1、非欧几里得几何学的创始人：黎曼非欧几里得几何学的创始人德国黎曼(18261866)德国有名的数学家希尔伯特在老年时曾被人问到一个有趣的问题：“假定你去世后一两千年能复活，您会做什么呢?”希尔伯特毫不犹豫且满脸认真地回答道：“我会先问黎曼猜想是否已经解决了?”原来他在 1900 年时就把这问题列为 20 世纪数学家所面对的一个重要难题如果他死能复活，当然关心的是这个问题是否解决了? 在此，读者一定会自然而然地想到所谓“黎曼猜想”的作者正是本文的主人翁黎曼。 数学奇才 格奥尔格弗里德里希伯恩哈德黎曼(Gcorg Ffiedrich Bernharde)是德国数学家。1826 年 9 月 17 日他
2、出生在德国汉诺威的一个叫布雷斯伦茨的小村庄，父亲伯恩哈德黎曼是当地的牧师。他家人口够，全家共有 6 个小孩，他排行第二。黎曼天资聪明，为人友善，深得父母的喜爱。 5 岁时，他对历史表现出了强烈的兴趣，常常因沉迷于古代战争故事而难以自拔。对于非正义的事他嫉恶如仇，对于被压抑的民族，他常常抱以深切的同情，他特别同情波兰人被外国侵略者统治的命运。一年之后，他的兴趣逐渐转移，他开始学习算术，算术给这个敏感的孩子提供了一些不太困难的东西去细想。从此，他天生的数学才能开始表现出来，他不但解决了别人留给他的所有题目，甚至还常出一些困难的题目去考他的兄弟姐妹。有个故事足可以证明他的数学天赋。据黎曼中学时的数学
3、老师回忆说：“黎曼在 16 岁时曾经向我借数学书看，并且很谦虚地说希望有一本不太容易看懂的书。我对他说只要你喜欢，书架上的书任你挑选，结果他选了法国数学家勒让德的数论。这是一本长达 859 页、难度非常大的大四开本书。我对黎曼说：试试，看你能读懂里面多少东西。6 天后，他把书送回来了。我问他读懂了多少?他竟回答说：这本书写得非常奇妙，我已全部懂了。此后，黎曼就再也没有看这本书了。在后来的数论毕业考试中老师拿勒让德那本书里的一些问题来考黎曼，出乎老师的意料，他的回答是那样的精彩，好像他是特意读了那本书准备考试一样。数论对他是那样有特别的吸引力，后来，黎曼又读了勒让德写的其他几何书，并从几何书中选
4、了许多题目来做。这说明，还在中学时代，黎曼就已显示出他是一个数学天才了，他具有很强的数学直观能力及抽象思维能力。” 1846 年黎曼进入哥廷根大学研读哲学和神学。实际上，神学并非他的兴趣所在。他只是为了让他的父亲高兴，想尽快得到一个有报酬的工作，以便在经济上支援家庭，才选择了神学。然而，他的心思仍然扑在数学上，他丢不开斯特恩的方程论和定积分，高斯的最小二乘法及戈尔德斯米特的地磁学。黎曼的父亲不忍心看他学得那么辛苦，最终还是让他选择了数学专业。 因哥廷根大学的教育方法较为落后，在读了一年后，黎曼便转到了柏林大学，从学于著名教授雅可比、狄利克雷、施特涅尔。从此他便开始进入新的、充满活力的数学境界。
5、他从老师那里学到了很多东西。如从雅可比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施特涅尔那里学到了现代几何，而从比他年长 3 岁的艾森斯坦那里不仅学到了椭圆函数，而且学到了一个人为何坚持“自信”，因为他和这位年轻的大师兄对数学理论应该如何发展，有着根本的、最激励人的不同观点。 1849 年在回哥廷根准备写博士论文时，为了减轻父亲的经济负担，黎曼参加了由高斯的朋友韦伯等主持的数学物理研讨会，并作为韦伯的助手做一些物理实验，为一些初学物理的人进行讲演。这些琐碎的事使黎曼花掉了不少时间，并影响了他递交博士论文的时间。到了 1851 年 11 月，他才呈上了复变函数论的一般理论的
6、基础一文。高斯对这篇论文的评价很高，他说：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，证明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，以及具有灿烂丰富的想象力。” 1854 年在取得哥廷根大学的哲学博士学位后，黎曼想谋取讲师职位。为此，他得做一次就职演讲。为了对付这次严峻的考验，黎曼提交了三个题目由老师们从中选择，他希望他们会选中前两个题目中的一个，因为前两个题目他早已经准备好了，但使黎曼失望的是，高斯指定了黎曼轻率地提出的第三个题目“几何基础”。在没多少准备的情况下，黎曼在 1854 年所做的讲演论作为几何基础的假设不仅是数学上的一篇杰作，而且在表述方面也堪称典范，为此高斯兴奋不已，并顺利地让黎
7、曼获得了讲师职位。 提出“黎曼几何学” 2000 多年来，人们一直认为欧几里得平面几何学是反映现实世界惟一正确的几何学。19 世纪 2030 年代非欧氏几何的诞生使人们从这一思想中解放出来。在数学史中，很少有一个分支能像非欧氏几何那样对人类的认识史发生如此深刻的影响，其代表人物主要有高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基，其中著作最多并为确立和发展非欧几何而始终不渝的当推罗巴切夫斯基。罗巴切夫斯基从宇宙弯曲的空间特性出发，对欧氏的平行公理(常称第五公设)进行改进，而得出了三角形的内角和小于两直角的公理，从而推翻了欧几里得几何学的惟一性的传统观念，这一思想一般简称为“罗氏几何”。1854 年，黎曼在关于几何基
8、础的假设的演说中，站在微观空间的立场，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何，即黎曼几何，被称为椭圆几何，是非欧几里得几何的一种。它完全排除欧几里得的第五公设，并对第二公设加以修改。欧几里得的第五公设是：经给定直线外的一点，有惟一的一条直线与之平行，在黎曼几何学中没有与给定直线平行的直线。欧几里得的第二公设是：有限直线段可以无限延长。在黎曼几何学中，有限的直线段可以无限延长，但所有直线有相同的长度。欧几里得的其余三个公设仍、 被采用。虽然黎曼几何学的有些定理与欧几里得几何相同，但多数是不同的。例如，在欧几里得几何中两条平行线，处处有相同的距离，而在黎曼几何中，平行线不存在；在欧几里得几何中，三角形三内角之和等于两直角，而在黎曼几何中，其和小于两直角。在欧几里得几何中，面积不等的多边形可以相似，而在黎曼几何中，不存在面积不等的相似多边形。所以在大的范围里，与欧氏几何有着很大的区别。黎曼揭示了不同于欧几里得几何的各种几何的可能性，他的这一工作，引出了深远的结果，而且有益于相对论。
