1、1椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a, b,c 的关系” ；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解： .caPFca15.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或
2、范围.【典例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 ）经过点 ；（2 ）长轴长等于 20，离心率等于 .),0(),3QP 53【典例 2】求椭圆 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标 .4562yx【典例 3】已知 A，P ，Q 为椭圆 C： 上三点，若直线 PQ 过原点，)0(12bayx且直线 AP，AQ 的斜率之积为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）1A. B. C. D.2142【练习】(1)已知椭圆 1( ab0)的一个焦点是圆 x2y 26x80 的圆心，且短轴x2a2 y2b2长为 8，则椭圆的左顶点为( )A(3，0) B(4，0) C( 10，0) D(5，0)（2
3、）椭圆 1 的离心率为 ，则 k 的值为( )x29 y24 k 45A21 B21 C 或 21 D 或 211925 1925(3)设椭圆 C： 1( ab0) 的左，右焦点为 F1，F 2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于x2a2 y2b2A，B 两点，F 1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF 1B，则椭圆 C 的离心率等于_【典例 4】已知 F1，F 2 为椭圆 1(ab0) 的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，x2a2 y2b2且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 15P练习：如图，把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆162yx2的上半部分
4、与 P1,P2,P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 = 721PFPF【典例 5】若 “过椭圆 1( ab0)的左，右焦点 F1，F 2 的两条互相垂直的直线x2a2 y2b2l1，l 2 的交点在椭圆的内部” ，求离心率的取值范围【典例 6】已知椭圆 C： 1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称x29 y24点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN| |BN |_【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化” ，一定要结合图形进行
5、分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数 a,b,c 之间的关系，以减少运算量3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式(或不等式)，利用 a2b 2c 2消去 b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围5.在探寻 a,b,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例 5.【本节练习】1已知椭圆的长轴长是 8，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是( )3
6、4A 1 B 1 或 1 C 1 D 1 或 1x216 y27 x216 y27 x27 y216 x216 y225 x216 y225 x225 y2162.设 e 是椭圆 1 的离心率，且 e( ，1)，则实数 k 的取值范围是( )x24 y2k 12A(0，3) B(3， ) C(0 ，3)( ，) D(0 ，2)163 1633.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1，B 2，焦点为 F1，F 2，若四边形 B1F1B2F2 是正方形，则这个椭圆的离心率 e 等于( )A B C D22 12 32 334.如图，焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率 e ，F，A 分别是x24 y
7、2b2 123椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则 的最大值为_PF PA 5.已知椭圆 C： 的左、右焦点为 ，离心率为 ，过 F2 的直)0(12bayx 21,3线 l 交 C 于 A,B 两点，若AF 1B 的周长为 ，则 C 的方程为（ ）34A. B. C. D.123yx32yx182yx142yx6.已知 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 PF1PF 2，则F 1PF2x2100 y264的面积为_7.设 是椭圆 E： 的左、右焦点，P 为直线 上一点，21, )0(2bayx 23ax是底角为 300 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
8、12PFA. B. C. D. 3458.过椭圆 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，)0(12bayx若 ，则椭圆的离心率为（ ）016PFA. B. C. D.2532139.已知椭圆 的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，若)0(12bayx，则称其为“优美椭圆” ，那么“优美椭圆”的离心率为 BAF10.已知 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当1，POAB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 P11已知方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )x22 k y22k 14A( ，2)
9、B(1，) C(1 ，2) D( ，1)12 1212矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|3，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A2 B 2 C4 D43 6 2 313一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P (2， )是椭圆上一点，且3|PF1|，|F 1F2|， |PF2|成等差数列，则椭圆方程为 ( )A 1 B 1 C 1 D 1x28 y26 x216 y26 x28 y24 x216 y2414.如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆 1(ab0)的x2a2 y2b2右焦点 F，且这两条曲线交点的连线过点 F，则该椭
