1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)平面 ， 的法向量 u(a 3，b 3，c 3)，v (a 4，b 4，c 4)(1)线面平行：lauau0a 1a3b 1b3c 1c30(2)线面垂直：lauakua 1ka 3，b 1kb 3，c 1kc 3(3)面面平行：uvukva 3ka 4，b 3kb 4，c 3kc 4(4)面面垂直：uvuv 0a 3a4b 3b4 c3c40例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，E ，F 分别是 PC，PD的中点，PAAB 1，BC 2.(1)求证：EF
2、平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明 以 A 为原点，AB ，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E ，F ，(12，1，12) (0，1，12) ， (1,0，1)， (0,2，1)， (0,0,1)， (0,2,0)， (1,0,0)，EF( 12，0，0) PPADC(1,0,0) AB(1)因为 ，所以 ，即 EFAB.12ABEF又 AB平面 PAB，EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)因为 (0,0,1)(
3、1,0,0)0， (0,2,0)(1,0,0)0，PDCADC所以 ， ，即 APDC，ADDC.又 APADA，AP 平面 PAD，AD平面 PAD，所以 DC平面 PAD.因为 DC平面PDC，所以平面 PAD平面 PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC90，BC 2，CC 14，点 E 在线段 BB1 上，且
4、 EB11，D ，F，G 分别为 CC1，C 1B1，C 1A1 的中点求证：(1)B 1D平面 ABD；(2)平面 EGF平面 ABD.证明：(1)以 B 为坐标原点，BA、BC、 BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如 图所示，则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BAa，则 A(a,0,0)，所以 (a,0,0) ， (0,2,2)， (0,2， 2)，A 0， 0440，即 B1DBA，B1DBD.1D1又 BABDB，因此 B1D平面 ABD.(2)由(1)知， E(0,0,3)，G ，F(0,1,4)，则 ， (0,1,1)
5、，(a2，1，4) EG(a2，1，1) F 0220， 0220，即 B1DEG，B1DEF.1D1又 EG EFE，因此 B1D平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF平面 ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 ，则 cos |cos a， b| .|ab|a|b|(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 ，则sin |cosn ，a| .|na|n|a|(3)向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1，n 2，若二面角 l
6、所成的角 为锐角，则 cos |cosn 1，n 2| ；|n1n2|n1|n2|若二面角 l 所成的角 为钝角，则 cos |cosn 1，n 2| .|n1n2|n1|n2|例 1、如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，AB AC，ABAC2，A 1A4，点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值解 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以 (2
7、,0， 4)，1AB 1CD(1，1，4)因为 cos ， ，1B| | 182018 31010所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1(x，y，z)，因为 (1,1,0)， (0,2,4)，所以 n1 0， n1AD1CAD0，即 xy0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y2，所以， n1(2，2,1)是平面 ADC1 的1AC一个法向量取平面 ABA1 的一个法向量为 n2(0,1,0)设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 .由|cos | ，得 sin .|n1n2|n1|n2| 291 23 53因此
8、，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 .53例 2、如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，ABAA 1，BAA 160.(1)证明：ABA 1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值解 (1)证明：取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B.因为 CACB，所以 OCAB.由于 ABAA 1，BAA160，故 AA 1B 为等边三角形，所以 OA1AB.因为 OCOA 1O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C.(2)由(1)知 OCAB，OA1AB.又平面 AB
