1、 几何学的邂逅 - -这门课的主题是与以下三个定理相关的数学故事. (1) 笛沙格定理：若 2 个 3 点形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。(2) 帕斯卡定理：圆上 6 点形 3 枚对应边的交点共线。 (3) 蝴蝶定理： 笛沙格定理：设一个三角形的三个顶点为 , 另一个三角形的相应顶点为123M. 若这两个三角形相应顶点的连线共点, 则此两个三角形相应边的交点三点共线. 123M帕斯卡定理： 设 是圆上的 6 点 - 和 相交于一点 ，126,., 1245MP和 相交于一点 , 和 相交于一点 。则 三点共线。 2356Q34M1R,Q蝴蝶定理：设 是圆 里一点. 是经过点 的三枚
2、不同的弦。又设0E,ABCDEF与相交 于 两点。则 经由 有 。 ,CFDEAB,PMP注释: 或许在这一短篇的前面和后面 你可以增添诸多的文字 以呈现这门课的主题或者别的哲思. 几何学的邂逅 2初等数学篇： 上一篇章中呈现的三个定理：笛沙格定理, 帕斯卡定理与蝴蝶定理 有着初等几何的证明。 在步入三个定理的证明之初，我们先说说梅涅劳斯的一个很有名的定理 （错误：图中 P3 改为 A3,P2 改为 A2,P1 改为A1。）梅涅劳斯定理(逆定理)：如图, 设 分别是123,A三点形 的三边 上的点, 则三点123A231,共线 当且仅当 123,A. 13231A上述定理的必要性即为梅涅劳斯定
3、理，充分性则为梅涅劳斯定理的逆定理：已知：E、F 是ABC 的边 AB、AC 上的点，D 是 BC 的延长线的点，且有： (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 E、F、D 三点共线。这一定理的证明为：思路：采用反证法。先假设 E、F、D 三点不共线，直线 DE 与 AB 交于 P。再证 P 与F 重合。 证明：如图，先假设 E、F、D 三点不共线，直线 DE与 AB 交于 P。 由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得： (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+
4、PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ； PB=FB；即 P 与 F 重合。 几何学的邂逅 3 E、F 、E 三点共线。注释: 首先我们已知图中的直线关系：三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。 梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式：AF/FBBD/DCCE/EA=1 然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线。 总之：从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。 问题：梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式AF/FBBD/DCCE/EA=1 ？这个问题请大家思考。
5、笛沙格定理： 设三点形 和 对应点的连线 ， ，123M1231M2共点于 。又 ， ，3MI23E12E。1212E则 三点共线。 3,分析与证明：此定理的证明可建筑在上面的梅涅劳斯定理之上。其关键点在于读出适宜的三点形与点缀线：M1 ，M2 ，M3 ，其中E1，E2，E3 分别为 M2M3， M3 M1， M1 M2上的点 将直线 作为三角形 的截线，132ME13MI经由梅涅劳斯定理，有 3213IE类似的, 我们有 将直线 作为三角形 的截线，可得 123ME12MI 1321MI将直线 作为三角形 的截线，可得 23123I 2132EI几何学的邂逅 4将等式左右两边分别相乘，消得
6、321321ME旁观三点形 ，E1，E2，E3 分别为 M2M3， M3M1， M1M2 上的点，123M经由梅涅劳斯逆定理 可得 三点共线。123,经由梅涅劳斯定理和其逆定理可以证明如下的帕斯卡定理(本圆版)：设 是圆上的 6 点 - 和 相交126,.,M12M45于一点 ， 和 相交于一点 ， 和 相交于一点 。试证明：P2356Q34R三点共线。 ,QRQ 设 交 于一点 ，交45M23H于一点 ； 和 相交于点 。61E61I回眸 ：我们只要证 。HIAEPQRI然后由梅尼劳斯之逆定理 可知 三点共线,弦之影：经由梅尼劳斯定理 之相缀于 ： 12MHEIA121MPI之相缀于 ： 3
