1、第 1 页 共 5 页立体几何与其它数学分支的六大交汇点(629000)四川遂宁市第七中学 郑廷楷 近几年的高考试题中，以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，已不再局限于立体几何的内部，而是旁及到代数、几何、三角、向量、组合等学科分支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性，要求有所加强，应予以重视。以能力立意，命题注重对知识网络交汇部分的考查，深入开发立体几何题的综合考查功能，十分引人注目。一、与函数交汇例 1等边三角形 ABC 的边长为 a，将它沿平行于 BC 的线段 DE 折起，使平面 ADE平面 BDEC，若折叠后 AB 的长度为 d，则 d 的最小值为A. B. C. D. a
2、434543a410分析：在此问题中，DE 在三角形 ABC 中的位置是变化的，由此变化引起翻折后 AO、OF 的变化，从而导致 AF 的变化，进而形成了折叠后 AB 的长度的变化.解析：设 AO=x，则 ，xaOF2322)(xAF222 )3()(xaaBd 223x由此易知：当 时， 取得最小值为a4d.410a【点评】点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决。二、与不等式交汇例2.有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分2a别 用他们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有
3、可能的情形中，所拼成的3,450a第 2 页 共 5 页新几何体的表面积与“棱长和”(所有棱长之和)都最小的棱柱我们称之为“双佳棱柱”，问这样的“双佳棱柱”是否存在?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由分析：若将所有的情形都列出来有七种之多，逐一考虑太繁琐，抓住问题的本质特征，表面积最小即重合部分面积最大、棱长和最小即重合部分棱长和最大这样整体把握问题，可迅速获得求解所需的不等式组解析：假设这样的“双佳四棱柱” 存在， 则 ，解得261046aa；215,3a假设这样的“双佳三棱柱” 存在， 则 ，解得 ，26104aa15,3故这样的“双佳棱柱”是存在的.【点评】在解题过程中，应用穷
4、举法，以保证分类不重不漏。依据表面积与“棱长和”的大小，有效地整合出一个不等式（组）是两个关键步骤，恰恰体现了先“分”后“合” ，有“分”有“合”的解题思想。三、与排列组合交汇例 3.一个正方体的任意四个不在同一平面上的顶点 A、B、C、D 组成的二面角 A-BC-D 的余弦值中，小于 的值的个数是 _.12分析：由于 4 个顶点 A、B、C、D 的空间位置不同，从而我们分类讨论.解析：正方体任意 4 个不共面的顶点 A、B、C、D 共可组成个四面体.设正方体棱长为 1，则其中；48125C以对角线长 为棱长可构成 2 个四面体，如图 1，其二面角的余弦值为；3以 3 条棱长 1 和 3 条面
5、对角线长 为棱长可构成 8 个四面体，如图 2，其二面角的余弦值为 0 或 ；第 3 页 共 5 页以 2 条棱长 1 和 3 条面对角线长 和 1 条体对角线长 为棱长可构成 24 个四面体，23如图 3，其二面角的余弦值为 或 或 或 ；36以 3 条棱长 1 和 3 条面对角线长 为棱长可构成 24 个四面体，2如图 4，其二面角的余弦值为 0 或 或 ，13故正方体的任意四个不在同一平面上的顶点 A、B、C、D 组成的二面角 A-BC-D 的余弦值的集合是：，其中小于 的值有 4 个.1326130,12【点评】解答与立体几何有关的计数问题，首先需要掌握空间中点、线、面的位置关系，要善
6、于进行等价转化，从整体着眼其次就是要灵活运用分类计数原理和分步计数原理、排列组合的方法、以及递推的思想等.四、与解析几何交汇例 4. 在四棱锥 中， 面 PAB， 面 PAB，底面 ABCD 为梯形，ABCDPBCAD=4， BC=8，AB=6 ， ，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是PA.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分分析：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹.解析：因为 面 PAB， 面 PAB，所以 AD/BC，且 .ADBC 90CBPDA又 ，,4,8P可得 ，即得PtanBtan2CB在平面 PAB 内
7、，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 A（-3 ，0） 、B （3，0） 。设点 P（x,y） ，则有，整理得2y)x(|P2 09x1y2由于点 P 不在直线 AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，故选 B.【点评】将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。解答以立体图形为载体的轨迹问题的关键是：把空间问题转化为平面问题。一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程.五、与概率统计交汇第 4 页 共 5 页例 5.以平行六面体 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取1ABCD出两个三角形，则这两个三角形不共面的概
8、率 P为A. B. C. D. 36785376851923851835分析：面对一个复杂的问题，怎么办？将其分解为若干个子问题，逐一分析，各个击破.解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的 8个顶点可组成多少个三角形？可组成 （个）三角形3856C（2）平行六面体的 8个顶点中，4 点共面的情形共有多少种？平行六面体的 6个面加上 6个对角面，共 12个平面.（3）在上述 12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个？有 （个）34（4）从 56个三角形中任取两个三角形共面的概率 P等于多少？显然，.25618CP（5）从 56个三角形中任取两个三角形不共面的概率 P等于多少？
9、利用求对立事件概率的公式，得 .故选 A.13675【点评】这是一道以立体几何熟知的内容为载体，构思巧妙，综合考查立几、排列组合、概率等基础知识，深入考查学生的数学思维能力的上乘之作.六、与向量交汇例 6. 在直三棱柱 中， ， . 已知与1BC2BC1A分别为 和 的中点，与分别为线段 和 上的动点（不包括端点）. 若1A，则线段 的长度的取值范围为GDEFA. B. C. D. ,51,251,21, 25分析：由于点与分别为线段 和 上的动点（不包括端点） ，导致线段 的ACBDF长度发生变化，由此考虑建立空间直角坐标系，引入向量，构建目标函数，将立体几何问题用代数方法解决。解析：建立直
10、角坐标系，以为坐标原点，为 轴，为 轴， 为轴，则 ， ，设 （ ） ，1(0,)2E(,0)G1(,0)Ft1t（ ）.Dt2t所以 ， .1,Ft2,1Dt因为 ，所以 ，整理得 ，GE0FG12t第 5 页 共 5 页由此推出 .210t又 ， ，12(,)DFt21DFt2215415()tt从而有 ，故选A.5【点评】“动”与“静”结合，运动与变化相联系，向量法的运用，为处理动态化问题找到了一条简捷有效的新途径，此类问题已成为高考命题的新的增长点.“在知识网络交汇点设计试题”是近几年新高考命题的重要理念之一，所以在复习备考过程中，要把握好知识间的纵横联系与综合，打破数学内部学科界限，使学生对所学内容真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化的知识体系.