10、圆的离心率为_15.已知抛物线 与椭圆 在第一象限相交于 A 点，F 为抛物线的42xy)0(182ay焦点，ABy 轴于 B 点，当 BAF=300 时，a= 16. 设 F1，F 2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为x225 y216(6，4)，则|PM| |PF 1|的最大值为_17椭圆 1 上有两个动点 P、Q ，E(3 ，0)，EPEQ，则 的最小值为( )x236 y29 EP QP A6 B3 C9 D1263 318椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 ，则这个椭圆方程为_319若一个椭圆
11、长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是_20.已知圆锥曲线 mx24y 24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A4 B3 C2 D114. 椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，若直线0:bax 21Fc与椭圆的一个交点满足 ,则该椭圆的离心率等于_cxy 221MF5设 F1(c, 0), F2(c, 0)是椭圆 12byax(ab0)的两个焦点， P 是以|F 1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF 1F2=5PF 2F1，则该椭圆的离心率为（A） 36 （B ） 3 （C） （D ） 32若椭圆 的焦点在 轴上，过
12、点（1， ）作圆 的切线，切点分别为2xyabx2+=1xyA,B，直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 21.已知椭圆 1(ab 0)的右焦点为 F1，左焦点为 F2，若椭圆上存在一点 P，满足x2a2 y2b2线段 PF1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 PF1 的中点，则该椭圆的离心率为( )A B C D53 23 22 5922. 已知 为椭圆 上三点，若直线 过原点，且直线,PQ:1(0)xyabPQ的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率等于( ) , 12A B C D2 2414题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例 1】当 m 为何值时，直线 与椭圆 相切
13、、相交、相离？mxyl: 14692yx【典例 2】已知椭圆 ，直线 ，椭圆上是否存在一点，它到1952yx 045:yxl直线 l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012 福建）如图，椭圆 E： 的左右焦点分别为 F1、F2，)0(12bayx离心率 ，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 8.2e（1 ）求椭圆 E 的方程；6（2 ）设动直线 l： 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 交于 Q，试mkxy探究：在坐标平面内，是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由 .【方法归纳】
14、：直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程；当 0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0 时，直线与椭圆相离注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例 1】已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 的右焦点，交椭圆于 A,B 两点，求弦142yxAB 的长及 的周长、面积.1ABF【典例 2】已知椭圆 1(ab0) 经过点(0， )，x2a2 y2b2 3离心率为 ，左
15、，右焦点分别为 F1(c，0)，F 2(c，0)12(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y xm 与椭圆交于 A，B 两点，与12以 F1F2 为直径的圆交于 C， D 两点，且满足 ，求直线 l 的方程|AB|CD| 534【典例 3】已知一直线与椭圆 相交于 A,B 两点，弦 AB 的中点坐标为 M(1,1)，36942yx求直线 AB 的方程.变式：过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ，(1,)M12C21(0)xyab,AB若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为 AB7【典例 4】 （2015 新课标文） 已知椭圆 2:10xyCab的 离心率为 2,点2,在 C 上.（I）求
16、 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.【典例 5】已知点 （0，-2） ，椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭AE21(0)xyab32F圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（）求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQPl【典例 6】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l： 与椭圆 C
17、 相交于 A，B 两点（A，B 均不在左右顶点） ，且以 ABmkxy为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 .求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 .【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：若已知直线过 y 轴上的定点 P(0,b)，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即 y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；若已知直线过 x 轴上的定点 P(a,0)，可以直接将直线方程设为