7、4I34RIH之相缀于 ： 56HEIA651QMI圆之缘：经由 圆幂 定理 几何学的邂逅 531123265345425156164 IMIMIHHEE于是有 。PQIR由梅氏定理之逆定理 可知 三点共线,问曰： 一般二次曲线下的情形何如 ？ 答：命题：若二次曲线内接六边形的三组对边不对称，求证：三组对边的交点共线。引理：已知四边形的四边所在对边的直线分为：fi=0(i=1,2,3,4)则过四边形四顶点的二次曲线系为：f_1f_3+f_2f_4=0 (1)其中 f_1f_3 f_2f_4 为两组对边回到原题证明：设二次曲线方程为 f(x,y)=0,其内切六边形的各边 AB，BC，FA 的方程
8、为f_i=0(i=1,2,6),对角线 AD 方程为 g=0,则过 ABCD 四点的二次方程为：f_2g+ =0 (2)同样的，过 AFED 四点的二次曲线系方程为：f_5g+2f_4f_6=0 （3）将（2） （3）转化成与 f(x,y)=0 重合的曲线：1f(x,y)=f_2g+1f_1f_3 =0 (4)和2f(x,y)=f_5g+2f_4f_6=0 （5）通过（4） （5）消去 g 得：1f_1f_3f_52f_2f_4f_6=(1f_5-2f_2)f(x,y)=0 (6)可以看出，ABCDEF 均在（6）的曲线上，又可以看出，LMN（分别为三组对边的交点）也在（6）上。几何学的邂逅
9、6因为 L，M，N 不在 f(x,y)=0 上，所以，他们在曲线 1f_5-2f_2 上，而这是一个直线，所以 L，M，N 共线童真的年代.如果与蝴蝶定理相识，则伴随我们的数学故事是否会多一分精彩 ? 蝴蝶定理. 如图,设 是弦 的中点。 是经过点 的两条不同的弦。又AB,CDEFM分别交 于 两点。则有 。,CFDEABPQMPQ这一定理的一种初等几何的证明如下：证明: 连接 我们有 ,ACFBDE（错误：ACMMFEBEFCDPA第一行的MC改为DM ，第二行的AE 改为AF ，第三行的PE 改为DE ）进而 我们有 （错误：第一行的QM改为AFCDEMBACABCFESAPMQSDMBE
10、EABFC AQB，第五行的第一个ME改为MF）从而 。 （错误：BQ 改为 BM）APQBMMPQ注释：经由上面的证法，我们其实有如下的 几何学的邂逅 7定理. 如上图,设 是弦 是经过圆内一点 的三条不同的弦。又 M,ABCDEFM分别交 于 两点，则 平分 当且仅当 平分 . 此即： CFDE,PQABPQPQ这一定理的充分性为蝴蝶定理。必要性可曰蝴蝶定理的逆定理。 注释：蝴蝶定理的证法是非常多的。法一（Menelaus 定理证明法）：如上图：延长 CF，DE 交于 G，由图知：PQG 被EF、CD 切割，由截线 EF 得：GF/FPPM/MQQE/EG=1由截线 CD 得：GC/CPP
11、M/MQQD/DG=1因为GFD GEC 所以 DGEG=FGCG即 DG/CG=FG/EG（圆幂定理）经由圆内相交弦定理得：MP2/MQ2=（ FPCP）/（ EQDQ）=（APBP）/（ AQBQ）=（AM-PM） （AM+PM ）/ （AM+MQ） （AM-MQ ）=（AM2-MP2）/(AM2-MQ2)=AM2/AM2=1MP2=MQ2PM=QM法二：作 FL/AB，延长线 OM 交 FL 于 N，连 MD、DQ，想证：FMPLMQ因为 OMAB ，所以 ONFL又因为 FO=LO，所以 N 是 FL 中点，进而 MF=MD 且PMF=LMB所以MLQ=MDQ=PFM，因为PFM=ML
12、Q，PMF=QML ，MF=ML，所以FMP LMQ所以 PM=QM注释: 问你是否可以在这里再多加上一点文字 高中数学篇 解析几何的思想就是用代数方法来研究几何问题，因此需要规定坐标系使得点的坐标与实数对之间能有一一对应的关系。而几何中的图形因为都是由点构成的，所以它们都可以用代数方程来表示。由此看出，通过坐标系可以把几何问题转化成简单的代数问题来解决。几何学的邂逅 8笛沙格定理的再现：设三点形 和 对应点的连线 ，123M123 1M， 共点于 。又 ， ，2M3IE132E。则 三点共线。 1123E123,分析与证明: 以 为原点建立直角坐标系。设 I-的坐标分别是123123,;,M
13、3 11223()(),(,);, ,)xyxyMxykkk其中 。 ,iiI(I) 往下希望给出点 的坐标: 设 123,E。112233(,)(,)(,)EefefEef于此先求出 (1.1) 直线 的方程：12M（y-y1）/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)(y2-y1)x+(x1-x2)y=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1 212121()()yxyxy同理得 的方程：M21221()()kkxkxy解联立方程 2121211()()()yxyykkxkx得 的坐标是 3E121212123,3()()() ,kx