9、C平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点， 的方向 为 x 轴的正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐OA标系 Oxyz. 由题设知 A(1,0,0)，A1(0， ，0)，C(0,0， )，B(1,0,0)3 3则 (1,0 ， )， ( 1， ，0)， (0， ， )C3 13 13 3设 n(x， y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则Error!即Error! 可取 n( ，1，1)3故 cosn， .1An|n| 105所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .105(1)运用空
10、间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐 标系； 求出相关点的坐 标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算； 转化为几何结论(2)求空间角应 注意：两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量 夹角的补角为所求例 3、如图，在四棱锥 SABCD 中，AB AD，ABCD，CD 3AB3，平面 SAD平面 ABCD， E 是线段 AD 上一点，AE ED ，SEAD.3(1)证明：平面 SBE平面 SEC；(2)若 SE1，求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值解：(1)证明： 平面
11、SAD平面 ABCD，平面 SAD 平面 ABCDAD，SE平面 SAD，SEAD，SE平面 ABCD. BE平面 ABCD，SEBE. ABAD，ABCD，CD3AB 3，AEED ，AEB30 ，CED60. BEC90 ，3即 BECE. 又 SECE E，BE平面 SEC. BE平面 SBE，平面 SBE平面 SEC.(2)由(1)知，直线 ES，EB，EC 两两垂直如 图，以 E 为原点，EB 为 x 轴， EC 为 y 轴， ES 为 z轴，建立空间直角坐标系则 E(0,0,0)，C(0,2 ，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以 (0，2 ，0)，3 CE3(2 ， 2
12、 ，0)， (0，2 ，1)CB3 CS3设平面 SBC 的法向量为 n(x，y，z )，则Error!即Error!令 y 1，得 x ，z2 ，3 3则平面 SBC 的一个法向量为 n( ，1,2 )3 3设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 ，则 sin | | ，n|n| 14故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为 .14例 4、如图是多面体 ABCA1B1C1 和它的三视图(1)线段 CC1 上是否存在一点 E，使 BE平面 A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值解：(1)由题意知 AA1，AB
13、，AC 两两垂直，建立如 图 所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B( 2,0,0)，C(0， 2,0)，C1(1，1,2)， 则 (1,1,2) ， (1，1,0)，1CC(0 ，2，2)设 E(x，y，z)，则 (x，y 2，z)， (1x， 1y,2z)设 (0)，E1E则Error!则 E ，( 1 ， 2 1 ，21 ) .B(2 1 ， 2 1 ，21 )由Error!得Error!解得 2，所以线段 CC1 上存在一点 E， 2 ，使 BE平面 A1CC1.C1(2)设平面 C1A1C 的法向量为 m(x ，y，z)，则由Error!得Error!取
14、x1，则 y1， z1. 故 m(1， 1,1)，而平面 A1CA 的一个法向量为 n(1,0,0)，则 cosm，n ，故平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值为 .mn|m|n| 13 33 33利用空间向量解决探索性问题例 1、如图 1，正ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高， E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 ADCB(如图 2)(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 EDFC 的余弦值；(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE？如果存在，求出 的值；如果不存在，请BP
15、BC说明理由解 (1)在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB.又 AB平面 DEF，EF平面DEF，AB平面 DEF.(2)以点 D 为 坐标原点，以直线 DB，DC，DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2 ，0)，E(0， ，1)，F(1， ，0)，3 3 3(1 ， ，0)， (0， ，1)， (0,0,2)F3 E3 D平面 CDF 的法向量为 (0,0,2)设平面 EDF 的法向量为 n(x， y，z)，DA则Error!即Error!取 n (3， ，3)，3cos ，n ，所以二面角 E
16、DFC 的余弦值为 .An| |n| 217 217(3)存在设 P(s，t,0)，有 ( s，t，2)， 则 t20，t ，AAPD3 233又 (s2，t,0) ， (s, 2 t,0)， ，(s2)(2 t )st，BC3 B3 s t2 . 把 t 代入上式得 s ， ，3 3233 43 13 C在线段 BC 上存在点 P，使 APDE. 此时， .BPBC 131空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的