18、横截距式，即 x=my+a，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的 k 用 替换.m1（3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，则|AB| （1 k2）（x1 x2）2 4x1x2 (k 为直线斜率)（1 1k2）（y1 y2）2 4y1y2【本节练习】81.(2014高考安徽卷)设 F1，F 2 分别是椭圆 E：x 2 1(0b0)的离心率为 ，右焦点为 (2 ，0)斜率为 1 的直线 lx2a2 y2b2 63 2与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3，2)(1)求椭圆 G
19、的方程；(2)求PAB 的面积5.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0，1)，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 2 ，求直线 l 的方AM MB 程5.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点到直线 的)0(12bayx 2306yx距离为 .3(1)求椭圆的方程；（2）过点 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交 x 轴于 N 点，满足)1,0(M，求直线 l 的方程.NBA576.已知椭圆 的离心率为 ，且长轴长为 12，过点 P(4,2)0(12bayx 239的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点.(
20、1)求椭圆方程；（2）当直线 l 的斜率为 时，求 的值；(3)当点 P 恰好为21AB线段 AB 的中点时，求直线 l 的方程.7. 平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆 M： 的右焦点 F 作直线)0(12bayx交 M 于 A， B 两点，P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .03yx 21()求 M 的方程;()C ,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜率为 1 的直线 l12,F2:1(0)xyEab1F与 相交于 两点，且 成等差数列.E,AB22,FAB（1 ）求 的离心率；（
21、2 ） 设点 满足 ，求 的方程.(0,1)pPE9. 设 F1 ，F 2 分别是椭圆 C： 12byax（a b0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.（I）若直线 MN 的斜率为 43，求 C 的离心率；（II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5| F1N|，求 a，b.10 如图，点 F1(c，0) ，F 2(c，0)分别是椭圆10C： 1(ab0)的左，右焦点，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点x2a2 y2b2P，过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x 于点 Qa2c(1)如
22、果点 Q 的坐标是 (4，4)，求此时椭圆 C 的方程；(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点11.已知椭圆 C：x 22y 24(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，（文）求线段 AB 长度的最小值（理）试判断直线 AB 与圆 的位置关系.x圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、 最值问题【规律方法】：（1 ）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求
23、直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2 ）两种常见方法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法.（3 ）圆锥曲线的综合问题要四重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的作用；重视根与系数的关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014 江西文科考题，范围
24、中的题 6、7.1.已知椭圆 C： （a0）的焦点在 x 轴上，右顶点与上顶点分别为 A、B.顶点在12yx原点，分别以 A、B 为焦点的抛物线 C1、C 2 交于点 P（不同于 O 点） ，且以 BP 为直径的圆经过点 A.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M、N 不同两点，求OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程.2.已知椭圆 C： 的上顶点为（0 ，1） ，且离心率为 .)(12bayx 2311（）求椭圆 C 的方程；（）证明：过椭圆 上一点 的切线方程为)0(12nmyx ),(0yxQ；120nymx（）从圆 上一点 P 向椭圆 C
25、引两条切线，切点分别为 A、B，当直线 AB62分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点时，求 的最小值.N3.已知动点 P 到定点 F（1， 0）和到定直线 x=2 的距离之比为 ，设动点 P 的轨迹为曲2线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l： 与曲线nmxyE 交于 C、D 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A、B 不重合）.（）求曲线 E 的方程；（）当直线 l 与圆 相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出12yx其最大值及相应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由 .4. 已知点 （0，-2） ，椭圆 ： 的离心率为 ，
26、 是椭圆的右AE21(0)xyab32F焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（）求 的方程；E（）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQPl5.平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且点xOy )0(1:2bayxC23在椭圆 上，)21,3(C（）求椭圆 的方程；（）设椭圆 ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线14:2byaxEPCP交椭圆 E 于 两点，射线 交椭圆 E 于点 .mkxyBA,OQ12（）求 的值；OPQ（）求 面积的最大值。AB二、定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率