14、kxkykyef注释 1: 这里的计算可以 经由克莱姆法则 有 几何学的邂逅 912112 121212121231221()() ()()xyxxxykkkkxkxe y13()yyfk(1.2) 类似的, 经由对称性 可算得 的坐标 分别是21,E331313122 12222311 3 3()()(,)(, , )xkxkykyEef(II) 为证 三点共线, 只需证E1E2E3 的面积为 0，即 123,1230eff注释 2: 给定平面上三点的坐标 , 112233(,)(,)()EefefEef则以此三点为顶点的三角形 的面积为 23123123EfSefA由此可得： 三点共线 当
15、且仅当 123, 1230eff注意到（I）中的 的取值, 1122(,)(,)()EefefEe转化为求证230fe232323233311111132222221 1()()0()()kxkxkykykxkxkyky几何学的邂逅 10利用行列式的相关性质, 可简化计算和证明 2323232332311111()()0kxkxkykyk(III) 利用行列式的相关性质计算可得 232323233231111131313131312()()0()()kxkxkykykCDkxkxkykyk22222313131313131222222211() )()0yyxxkCCkDkC其中 233112
16、2()()()kxxxDykyky因而 三点共线。123,E注释：从中学数学的尺度，或可解答如下 在求的点 的坐标后 31,(1.3) 问直线 的方程：经由 和 的直线方程形如下 E1E3232323233111122 21()()0xykkkk可简化为 2323232332311111()()0xykkkkk几何学的邂逅 11经整理得到： 1231211231123122 233 3 ()()()()kkxykkykkxxy 32 可消去公共项 ，得到直线 的方程为：2()k1E1231123123121212 32()()()ykxkxyxyk (II) 经由对称性, 可算得直线 的方程形
17、如下： 23E312313123131231 21()()()kykxkxyxy (iii) 比较直线 的方程 和直线 的方程，两者是一致的。 31E23E此即 三点共线,12,作业： (1) 试证明: 给定平面上三点的坐标 , 则以此三点112233(,)(,)()EefefEef为顶点的三角形 的面积为 123E123123EefSfA证明：由已知条件得： E1E2 （，） E2E3（，）E1E2E3E1E2E2E3（）（）（）（） 证毕。几何学的邂逅 12(2) 试计算上面证明的结论：2323232332311111()()0kxkxkykyk(3) 理解上定理的证明和说说的感想 - 数
18、学微博一篇。微博：笛沙卡定理的证明虽然原理很明确，思路很清晰，但是计算过程太复杂了，这就是令我痛恨的地方，一大坨式子堆在一起，草稿纸都装不下了有木有？各种字符黏在一起眼睛看花了有木有？连老师都闲烦，直接把 PPT 给 pass 过去了有木有？第一题的证明也用了几张草稿纸啊有木有？总之，一个字:纠结。思考题：请给出 笛沙格逆定理的证明。笛沙格逆定理：三角形 ABC 与三角形中，与 B1C1，与C1A1，与的交点分别为，若 X，Y，Z 共线，则AA1，BB1，CC1 交于同一点 O 或互相平行。证明：帕斯卡定理(本圆版)：设 是圆上的 6 点 - 和 相交于126,.,M12M45一点 ， 和 相
19、交于一点 ， 和 相交于一点 。试证明：P2356Q34R三点共线。 ,QRPascal 定理的解析几何证明： 如图建立直角坐标系，原点为圆心，设圆上六点的坐标为： 112266(cos,in),(cos,in),.(cos,in)MMM3（cos3，sin3） ，M4（cos 4，sin 4） ，M5（cos5，sin5）几何学的邂逅 13由题意可知，点 分别是直线 和 的交点, 和 的交点,PQR12M4523M56和 的交点。 34M61设其坐标分别是 。往下依次计算所得坐标值。123(,)(,)(,)xyxyRxy1 由直线方程的两点式可算得直线 的方程为：1(,):P122112si