17、解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例 2、.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B 1C1 中，ACB90 ，AA 1BC2AC2.(1)若 D 为 AA1 中点，求证：平面 B1CD平面 B1C1D；(2)在 AA1 上是否存在一点 D，使得二面角 B1CDC1 的大小为 60？解：(1)证明：如 图所示，以点 C 为原点， CA，CB，CC1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即 (0,2,0) ， (1,0,1)， (1,0,1)1B1由 (0,2,0)
18、(1,0,1) 0000，得 ，即 C1B1CD.D1由 ( 1,0,1)(1,0,1)1010，得 ，即 DC1CD.1 又 DC1C 1B1C 1，CD平面 B1C1D.又 CD平面 B1CD，平面 B1CD平面 B1C1D.(2)存在当 AD AA1时，二面角 B1CDC1 的大小为 60.理由如下：22设 AD a，则 D 点坐标为(1,0，a)， (1,0，a)， (0,2,2)，设平面 B1CD 的法向量为 m(x，y，z)，则Error!Error!令 z1，得 m( a,1， 1)又 (0,2,0)为平面 C1CD 的一个法向量，则 cos 60 ，CB |m|m| 1a2 2
19、 12解得 a (负值舍去)，故 AD AA1.在 AA1 上存在一点 D 满足题意2 222空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领悟好例 1、如图，四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，BC CD 2，AC4，ACBACD ，F 为 PC 的中点，AFPB.3(1)求 PA 的长；(2)求二面角 BAFD 的正弦值(1)学 审 题 审 条 件 之 审 视 图 形由条件知
20、 ACBD DB，AC 分别为 x，y 轴 写出 A，B，C，D 坐标 建 系 设 P 坐标 可得 F 坐标 0 得 P 坐标并求 PA PA面 ABCD PF CF AFPB 长(2) 由 (1) ， ， 的坐标学 审 题An1 0 且 n1 0 求得 向 量 n1，n2分 别 为 平 面 FAD、平 面 FAB的 法 向 量 DAFn1n2 求得夹角余弦解 (1)如图，连接 BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即 BCD 为等腰三角形，又AC 平分BCD ，故 ACBD.以 O 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴，BCPz 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，则
21、OCCDcos 1.而 AC4，得 AOAC OC 3.3又 ODCDsin ，故 A(0，3,0)， B( ，0,0)，C(0,1,0)，D( ，0,0)3 3 3 3因 PA底面 ABCD，可设 P(0，3，z )由 F 为 PC 边中点，知 F .又(0， 1，z2) ， ( ，3， z)，AFPB，故 0，即 6 0，z2 (舍去2 )，AF(0，2，z2) B3 APBz22 3 3所以| |2 .PA3(2)由(1)知 ( ，3,0)， ( ，3,0)， (0,2， )设平面 FAD 的法向量为D3 AB3 F3n1( x1，y1，z1)，平面 FAB 的法向量为 n2( x2，y
22、2，z2)，由 n1 0，n 1 0 ，得Error!因此可取 n1(3， ，2)F 3由 n2 0，n 2 0 ，得Error!故可取 n2(3， ，2)AB3从而法向量 n1，n2 的夹角的余弦值为 cosn1，n2 .n1n2|n1|n2| 18故二面角 BAFD 的正弦 值为 .378建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用 ACBD，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例
23、 2、如图，在空间几何体中，平面 ACD平面ABC， ABBC CADA DCBE 2.BE 与平面 ABC 所成的角为 60，且点 E 在平面 ABC 内的射影落在ABC 的平分线上(1)求证：DE平面 ABC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值解：证明：(1)易知 ABC，ACD 都是边长为 2 的等 边三角形，取 AC 的中点 O，连接 BO，DO，则 BOAC，DOAC. 平面 ACD平面 ABC，DO平面 ABC. 作 EF平面 ABC，则 EFDO. 根据题意，点 F 落在 BO 上，EBF60 ， 易求得 EFDO ，四边形 DEFO 是平行四边形，DEOF.3DE平面 ABC，
24、OF平面 ABC，DE平面 ABC.(2)建立如图所示的空 间直角坐标系 Oxyz，可求得平面 ABC 的一个法向量为 n1(0,0,1)可得 C(1,0,0)， B(0， ，0)，E(0， 1， )，则 (1， ，0)， (0， 1， )3 3 3 CB3 E3设平面 BCE 的法向量为 n2(x，y，z)， 则可得 n2 0，n 2 0，即(x，y，z )(1， ，0)0，( x，y，z)(0，1， )0，可取 n2( 3， ，1)3 3 3故 cosn1，n2 . 又由图知，所求二面角的平面角是 锐角，n1n1|n1|n2| 1313故二面角 EBCA 的余弦值为 .1313专题训练1.
