1、中考数学专题复习之十三：旋转型题 【中考题特点】：旋转型题是近两年来中考数学试题中出现的热点题型之一，客观题和主观题都有。这类问题主要集中在求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系等题型中，灵活性较强。这类题的解题关键是抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等，即在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。【范例讲析】：例 1：如图，王虎使一长为 4 ，宽为 3 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚cmc（顺时针方向）木板上点 A 位置变化为 ，其中第二次翻滚被桌面上12A一小木块挡住，使木板与桌面成 30角，求点 A 翻滚到 A2 位置时共走过
2、的路径长。例 2：已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连 PA、PB、PC.（1）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置（如图 1）.设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba） ，求PAB 旋转到 PCB 的过程中边 PA 所扫过区域（图 1 中阴影部分）的面积；若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长.（2）如图 2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必在对角线 AC 上.CBA2A1A30例 3：等腰ABC，AB=AC= ，BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 300 角的透明三角板，使 300 角的顶点落在点 P，三角板绕 P
3、 点旋转（1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F 探究：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究：连结 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由； 设 EF=m， EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S图 1AB CDPPAB CDP图 2AB CPE F AB CPE F图 a 图 b例 4：图 1 是边长分别为 4 和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 CDE叠放在一3起（C 与 C重合）.（1）操作：固定A
4、BC，将CDE绕点 C 顺时针旋转 30得到CDE，连结AD、BE，CE 的延长线交 AB 于 F（图 2） ；探究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. （2）操作：将图 2 中的CDE，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的CDE 设为PQR（图 3） ；探究：设PQR 移动的时间为 x 秒，PQR 与ABC 重叠部 分的面积为 y，求 y 与x 之间的函数解析式，并写出函数自变 量 x 的取值范围.（3）操作：图 1 中CDE固定，将ABC 移动，使顶点 C 落在 CE的中点，边 BC 交 DE于点 M，边 AC 交
5、DC 于点 N，设AC C=（3090）（图 4） ；探究：在图 4 中，线段 CNEM 的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出 CNEM 的值，如果有变化，请你说明理由.例 5：将两块含 30角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放。（1）将图 1 中 绕点 C 顺时针旋转 45得图 2，点1AB与 AB 的交点，求证： ；1PC是 11PA2（2）将图 2 中 绕点 C 顺时针旋转 30到1（如图 3） ，点 与 AB 的交点。线段AB2是之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；12CP与（3）将图 3 中线段 绕点 C 顺时针旋转 60到 （如图 4） ，连结
6、，1P3CP32PE图 1 CBAD图 2F E DCB A图 2QPRAB CF 图 3图 3DE 图 4M NB AG C图 4 C/（C /）（C /）求证： AB.32P【练习】：1、如图：已知在 RtABC 中，ABC=90，C60，边 AB=6cm.（1） 求边 AC 和 BC 的值；（2） 求以直角边 AB 所在的直线 l 为轴旋转一周所得的几何体的侧面积.(结果用含 的代数式表示) 2、实验与推理如图 141，142，四边形 ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条
7、直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F。如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系。3、操作：在ABC 中，ACBC2，C90 0，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB于 D、E
8、两点。图， 是旋转三角板得到的图形中的 3 种情况。研究：（1） 三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（2） 三角板绕点 P 旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE 为等腰三角形时 CE 的长） ；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处，且 AM：MB1：3，和前面一样操作，试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。参考答案：例 1： 72cm例 2：解：（1）S 阴影 = 24ba连结 PP，证PBP为等腰直角三角形，从而 PC=6;（2）将PAB 绕点 B 顺时
9、针旋转 90到PCB 的位置，由勾股逆定理证出PCP=90 ，再证BPC+APB=180，即点 P 在对角线 AC 上.例 3：（1）证明：在ABC 中，BAC=120，AB=AC，所以B=C=30 ，因为B+BPE+ BEP=180 所以BPE+BEP=150因为EPF=30 ，又因为 BPE+EPF+CPF=180所以BPE+ CPF=150 所以 BEP=CPF 所以BPECFP （两角对应相等的两个三角形相似） （2）BPECFP BPE 与PFE 相似。 下面证明结论同（1）可证BPECFP 得 = ，而BECPFCP=BP 因此 = ， 又因为EBP=EPF， 所以BPEPFE （
10、 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 由 得 BPE PFE 所以BEP=PEF， 分别过点 P 作 PMBE，PNEF，垂足分别为M、N，则 PM =PN。连 AP，在 RtABP 中，由B =30，AB=8 可得 AP=4， 所以 PM=2 ， 3所以 PN=2 ，所以 s = PNEF= m 321例 4：解：（1）BE=AD 证明：ABC 与DCE 是等边三角形ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CD QPRAB CF 图 3 TSAB CEFPMNBCE=ACD BCEACD BE=AD（也可用旋转方法证明 BE=AD）（2）如图在CQT 中 TCQ=30 RQT=60
11、QTC=30 QTC=TCQ QT=QC=x RT=3 x RTSR=90 RST=90 y= 32 (3x) 2= (3x) 2 (0x3) 34838934（3）CNEM 的值不变 证明：ACC=60 MCENCC=120CNCNCC =120 MCE =CNC E=C EMC CCN CNEM=CCE C= =/3294例 5：解：（1）证明：过点 作 CA 的垂线，垂足为 D 易知：CD 为等腰直角三1P1P角形， DA 是直角三角形，且A30，P所以 故 111C2D P2 ， 11CAP2（2）解： 过点 作 C 的垂线，垂足为 E 易知： E1 1为等腰直角三角形（其中2A CA
12、45） P2CE 是直角三角形，且1 30，所以 ，故 1112P P ， 12CP（3）证明：将图 3 中线段 绕点 C 顺时针旋转 60到 ，易证：1 3C ，于是 45，故 AB.12223P212P【练习】：1、解：（1）AC cm，BC cm4 D（2）所求几何体的侧面积 S （ ）243)2(1 2cm2、解：DE=EF；NE=BF。证明：四边形 ABCD 是正方形，N，E 分别为 AD， AB 的中点，DN=EBBF 平分 CBM，AN=AE， DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNE EBF DE=EF，NE=BF 在
13、DA 边上截取 DN=EB（或截取 AN=AE） ，连结 NE，点 N 就使得 NE=BF 成立（图略）此时，DE=EF。3、解：（1）连结 PC，ABC 是等腰直角三角形，P 是 AB 的中点， CP PB，CPAB，ACP ACB45 0，ACPB45 0，又21DPC CPEBPEDPCBPECPEDPCBPEPCD PBEPDPE（2）共有四种情况， 当点 C 与点 E 重合，即 CE0 时，PEPB CE2 ，此时 PB BE 当 CE1 时，此时 PEBE 当 E 在 CB 的延长线上，且 CE2 时，此时 PBEB （3）MD：ME1：3 过点 M 作 MFBC，垂足分别是 F、H MHAC ，MFBC 四边形 CFMH 是平行四边形，C90 0，CFMH 是矩形，FMH 90 0，MF CECHBABH13DFDE90EM90H13