20、nisin()cocoyx同理可得直线 方程为： 。45M5445iisin()scoyx则进而可联立两条直线方程：21125445sinisin()cocossyx解得： ，2145541215214(c)in()(cos)in()i inx21455412211215214(cos)si()(cs)si()siinsi()ini cocoy 2 同理可求得 2(,):Qxy，356652326325(cossin)(cos)sin()i)(inx32566533223263225(i )i()isini()sin)s()si(scocosy 3 同理可求得 ,:Rxy，4361163431
21、436(cos)sin()(cos)sin()i inx43611644334314336()i()()i()isini()sinssiscocosy 。几何学的邂逅 14经计算得 ( 或可借助于 MM - ) 1230xy因而 三点共线。,PQR注释: - 许多天后 让我们再回到此一游，心情是否有点不一样 ? 帕斯卡定理告诉我们，定理的发现是不容易的，定理的证明更加不容易，没有人随随便便就能发现并且证明一个定理，发现定理的不是人，是神，证明定理的不是一般人，不是我等凡夫俗子所能相比的。另外，这两个定理也告诉我们，做数学不仅需要有严谨的精神，更需要有强悍的耐心和意志力蝴蝶定理. 如图,设有一圆
22、O，AB为其中的弦，设 是弦 的中点。 是经过MAB,CDEF点 的两条不同的弦。又 分别交 于 两点。则有 。M,CFDEAB,PQPQ蝴蝶定理的解析证明: 以 M 为原点, AB为 x 轴建立直角坐标系. 设圆的方程为 22()ymr设直线CD、EF 的方程分别为 , 利12,kxy用圆和直线的联立方程组求相应的点坐标。设 的点坐标分别为 ，则有 ,;CDEF1234(,),;(,),xyxy经由 得 。221()xymrk 211221,kmrk经由 得 。22()xyrk 223434,1krxxk为求点 的坐标，利用直线方程 在其中令 得 P141yy0y。214()Pkxx几何学的
23、邂逅 15类似的， 可得 经由此 得到 。2132()Qkxx0PQx注释: 请君一试 - 分别写出以下 3 种曲线模式下的蝴蝶定理 （1） 椭圆 （2） 双曲线 （3） 抛物线 椭圆：，椭圆的长轴 A1、A2 与 x 轴平行，短轴 B1B2 在 y 轴上，中心为 M（o，r）（br 0）。（）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（）直线 y=k1x 交椭圆于两点（x1,y1）,D(x2 ，y2)（y2）；直线 y=k2x 交椭圆于两点（x3，y3），（x4，y4）（y）。求证：kxx2(x1+x2)=k2x3x4(x3+x4)（）对于（）中的 C，D，G，H ，设 CH 交 X 轴于点
24、 P，GD 交 X 轴于点 Q。求证： | OP | = | OQ |。（证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 X 轴的情形）（）解：椭圆方程为 x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为（）证明：将直线 CD 的方程 y=kx 代入椭圆方程，得 b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理，得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，所以 x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r 将直线 GH 的方程 y=k2x 代入椭圆方程
25、，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r 由，得 k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。（）证明：设点 P（p，o），点 Q（q，o）。由 C，P ，H 共线，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得 P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由 D，Q，G 共线，同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由 k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2