25、如图所示，在多面体 ABCDA 1B1C1D1 中，上、下两个底面 A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1底面 ABCD，ABA 1B1，AB2A 1B12DD 12a.(1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值；(2)已知 F 是 AD 的中点，求证：FB 1平面 BCC1B1.解：以 D 为原点，DA ，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1) ( a，a， a)
26、， (0,0，a)， cos ， ，111AD| 33所以异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为 .33(2)证明： ( a，a，a)， (2a,0,0) ， (0， a，a)，BBC1FBError!FB1BB1，FB1BC.BB1BCB， FB1平面 BCC1B1.2如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA 1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC1B1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B，并求 的值BDBC1解：(1)证明：因 为四边形 AA1
27、C1C 为正方形，所以 AA1AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AC，AA1AB. 由题知 AB3，BC 5，AC 4，所以 ABAC.如图，以 A 为 原点建立空 间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3 ，4)， (4,0,0) 设平面 A1BC1 的法向量为 n(x，y ，z)，1B1则Error!即Error!令 z3， 则 x0， y4，所以 n(0,4,3) 同理可得，平面 B1BC1 的一个法向量为 m(3,
28、4,0)所以 cos n，m .nm|n|m| 1625由题知二面角 A1BC1B1为锐角，所以二面角 A1BC1B1 的余弦值为 .1625(3)证明：设 D(x，y，z)是直线 BC1 上一点，且 .BD1C所以(x，y3 ，z)(4，3,4)解得 x4 ，y33 ，z4 .所以 (4，33，4 )由 0，即 9 250，解得 .AA1 925因为 0,1，所以在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA1B.925此时， .BDBC1 9253如图(1)，四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DB2，DC1，BC ，ABAD .5 2将图(1) 沿直线 BD 折起，使得二面角 ABD
29、C 为 60，如图(2)(1)求证：AE平面 BDC；(2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值解：(1)证明：取 BD 的中点 F，连接 EF，AF，则 AF1， EF ，AFE60.12由余弦定理知 AE .12 (12)2 2112cos 60 32AE2EF 2 AF2，AEEF.ABAD ，F 为 BD 中点BDAF. 又 BD2，DC1，BC ，BD2DC 2BC 2，5即 BDCD.又 E 为 BC 中点，EFCD， BDEF.又 EFAFF，BD平面 AEF.又 BDAE，BDEF F， AE平面 BDC.(2)以 E 为原点建立如图所示的空 间直角坐标系，则 A ，(
30、0，0，32)C ，B ，( 1，12，0) (1， 12，0)D ， (2,0,0)， ， .( 1， 12，0) DA(1，12，32) C( 1，12， 32)设平面 ABD 的法向量为 n(x，y，z)，由Error!得Error!取 z ，3则 y3，又 n(0，3， )3cosn， .ACn|n| 64故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为 .1044如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3 ，AD 6，BD 是对角线，过点 A 作 AEBD ，5垂足为 O，交 CD 于 E，以 AE 为折痕将ADE 向上折起，使点 D 到点 P 的位置，且 PB .41(1)求证：PO平面
31、 ABCE；(2)求二面角 EAPB 的余弦值解：(1)证明：由已知得 AB3 ，AD6，BD9. 在矩形 ABCD 中，AEBD，5RtAODRtBAD， ，DO4， BO 5.DOAD ADBD在POB 中，PB ，PO4，BO5， PO2BO 2PB 2，41POOB.又 POAE，AEOB O， PO平面 ABCE.(2)BO5，AO 2 .AB2 OB2 5以 O 为原点，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则 P(0,0,4)，A(2 ，0,0)，B(0,5,0)，5(2 ，0， 4)， (0,5，4)PA5 P设 n1(x， y，z)为平面 APB 的法向量 则Error!即Err
32、or!取 x2 得 n1(2 ，4,5)又 n2(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量，5 5cosn1，n2 ，n1n2|n1|n2| 4611 46161故二面角 EAPB 的余弦值为 .461615.如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD ，PAPD，底2面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD ， ABBC1，O 为 AD 中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；63 PQQD若不存在，请
