1、14:53,1,1.7. 几何空间向量的外积,外积的基本性质 （特别注意反交换律） 外积的计算 内积与外积在立体几何中的应用 点到直线的距离二面角直线与平面的夹角点到平面的距离 二重外积,14:53,2,外积的定义,向量的外积是向量间的另一种重要的运算, 有很多应用, 如力学中的力矩.,14:53,3,外积的性质,证明:,14:53,4,外积的性质,则,证明:,14:53,5,外积的运算性质,定理 7.3.,证明:,(EP1) 由定义可得;,(EP2),且,由反交换律得另一等式,14:53,6,外积的运算性质,因,于是,由命题7.2可得,14:53,7,外积的运算性质,14:53,8,外积的运
2、算性质,因此,最后, 由反交换律可得右分配律.,14:53,9,外积的计算,则,从而,证明: 由外积的性质易得.,14:53,10,外积的计算: 说明,1) 外积计算公式也形式地记为,因此, 平行四边形的面积为,14:53,11,外积的计算：例题,解: 先求得,于是,14:53,12,外积的计算：例题,已知空间3点 A(1,1,0), B(1,2,1), C(0,1,2). 求三角形ABC的面积; 求AB边上的高.,解: 三角形ABC的面积为以AB, AC为邻边的平行四边形的 面积的一半,所以,= (2,1,1).,AB边上的高：,14:53,13,外积与内积在立体几何中的应用,立体几何中的夹
3、角与距离的问题可以转化为向量的计算问题. 建立适当的直角坐标系后, 应用外积与内积有时可以简化计算过程, 或者使得思路变得简单. 这里将涉及点到直线的距离, 二面角, 直线与平面的夹角, 点到平面的距离等.,点到直线的距离.,设 P 为空间一点, l 为一空间直线.,在直线上任取两点 A, B,14:53,14,点到直线的距离：例题,求点 M 到直线 PQ 距离.,解: 建立如图的直角坐标系, 得,于是,14:53,15,二面角,则这两个平面所成的二面角等于,或,14:53,16,直线与平面的夹角,则直线与平面的夹角为,14:53,17,点到平面的距离,在平面上任取一点 A,14:53,18,例题 7.4,求,解: 先给出相关点的坐标:,14:53,19,例题 7.4,14:53,20,例题 7.4,平面 BPQ 的法向量为,平面 MPQ 的法向量为,可以看出该二面角为钝角,14:53,21,例题 7.4,=4,14:53,22,二重外积,命题 7.4.,proof,由反交换律得到,可见, 向量的外积不满足结合律.,例. 证明雅可比恒等式:,证：,三式相加即得.,14:53,23,命题 7.4 的证明,命题 7.4,证:,取一个右手系直角坐标系,有,同理可得,所以命题成立.,back,