27、、某些代数表达式的值等）的大小与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变化的量所影响的一个值即为定值.求定值的基本方法：1.直接推理计算，通过消参得到定值：直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（如 2015 高考文科）2.从特殊入手，求出定值，再证明，即从特殊到一般法：从动点或动直线的特殊位置入手，计算出
28、定值或定点，然后验证一般情形，即证明这个值与变量无关.【注】：无论哪种方法，其求解过程仍始终贯穿一条主线.1.已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在 C 上.21(0)xyab2(,)（1 ）求 C 的方程；（2 ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.2.已知椭圆 C： ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有)0(922myx两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点 ，延长线段 O
29、M 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？,3若能，求此时 l 的斜率；若不能，请说明理由 .3. 已知动直线 与椭圆 ： 交于 两不同点，且 的lC213xy12,PxyQOPQ面积 ，其中 为坐标原点62OPQS13（）证明： 和 均为定值；21x21y（）设线段 的中点为 ，求 的最大值；PQMOPQ（）椭圆 上是否存在三点 ，使得 ？若存在，C,DEG62ODEGOESS判断 的形状；若不存在，请说明理由DEG（安排此题的目的有两个：一是在处理(1)时，所建立的等式 中含有两个变62OPQS量，且这两个变量间再无直接关系，此时可通过观察等式的结构，通过换元，再借助此等
30、式，探索原来两个变量间的关系，以达到消元的目的；二是在处理（2）时，可通过观察 和 的结构，通过变形，使之满足均值不等式求最值的三个条件）2OM2PQ4.如题（20）图，椭圆的中心为原点 ，离心率 ，一条准线的方程为 Oex（）求该椭圆的标准方程；（）设动点 满足： ，其中 是椭圆上的点，直线 与PNM2, OM的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定ONFPF值？若存在，求 的坐标；若不存在，说,F明理由4.已知椭圆 E： 其焦点为 F1，F 2，离心率为 ，直线 l：x+2 y-)0(12bayx 22=0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B.（1 ）若点 A 是椭圆 E 的一
31、个顶点，求椭圆的方程；（2 ）若线段 AB 上存在点 P 满足 ，求 a 的取值范围.F21145. 已知椭圆： 的长轴长为 4，且过点 .)0(12bayx )21,3(（1 ）求椭圆的方程；（2 ）设 A，B，M 是椭圆上的三点.若 ，点 N 为线段 AB 的中点，OBAM53， ，求证： .)0,6(C),2(D2NDC（2014 江西文）如图，已知抛物线 ，过点 任作一直线与 相交于2:4xy(0,)C两点，过点 作 轴的平行线与直线 相交于点 （ 为坐标原点）.,AByAO（1）证明：动点 在定直线上；D（2）作 的任意一条切线 （不含 轴）与直线 相交于点 ，与（1）中的定直线Cl
32、x2yN相交于点 ，证明： 为定值，并求此定值.2N21|MN三、定点问题（同定值问题）1. 已知椭圆 C 的中心在为坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l： 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 均不在左、右顶点） ，且mkxy以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.152.（2013 陕西）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; () 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的
33、直线 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是l的角平分线, 证明直线 过定点. PQl2.（2014 课标 1）在直角坐标系 中，曲线 与直线 交与xOy2:4xCy:(0)lykxa两点，,MN（）当 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；0k（） 轴上是否存在点 P，使得当 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.yk3.设动直线 l 与抛物线 E： 相切于点 P，与直线 相交于点 Q，证明：以 PQyx421y为直径的圆恒过 y 轴上某定点.4.已知结论：若点 P(x0,y0)为椭圆 上一点，则直线 l: 与椭圆相12byax 120byax切，现过椭圆 C: 上一
34、点 P 作椭圆的切线交直线 于点 A，试判断以线149259段 AP 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.5.已知椭圆 的两个焦点为 ，其中 a,b,c 都是正数，长轴长为12byax )0,(,(21cF4，原点到过点 A(0,-b)和 B(a,0)两点的直线的距离为 .71(1) 求椭圆的方程；(2) 若点 M,N 是定直线 x=4 上的两个动点， ，证明：以 MN 为直径的圆过021NFM定点，并求定点坐标.165.(2015 广东汕头二模)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C：的离心率为 ，左顶点 A 与上顶点 B 的距离为 .)0(12bayx26
35、（1 ）求椭圆 C 的标准方程；（2 ）过原点 O 的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA、QA 分别与 y 轴交于 M、N 两点，问：以 MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.6. 如图，椭圆 E: 的离心率是 ，过点 P(0，1)的动直线 与椭圆21(0)xyab2l交于 A、B 两点当直线 平行于 x 轴时，直线 被椭圆 E 截的线段长为ll 2（）求椭圆 E 的方程（）在平面直角坐标系中是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 恒成立，若存APB在，求出 Q 点的坐标，若不存在，说明理由 .7.已知椭圆 C: 的离心率 ，右焦点到直线)1(2bayx