26、-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。几何学的邂逅 16梯 形 ： 梯 形 蝴 蝶 定 理 如 图 ， 在 梯 形 中 ， 存 在 以 下 关 系 ： (1)相 似 图 形 ， 面 积 比 等 于 对 应 边 长 比 的 平 方 S1： S2=a2/b2 （ 2） S1 S2 S3 S4= a2 b2 ab ab ； （ 3） S3=S4 ； （ 4） S1S2=S3S4(由 S1/S3=S4/S2 推 导 出 ) (5) AO： BO=(S1+S3)： (S2+S4) 编 辑 本 段 证 明证 明 ： 过 圆 心 O 作 A
27、D 与 B 牟 垂 线 ， 垂 足 为 S、 T， 连 接OX， OY， OM。 SM。 MT。 SMD CMB， 且 SD=1/2ADBT=1/2BC， DS/BT=DM/BM 又 D= B MSD MTB， MSD= MTB MSX= MTY； 又 O， S， X， M 与 O， T。 Y。 M 均 是 四 点 共 圆 ， XOM= YOM OM PQ XM=YM3 者合一模式下的蝴蝶定理 蝴蝶定理. 设有二次曲线 K. 是弦 的中点。 是经过点 的两条不同AB,CDEF的弦。又 分别交 于 两点。则有 。,CFDEAB,PMPQ图：画 3 请帮着画一个带坐标系的图 蝴蝶定理的解析证明:
28、以 M 为原点, AB为 x 轴建立直角坐标系. 设此二次曲线 K 的方程为 2 0axbycdxeyf注意到 是弦 的中点 - 而点 A, B 在二次曲线 K 上, 可知 d= 0. 于是 MAB几何学的邂逅 17二次曲线 K 的方程可写作 。2 0axbycef我们设直线CD、EF 的方程分别为 , 利用曲线 K 和直线的联立方程12,kx组求相应的点坐标。设 的点坐标分别为 ，则有 ,;CDEF1234(,),;(,),yyx经由 得 。 -(3.1) 210axbycefkx 1122221,ekfxabcabkc经由 得 。 - 22ycefkx112222,ekfxxckc(3.2
29、) 于是有 , 进而有 (3.3) 1234kx234121234()()kxkx为求点 的坐标，利用直线方程 在其中令 得 P141yy0y。214()Pkxx类似的， 可得 经由此 + (3.3) 得到 2132()Qkx21413212341212342 3()()()()()0PQkkxkxxx由此 MP = MQ 。注释与证明(桥约版): 以 M 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系.设圆的方程为设此二次曲线 K 的方程为 2 0axbycdeyf注意到 是弦 的中点 - 而点 A, B 在二次曲线 K 上, 可知 d= 0. 于是 AB二次曲线 K 的方程可写作 。2xf再设直
30、线CD、EF 的方程分别为 , 12,yk于是由曲线 K 和 两相交直线组成的二次曲线系为 21 212()0axbcefyxk几何学的邂逅 18令 y = 0 , 则点 P 和点 Q 的横坐标满足方程 211)0akxf由于一次项的系数为零, 由韦达定理得 , 即 故PQ()0MPQMP = MQ。注释: 问 这一篇段后 你会有何说词 ? 高等几何学的前哨 -:- 几何学的舞步：欧氏几何 仿射几何 射影几何 欧氏平面： - 2(,|)A是其上的欧氏度量。,|,xyA|欧氏平面是我们在中学时代就相识的一块数学福地。 笛卡尔天才的在其上引入直角坐标系, 从而将平面图形的性质和问题转化为解方程组等
31、代数问题 - 解析几何由此诞生。仿射平面：。2(,)|xyAA在上面笛沙格定理的解析证法，我们采用的可以是斜坐标系。 这是仿射几何的一处亮色。没有距离的羁绊 - 解题可以更自由 更简洁。 射影平面 = 建筑在欧氏平面之基石上的一种拓广后的平面 我们记此平面作 。2intposA 2PA在 上 普通的点与无穷远点的地位是无差别 没有等级的。 P其相关的模型可形如下： 中过原点 o 的直线 - 其中的点是 那些直线 2A3几何学的邂逅 19 / 3221213(,)|0xxA 323|(,)S图解与注释： 通过无穷远点的引入，完备了仿射平面，得到了扩大的仿射平面。1 在射影平面上 直线是“封闭的2
32、 在射影平面上 任何两条不同的直线有且只有一个交点。射影平面的几何抽象 半桥模型 （略） 回忆在 解析几何中， 欧氏平面上的每个点用坐标 表示，而直线可表示成二元(,)xy一次方程 ，其中 不全为零。1230axy12,a在射影平面中， 每个点 用三个坐标 来表示，其中 不全为P123(,)x123,x零，叫做点 的射影坐标（也叫做齐次坐标） 。 我们约定: 如果两组射影坐标 和 相差一个公共的非零因子，即存在一个实数 ，使得 123(,)x123(,)x 0，则它们表示同一个点。 于是，当 时， 则射影平面上的点 也就是点 。我们可30x123(,)x123(,)x以把这一点等同于欧氏平面上
