1、微分几何主要习题解答0 第二章 曲面论1曲面的概念1.求正螺面 = u ,u , bv 的坐标曲线.rvcosin解 u-曲线为 =u ,u ,bv =0,0，bv u 00sinv0 , ,0，为曲线的直母线；v-曲线为 = , ,bv 为圆柱螺0cosvin ruco0vsin线证明双曲抛物面 a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐标曲线就是它的r直母线。证 u-曲线为 = a（u+ ）, b（u- ）,2u = a , b ,0+ ua,b,20v0v00v表示过点 a , b ,0以a,b,2 为方向向量的直线;0v0vv-曲线为 =a（ +v）, b（ -v）,2 v =a , b
2、 ,0+va,-r0u0u00u0b,2 表示过点(a , b ,0)以a,-b,2 为方向向量的直线。0u3求球面 = 上任意点的切平面和法线方程。rsin,icos,incsaa解 = ， = cos,i,ir0,cos,sincoa任意点的切平面方程为 0cossincocsininaaazyx即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为 。sinsiccszyx微分几何主要习题解答1 4求椭圆柱面 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，21xyab此曲面只有一个切平面 。解 椭圆柱面 的参数方程为 x = cos , y = asin ,
3、 z = t , 21xyab, 。所以切平面方程为：0cos,inr ,0tr，即 x bcos + y asin a b = 010ssiibazyx 此方程与 t无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。5证明曲面 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是,3uvar常数。 证 ， 。切平面方程为： 。,0123vuaru,1023uvar 3zauvyx与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, )。于是，四面体的体积为：uva23是常数。329|361auvV 曲面的第一基本
4、形式1. 求双曲抛物面 a （u+v）, b（u-v）,2uv 的第一基本形式. r解 ,42,2 22vbarEuvbr uu ,4rGFvv 微分几何主要习题解答2 I = 2 。22)4(duvba 222 )4()4( dvubaduvba求正螺面 = u ,u , bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线rcosvin互相垂直。解 ， ， ，,cos,i,0in,cs buvu 12urE0vurF， I = ，坐标曲线互相垂直22brGv 22)(dvdu3、在第一基本形式为 I = 的曲面上，求方程为 u = v的曲线的弧22sinh长。解 由条件 ,沿曲线 u = v有 du=dv
5、 ，将其代入 得2ds2siudv 2ds= ，ds = coshvdv , 在曲线 u = v上，从 到2dsinhuv2co 1的弧长为 。2v |sinhi|s| 1221 vv 4设曲面的第一基本形式为 I = ，求它上面两条曲线 u + 22)(dvaudv = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 ，1E， ，曲线 u + v = 0与 u v = 0的交点为 u = 0, v = 0,交0vF2auG点处的第一类基本量为 ， ，
6、。曲线 u + v = 0的方向为 du = -1EvF2aGdv , u v = 0的方向为 u=v , 设两曲线的夹角为 ，则有 cos =。2222vGdEu5求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x ,y = 的交角.00y解 曲面的向量表示为 =x,y,axy, 坐标曲线 x = x 的向量表示为 = r 0rx ,y,ax y ，其切向量 =0，1，ax ；坐标曲线 y = 的向量表示为 =x , 0 y0微分几何主要习题解答3 ,ax ，其切向量 =1，0，a ，设两曲线 x = x 与 y = 的夹角为 ，则0yxr0y00有 cos = 20201|ryx 6. 求 u-
7、曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为 u:v ,则有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将 dv =0代入并消去 du得 u-曲线的正交轨线的微分方程为 Eu + Fv = 0 .同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一点,含 du ,dv的二次方程 P + 2Q dudv + R ，确定2du2dv两个切方向（du ：dv）和（u ：v） ，证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.证明 因为 du,dv不同时为零，假定 dv 0，则所给二次方程可写成
8、为 P+ 2Q + R=0 ,设其二根 , , 则 = ， + = 又2)(dvudvudvuPdvuQ2根据二方向垂直的条件知 E + F( + )+ G = 0 将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E =G .2duv证 用分别用 、 、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线 u ，v，沿 v曲线 u， v 沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即 。22 )()( dsvGFudsuEv GdFEd22)()(展开并化简得 E(EG- ) =G(EG- ) ,而 EG- 0
9、，消去 EG- 得坐标曲线22v22的二等分角线的微分方程为 E =G .2du9设曲面的第一基本形式为 I = ，求曲面上三条曲线 u = v, 22)(dvaudauvV=1u=-avu=avo微分几何主要习题解答4 v =1相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是S= 102012 auaaudvdv=2 =2102auadvd02)(= aua022223 |)ln()( = 。)1ln(32a10求球面 = 的面积。r sin,icos,icsaa解 = ， =cos,nr0,cos,sincoaE = = ,F= = 0 , G = =
10、 .球面的面积为：2rr2r2cosaS = .2220242 4|incos addad 11.证明螺面 =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 =tcos ,tsin , r r12t(t1, 0 0 ,G 0 ,所以 LN a 0 , b+acos 0,所以 LN - 的符M 2M号与 cos 的符号一致,当 0 0 ,曲面上的点为232椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当- ，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当 = 或 时，LN - =0，为抛物点，即圆环面22上、下两纬圆上的点为抛物点。微分几何主要习题解答14 25若曲面的第一基本形式表示为 的形式，则称这个曲)
11、(,22dvuI面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面 上存在等温(,sin,cotftgtr网。证 旋转曲面 的第一基本形式为)(,sin)(,co)(tftgtr，做参数变换 ，v= ,则在新参数)(222dtgftI dtgfu2 下， 为等温网。,2vut26两个曲面 、 交于一条曲线（C） ，而且（C）是 的一条曲率线，则1S2 1S（C）也是 的一条曲率线的充要条件为 、 沿着（C）相交成固定角。2 1S2证 两个曲面 、 交于曲线（C） ， 、 分别为 、 的法向量，则沿1S2n1S2交线（C） ， 与 成固定角的充要条件为 =常数，这等价于 d( )=0,1n2 12 1n2即d
12、 + d =0 ,而（C）是 的一条曲率线，因此 d 与（C）的切向量 d12121S1共线，则与 正交，即 d =0，于是 d =0，又 d ，所以 rnn21n22n1nd = d =0的充要条件为 d / d ，即（ C）是 的曲率线。2n12rS27证明在曲面(S)上的一个双曲点 P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点 P的挠率是 ,另一条在点 P的挠率是- ，其中 K是(S)K在 P点的高斯曲率。证 曲面在双曲点 P处，有两条渐近线过点 P，沿渐近线有 = ，且 II=0，n于是有 d = d .则 ，即 或n KIHIdn22 ,22ds微分几何主要习题解答15 ，所以有 。Kds2)( K,)(228证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证 设给出的曲面(S): = (u,v)上的点 (u,v)与(u,v) D内的点一一对应，rr其球面像上的点为 = (u,v),由于 ,所以 =n)(vuvukn| vuvurkn，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M 0,则 。2|FEGMLN 2vu0说明球面像上的点 (u,v)与区域 D内的点一一对应，因此曲面 (S) 上的点与球面n像上的点一一对应。
