1、几何证明线段和差模型(中级)【知识要点】在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（ ），或者两条线段之差cba等于一条线段（ ）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。cba截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。截长法：如果要证明线段等式 ，可以在长的一条线段 上截取一条线段等于 （或者 ），然cbaabc后只需证明线段 上去掉 （或者 ）之后剩下的线段等于 （或者 ）就行了。a cb补短法：如果要证明
2、线段等式 ，可以先将短的两条线段 和 拼接在一起形成一条长线段 ，cd然后只需要证明 就行了。d截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。【经典例题】例 1、（1）正方形 中，点 在 上，点 在 上， 。求证： 。ABCDEFBC45EAFBFDE FDCAE（2）正方形 中，点 在 延长线上，点 在 延长线上， 。请问现在ABCDEFBC45AF又有什么数量关系？FE、 FDCABE（3）正方形 中，点 在 延长线上，点 在 延长线上， 。请问现在ABCDEFCB45A
3、F又有什么数量关系？FE、 FDCABE例 2、正三角形 中， 在 上， 在 上 。 。ABCEFAC60EDF120BDC，请问 有什么数量关系？FE、 FDAB CE例 3、已知： 平分 ， ， ，求证： 。ACBDAE018DBEA BAECD例 4、正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于 O，点 E 在 BD 上，AE 平分DAC.求证： .ODC2 OAD CBE例 5、已知，如图，在 中， ， ， 为 上任一点.ABCCADBP求证： 。P DB CAP【提升训练】1、如图，已知 中，边 上的高为 ， ，求证： 。ABCCDB2BDAC DBC A2、已知： 平分 ，
4、，求证： 。ADBCBDA2 AB CD3、已知 ， ， ，求证： 。ACB3AEBEAC2 EB C4、如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求 的度数。ABC60ADBCACDAB DCBA5、如图，四边形 中， ， 、 分别平分 、 ，且点 在 上。求证：ABCD/BECABCEA。 AEBC D6、如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点作一个 的ABC1BDC120D60，点 、 分别在 、 上，求 的周长。MDNAAMNNDAB CM7、如图，在梯形 中， ， 为 的中点， 交 于点 。ABCD90/C， EDAEF/F（1）求证： ；（2）当 ，且
5、 平分 时，求 的长。F71BA， BC FEDB CA AFEDB C8、已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判断 、ABC60DCEA.BDOB、 的数量关系，并加以证明。D ODE CB A9、己知， 中， ， ，垂足为 ， 是 上任一点， 垂ABCABCDPCAPFBE，足分别为 .（1）求证： ；（2）若 在 延长线上，求证：FE、 DFE。P FEDB CAPFEDB CA P10、（1）如图，四边形 是正方形，点 是边 的中点。 ， 且 交正方形外角ABCDEBC90AEF的平行线 于点 ，求证： 。DCGFF FEBCADG（2）如图，四边形 是正方形，点 是
6、边 上（除 ， 外）的任意一点。 ，且ABCDEBC90AF交正方形外角 的平行线 于点 ，求证： 。EFGFEFA FBCADGE（3）如图，四边形 是正方形，点 是 的延长线上（除 点外）的任意一点。 ，且ABCDEBCC90AF交正方形外角 的平行线 于点 ，求证： 。EFGFEFA FBCADGE11、在等边 的两边 、 所在直线上分别有两点 、 ， 为 外一点，且ABCAMNDABC， ， 。探究：当 、 分别在直线 、 上移动时，60MDN120BCDMNABC、 、 之间的数量关系及 的周长 与等边 的周长 的关系。BANQCL 图1 图2 图3NDANDANDAB C CB CBM M M（1）如图 1，当点 、 边 、 上，且 时， 之间的数量关系是MNABCNNCB、_ ； 此时 ； LQ（2）如图 2，点 、 边 、 上，且当 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出MNABCDNM你的猜想并加以证明； （3）如图 3，当 、 分别在边 、 的延长线上时，若 ，则 （用 、ABxAQx表示）。L