33、的点 。 换句话说， 欧氏平面上的点 可看123(,)x (,)y成是扩大了的射影平面上的点 其射影坐标是 。 经由这样的方式 (,1)xy， 我们可以把欧氏平面以代数的方式嵌入到射影平面中。 而射影平面(,),1)xy中 射影坐标 的那些点 则给出无穷远点。 30x12(,0)x让我们回到欧氏平面中直线的方程 （1） - 将此方程中的直角坐标 改写(,)xy成它的射影坐标 ，即令 代入 （）式，就可的代一个齐次方123(,)x23,xy几何学的邂逅 20程 。 其中 不全为零。 1230axx12,a此为射影平面上 一射影直线的方程：其解由两部分组成： 121231231233213(,)|
34、 0(,)| 0,(,0xxaxaxxa前者响应欧氏空间中普通直线上的点； 而后者可视为原来直线所要添加的那个无穷远点！ 我们记 直线 。123,a二枚例子： 求如下的方程的相应的齐次方程 和无穷远点。 （1） （2）60x1xy解：（1） 令 代入 方程 得 。 进而得到其相应的13601360x齐次方程为 。 在其中令 ，可得 。 因而其上的无穷远点为160x3x1。(0,)（2 ）令 代入方程 得 。 进而得到其相应的齐123,xy1xy123x次方程如下： 。 在其中令 ，可得 或者 。因而这一曲线其上2130120的无穷远点有两个： , 。(0)1三点共线 数学的缘份 在 上，三点
35、共线 2A123(,)(,)(,)PxyQxyRxy1230xy于是在 上 有相应的图画如下：2PA三点 共线 123(,)(,),(,)xyzQzRxyz几何学的邂逅 211122330xyz注释：在解析几何里 我们知道经过两点 的直线方程是 12(,),xy121yyxx1212121()0xy借助于大学数学的语言 此即为 120yx由此获得上面的相关结论。让坐标齐次化后可得 那射影坐标下的面具。 相应的 在射影坐标下的面具是 - 11220xyz 大学数学篇：射影几何学 在经由 3 个定理的中学时代后 此时此刻迎来了这些定理高观点下的数学证明。其数学的本质或在于平面 空间的数学之旅：会当
36、临绝顶，一览众山小 笛沙格定理：若 2 个 3 点形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。 其数学的详情如下：设三点形 和 对应点的连线 ，123M123 1M， 共点于 。又 ， ，2M3IE132E。则 三点共线。 1123E123,证明：可建立射影坐标系 ： 123,;MI几何学的邂逅 22于是有 123(,0)(,10)(,1);(,)MMI经由 在 上，因而其坐标可形如下： I(,)(,)(,)经由 在 上，因而其坐标可形如下： 2I(1,)(0,)(1,)经由 在 上，因而其坐标可形如下： 3MI 点的坐标：1E1123230()xEM 在 上在 上解得 1(0,同理可得 ，
37、。23(E经由 ， 有 三点共线。 0123,注释与证明： 从某种意义上，下面的射影几何证明是奇妙的。选取一 QQ 的射影坐标，使得有 ； 123()()()()IMM因而有 2331E12()()()1223经由 - 1233112()()()()()0EMM因而 三点共线。 3,注释: 阅读到此，问你是否依然有那一阙童真时代的好奇心 一窥其间隐藏的数学秘密呢？当笛沙格定理的笛声依稀远去的时刻，下面走来了曾让我们心酸的几何学的邂逅 23帕斯卡定理. 设 是圆上的 6 点 - 和 相交于一点 126,.,M12M45， 和 相交于一点 ， 和 相P235Q361M交于一点 。试证明： 三点共线
38、。 R,PR证明：可建立射影坐标系 ： 1234,;123(0,)(,0)(0)(1,)MM516123,.me经由点 的二次曲线的点坐标方程形2345,如下：( 5 点给出一二次曲线。 ) 312123231()()0mxxx点的射影坐标 ：因为其是 和 的交点，于是有 P,yz1M45112 123(,)(0)(,0)(,)(,)x m进而有 2451213m所以 512321232(,)(,0)(,0)xyzm点的射影坐标 ：因为其是 和 的交点，于是有 Q2,)3M562 3123123(,)(,(,)(,)(,)xyz e进而有 62131232131232(,)(,0)(,0)zm
39、eeme点的射影坐标 ：因为其是 和 的交点，于是有 R3(,)xyz34M613423(,)01(,)(,)(0,)e进而有 361212(,)(,)(,)xyze几何学的邂逅 24射影空间中 三点共线 - ,PQR- 1122330xyz123133200mmeee此间 。 312123231()()()0mememe一点注释： 证明：设所给出的二次曲线方程 ：0f其中 。221311323(,)fxyzayazxyazy在 。 。 。 设有 。2(,)(,)(0,)MM于是 经由 11)00f经由 ，经由 。22(a33()0fa因而 有 。1132,)fxyzxyzy经由 451233
