1、平面应力状态下的应变分析的几何方法一 公式的推导如图，设有一微元体，其边长为 dx 和 dy，棱边 OA、 OC 的正应变 x， y和切应变 xy已知，这里切应变 xy定义为位于原点 O 的直角 AOC 的改变量，并规定使直角增大为正。首先分析微元段 OB 的线应变（即 OB 的伸长率）根据叠加原理，微元段 OB 的线应变等于应变 x， y和 xy单独作用时 OB 线应变的代数和1. 设微元体沿 x 方向的正应变为 x，则微元段 OB 的正应变为 21 cosdcossxxllBl2. 设微元体沿 y 方向的正应变为 y，则微元段 OB 的线应变为3.设微元体直角 COB 的切应变为 xy，则
2、微元段 OB 的线应变为 cossindcosdcosd3 xyxyllBlB于是，微元段 OB 的线应变为 22 sindsinyylB 2sin2co2cosinco231 xyyxyx 接着可以分析切应变DOB 的改变量 a为以 OD、 OB 为边的微元体的切应变利用几何关系，可见， OB 旋转的角度为略去高阶量，保留一阶小量，得cosdinsindco321ylylxx 2sincosin)( cosdinddxyyx xyyx lll 用 a+900代替 a，可得 OD 旋转的角度为 2coscossin)( xyyx 从而， DOB 的改变量 ga为 2cs2sixyyx有 2co
3、s2sin2xyyx于是我们可以得出结论：沿任意方向 a 的正应变和切应变分别为 2sin12cos2xyyxyx sinxyyx二 几何分析当我们对上述公式与应力公式相比较， 2cos2sin2 2sinxyx xyxyx可以发现，这两个公式具有相同的形式，即应变圆与应力圆有一定的类比关系： 。所以，可用研究应力的应力圆方法研究 ; ;应变。即若以 为横坐标， 为纵坐标，则上述应变公式可确定一个圆，称为2应变圆。 应变圆的绘制已知微元体上的应变 x、 xy、 y，应力圆可如下绘制：1、建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）2、在坐标系内画出点 D1(x, xy/2)和 D2(y，
4、xy/2)3、D 1D2与 x轴的交点 C 便是圆心4、以 C 为圆心，以 D1C 为半径画圆，即为应力圆应变圆的方程为 2222 xyyxyx 应变圆的圆心为 )0,2(yx 方向上的应变与应变圆的对应关系1、 方向上的应变( ， /2)应变圆上一点( ， /2)2、 方向线应变圆的半径3、两方向间夹角 两半径夹角 2 ；且转向一致。a 方向的线应变 a和切应变 a 分别对应为应变圆上点 E 的横、纵坐标 a和a /2 ，其中， E 点的位置为由半径 CD 沿逆时针方向旋转 2a 角而得到。主应变数值及其方位：，2minax2xyyxy）（ yxtg20把应力类比到应变： ; ;我们可以得到最大正应变和最小正应变分别为 2minax21xyyxyx ）（yx0tg如图所示
