 F 与车质量 m 成正比。模型建立由假设 2)(1)vtd1由假设 3 而 F=ma ,则 22mvF221vad其中 a 为刹车减速度，是常数，则：（2）2kvd则刹车距离与速度的模型为英 尺秒秒英 尺 3.2936052810d英 尺一 个 车 身 平 均 长 度 15l .)1 21之 和和 制 动 距 离等 于 反 应 距 离刹 车 距 离
9、 ddd,2 11 tv比 例 关 系 为 反 应 时 间成 正 比与 车 速反 应 距 离)1(11vtd 2222 1,1,3 vadmaFmvFd 则而由 假 设 则是 常 数为 刹 车 减 速 度其 中 ,a21kvtd其中 根据经验取 0.75 秒 ，先利用实际数据来确定 k表 1 车速与刹车距离则刹车距离与速度关系为:表 1 中第 4 列为计算的刹车距离,第 5 列是采用最大刹车距 离时的刹车时间。由(4)还可以得到刹车时间与车速关系: t=0.75v+0.0255v (5)车 速（英里/小时）车 速（英尺/秒）实际刹车距离(英尺)计算刹车距离(英尺)刹车时间(秒)20 29.3
10、42(44) 43.98 1.530 44.0 73.5(78) 82.45 1.840 58.7 116(124) 131.92 2.150 73.3 173(186) 192.37 2.560 88.0 248(268) 263.82 3.070 102.7 343(372) 346.25 3.680 117.3 464(506) 439.68 4.3列 数 据 有第及 第由 32)7,2,1(,75.02ikvdiii 025.).5.0(71471 2iii iiivdk)4(025.7.vvd图 1 实际(*) 与计算刹车距离(实线 )比较表 2 修正后 t 秒规则车速(英里/ 小时
11、) 010 010 010 010t (秒) 1 2 3 4问题的提出行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离就叫刹车距离。研究刹车距离对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用。讨论与分析1、汽车的“刹车”，其机理是控制轴承的转动，这样就让汽车轮子只能滑动或者说平动。当然，在实际情况中，有时只是“部分刹住”了，部分刹住时，轮子除滑动外还有滚动，这时形成的“刹车距离”与“刹车”的力度密切相关。2、刹车距离 s 与哪些主要因素有关呢？显然与刹车时的速度、车子的质量、路面状况以及空气阻力有直接关系。车速越大，惯性就越大，刹车距离就越远；车子的质量越大，刹车
12、距离也越远；路况越好，越光滑，刹车距离也越远。例如火车刹车后就较难停住，往往要滑行好远。天雨、下雪结冰时，汽车刹车后刹车距离也较长。所以汽车在行进时遇到弯道，车多时、天雨路滑时一般要慢行，控制速度，缩短刹车距离，减少交通事故。3、速度为 v 的汽车刹车“完全刹住”后，假设是在理想的光滑、水平的直行路面上，根据牛顿第一定律可知中它将一直保持速度 v 进行下去，永不会停止。在实际路面上之所以行进 s 后要停下来主要是在水平方向受到了与运动方向相反的摩擦力的作用。（在竖直方向，受到重力及支撑力达到平衡）。根据牛顿第二定律有 f=ma,（f 为合摩擦力，m 为质量，a为加速度），又可把刹车后运动过程看
13、成匀减速运动，所以，02-v2=2as,消去 a 有 s=-(f12s 乙=0.05x+0.005x210这是常见的一元二次不等式，分别求解，得x30x40由于 x0，从而可得，x 甲30 千米/小时，x 乙40 千米/小时。经比较知乙车超过限速，应负主要责任。注：解实际应用题首先要正确理解题意，恰当地进行数学化设计，化归为课本中的标准化模型加以解决。例 2：已知汽车从刹车到停车所滑行的距离(米)与时速(千米/小时)的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速 50 千米行驶时,从刹车到停车走了 20 米,如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面 20 米处有障碍物,这时为了能在
14、离障碍物 5 米以外处停车,最大限制时速应是多少(答案只要保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过 1 秒钟)?分析：设从刹车到停车滑行距离为 s 米，时速为 v 千米/小时，卡车总重量为 t,根据题意得s=kv2t0(k 为比例系数)略解：设卡车空载时的总重量为 t0,则20=k502t0设卡车限速为 x 千米/小时(x0)，则20-5-x2kt0x2,消去 kt0，化简得，-150即 218x2+5125x-15181250由题意，其解（舍去小数部分）为 0x23，故最大限制速度为 23 千米/小时。注：1、在数学建模的过程中我们所处理的变量、参数及常数往往都是带单位的量。对于测量值
15、的单位必须给予足够重视，不可掉以轻心。必要时还要进行量纲分析。2、此题建模后，在对一元二次不等式这个模型求解时，涉及到较大数据的处理。学会数据分析和处理的方法有时是很必要的。理论上来说：当汽车刹车轮胎抱死时，汽车刹车距离与质量无关因为从能量守恒可以得到摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化量：Fns=1/2mu(平方） 其中 F 是车对地面的压力，n 是车跟地面的摩擦系数，s 是刹车距离，m 是车的质量，u是车的速度，其中车对地面的压力等于车的重力 F=mg，所以得到 mgns=1/2mu(平方） s=u(平方） /2gn所以理论上来说：当汽车轮刹车胎抱死时，汽车刹车距离与质量无关而现实生活中往往车载货越多，刹车距离就越长这是因为现实生活中汽车载货越多刹车时会比较容易出现轮胎抱死，而且最大的制动力（摩擦力）是在滚动接近与滑动的零界点，这时候摩擦力就Fn 了空车时的轮胎没有抱死，摩擦力大于 Fn由上面的公式可以说明质量越大，刹车距离就越长