40、123123(0)(,)(),(),()Mfamm注释 2：对于其上的射影坐标系的建立，你是否依然迷惑着 ? 射影几何的又一格美丽之处 其对偶性。在上面 我们把射影几何中一些基本概念 如点， 射影直线 ， 交比等 均表达成代数形式。 其好处在于可以把几何问题归结于代数问题，从而为利用代数工具解决射影几何问题提供了可能性。 另一格好处也在于 点和线看是完全不同的几何图形可以用完全相同的代数形式 - 即射影坐标 来表达。 经由此 有对偶原理的呈现 - 点坐标： - - 经由点 的线束。123(,)x123123(,)(,)xx123(,)x线坐标： - 在 上的点列。:u230u:u几何学的邂逅
41、25点 与 线 对偶 -对偶原理：射影平面与欧氏平面的结构是不同的： - 读偶原则是前者的一个重要特性。1 点 与 线 是射影平面上的对偶元素。2 过一点作一直线 与 在直线上取一点为 对偶作图。3 经由此 。 。 。 点列与线束是 对偶图形。 这里得放一些图例 - 当如何给出 ? 对偶原理: 在射影平面里，若一个命题成立；则其对偶命题也成立。 代数的视线： 经由两个不同点 的直线 方程是 12,3123()(,)AaBb1230xb经由两个不同直线 的交点 是 12,3123()(,)ab1230uab三个不同点 共线的条件是 12,3123123()(,)(,)AaBCc1230bc三个不
42、同直线 共点的条件是 12,3123123()(,)(,)abc1230abc注释：几何学的对偶之声 当有更多的绽开 不知你会说点什么 ？ 点几何 与 线几何 几何学的邂逅 26点列中四点的交比与调和比 点列中四点的交比： 定义 2.1. 设 为点列 l(P)中四点, 且 P1 P2，其齐次坐标依次为1234,P. 则由这四点构成的一个交比定义为 1,abb其中 称为基点偶， 称为分点偶。12,P34,P我们有如下的定理定理 2.1. 设点列 l(P)中四点 的齐次坐标为 (i=1,2,3,4). 则有 i ab证明： 经由定理 2.1. 以 为基点，参数表示 . 设 12, 34,P 2ab
43、b从中解出 a, b, 得 于是， P1, P2, P3, P4 的坐标可表示为此即 由交比的定义，有注：定理 2.1 可以作为交比的一般定义.交比的初等几何意义： 旁观 如果限于通常平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即1122().1324123421(),).2121,.a2312411212,ababab34122,.1324123421()(,).P1324123421()(,)P几何学的邂逅 2712312344()(,)P注释 1：此时, 若 P4 = P, 则可合理地规定：于是有, (P 1P2,P3P)= (P1P2P3) 为 共线三点的简单比.注释 2：
44、共线四点的交比值出现 0, 1, 三者之一 这四点中有某二点相同.注释 3： 在共线四点的交比中，交比值为 -1 的情形很重要 - 称为调和比。若 ，则称 调和共轭。14(,)1234,和【 下面是交比的一些性质(1) 34121431234(,)(,)(,)PP(2) 2(3) - Eulers theorem 1324311234(,)(,)(,)P共线四点 可有 种不同的排列。经由上面交比的性质可知这 24 个1234,P!交比值只有 6 个不同的取值： 123434121434321(,)(,)(,)(,)PPm2P1324213142413(,)(,)(,)(,)4314232312
45、414132(,)(,)(,)(,)PPm】43P 线束中 四条直线的交比 此可对偶的定义 定义 2.2. 设 为线束 S(p)中的四条直线, 其齐次坐标依次为1234,p. 则由这四点构成的一个交比定义为 ,abab和点列的情形一样，我们有如下的结论 -1.112342(,).几何学的邂逅 28定理 2.2. 设线束列 S(p)中的四条直线 的齐次坐标为 (i=1,2,3,4). 则有 ipiab直线交比的初等几何意义：斜率表示 如图, 在以 为束心的线束中，取定二直线 0(,)Sxy. 则直线的 (负)斜率 k 可以作为参数来00xy表示线束. 定理 2.3 对于通常线束中以 为斜率的四直线 (i=1,2,3,4), 有ikp容易看出，斜率参数: tan.kR注释：