36、 2e的距离为 .02ba3（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的中点不在圆myx内，求实数 m 的取值范围；12yx（）过点 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，是否存在点 Q，使得以 AB 为直径)3,0(P的圆恒过这个定点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知圆 与圆 (00)的12ytxx直线交 E 于 A,M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（I）当 t=4， 时，求AMN 的面积；（II）当 时，求 k 的取值范围.21.若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为(4,0)Al2(
37、)1xyl（ ）A B C D3,(3,)3,3(,)2.已知 P 为抛物线 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是 ，21xy )217,6(则 的最小值是（ ）M18A. 8 B. C. 10 D. 219213.椭圆 C： （ab0 ）的左、右焦点分别是 F1、F 2,离心率为 ，过 F1 且xy 32垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. （）求椭圆 C 的方程； （）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF 2,设F 1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m ，0） ，求 m 的取值范围； （）在（）的条件下，过
38、点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1，k 2，若 k0 ，试证明 为定值，并求12k出这个定值.3. 已知椭圆21xy上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 12对称（1 ）求实数 m 的取值范围；（2 ）求 AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 4.已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点.设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线12yx交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.5.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 轴上，
39、短轴长为 2，xOy x离心率为 .2(I)求椭圆 C 的方程；(II)A,B 为椭圆 C 上满足 的面积为 的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线AOB64OE 交椭圆 C 与点 P，设 ，求实数 的值.tt196.已知椭圆 E： 的离心率为 ，过其右焦点 F2 作与 x 轴垂直的)0(12bayx 2直线 l 与该椭圆交于 A、B 两点，与抛物线 交于 C、D 两点，且 .xy42CDAB（1 ）求椭圆 E 的方程；（2 ）若过点 M(2,0)的直线与椭圆 E 相交于 G、H 两点，设 P 为椭圆 E 上一点，且满足，当 时，求实数 t 的取值范为 坐 标 原 点 ）OtPHOG,0(
40、 318O围.7. 如图、椭圆 （ab0）的一个焦点是 F（1，0） ，O 为坐标原点.21xy（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有,求 a 的取值范围.22OBA8.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆)0(12bayx2右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时， .3CDAB（1 ）求椭圆的方程；（2 ）求由 A，B，C，D 四点构成的四边形的面积的取值范围.9.已知椭圆 与抛物线 有一个公共焦点，)0(1:
41、21baxy )0(2:2pyxC抛物线 C2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是 的交点.),(（1 ）求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程；（2 ）若点 P 是直线 l 上的动点，过点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，直线 AB与椭圆 C1 分别交于点 E，F，求 的取值范围.O20五、存在性问题1.已知椭圆 ，直线 （c 是椭圆的焦距长的一半）交 x 轴于)0(12bayxax2点 A，椭圆的上顶点为 B，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 P（P 在第一象限） ，交 AB 于点 D，且满足 （O 为坐标原点） .P（1 ）求椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的
42、半焦距为 3，过点 A 的直线交椭圆于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在定点 C使得 为常数？若存在，求出点 C 的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由.CNM2.已知椭圆 C： 的离心率为 ，右顶点为 A，上顶点为 B，以坐标)0(12bayx21原点 O 为圆心、椭圆 C 的短轴长为直径作圆 O，截直线 AB 的弦长为 .)(762ba（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l，与椭圆 C 相交于 G，H 两点，使得AFG 与AFH 的面积比为 1:2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 .六、动点轨迹方程问题1.已知椭圆 C： 的一个焦
43、点为 ，离心率为 .)0(12bayx )0,5(35（）求椭圆 C 的标准方程；（）若动点 为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的),(0yxP轨迹方程.2.已知圆 M： ，圆 N： ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆1)(2yx 9)1(2yxN 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 .AB213.如图，抛物线 C1： ，C 2： .点 在抛物线 C2 上，过yx42)0(pyx),(0yxMM 作 C1 的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于 O）.当 时，切1线 MA 的斜率为 .2（）求 p 的值；（）当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O）.4.如图，设 P 是圆 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，252yx且 .DM54（）当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度.54