33、说明理由解：(1)在 PAD 中，PAPD，O 为 AD 中点，所以 POAD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.又在直角梯形 ABCD 中，连接 OC，易得 OCAD，所以以 O 为坐标原点，OC ，OD，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系， 则 P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1， 1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (1，1，1) ，易证 OA平面 POC， (0，1,0)是平面 POC 的法向量，PB cos ， . 直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 .OA| |
34、 33 63(2) (0,1，1)， (1,0,1)设平面 PDC 的一个法向量为 u(x，y ，z)，DCP则Error!取 z1，得 u(1,1,1) B 点到平面 PCD 的距离为 d .|u|u| 33(3)假设存在一点 Q，则设 (01) (0,1，1)，DP (0，) ， (0， ，1)，Q (0，1 )POP设平面 CAQ 的一个法向量为 m(x，y，z)，又 (1,1,0)，AQ(0， 1,1)，AC则Error!取 z1，得 m(1，1，1) ，又平面 CAD 的一个法向量为 n(0,0,1)，二面角 QACD 的余弦值为 ，63所以|cos m，n| ，得 321030，解
35、得 或 3(舍)，|mn|m|n| 63 13所以存在点 Q，且 .PQQD 126如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA底面ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC，SA ABBC2， AD1.M 是棱 SB 的中点(1)求证：AM平面 SCD；(2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值；(3)设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值解：(1)以点 A 为原点建立如 图所示的空间直角坐标 系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,
36、1)所以 (0,1,1)， (1,0，2)， (1，2,0)SDC设平面 SCD 的法向量是 n(x，y，z )，则Error!即Error!令 z1， 则 x2， y1，于是 n(2，1,1) n0， n.又 AM平面 SCD，AMAM平面 SCD.(2)易知平面 SAB 的一个法向量 为 n1(1,0,0) 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ，则|cos | ，即 cos .|n1n|n1|n| |1，0，02， 1，11 6 | | 21 6| 63 63平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 .63(3)设 N(x,2x2,0)(x 1,2)，则 (x,2x3
37、，1) MN又平面 SAB 的一个法向量为 n1(1,0,0)，sin |x，2x 3， 11，0，0x2 2x 32 121| | x5x2 12x 10| |15 121x 101x2| .110(1x)2 12(1x) 5110(1x 35)2 75当 ，即 x 时，(sin ) max .1x 35 53 3577、如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形，FAB DAB90 ，AFABBC2，AD1， FACD.(1)证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行；(2)求二面角 FCDA 的余弦值解：(1)证明：由已知得，BEAF，BC
38、AD，BEBCB ，ADAFA，平面 BCE平面 ADF. 设平面 DFC平面 BCEl，则 l 过点 C.平面 BCE平面 ADF，平面 DFC平面 BCEl，平面 DFC平面 ADFDF .DFl，即在平面 BCE 上一定存在 过点 C 的直线 l，使得 DFl.(2)FAAB，FACD，AB 与 CD 相交，FA平面 ABCD.故以 A 为原点，AD ，AB，AF 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如 图由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)， (1,0,2)， (1,2,0)D设平面 DFC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则Error!E
39、rror!不妨设 z1.则 n(2，1,1)，不妨 设平面 ABCD 的一个法向量 为 m(0,0,1)cosm，n ，由于二面角 FCDA 为锐角，mn|m|n| 16 66二面角 FCDA 的余弦值为 .668、.如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，AC2，BD2 ，E 是 PB 上任意一点3(1)求证：AC DE；(2)已知二面角 APBD 的余弦值为 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦155值解：(1)证明： PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，PDAC，四边形 ABCD 是菱形，BD AC，又 BDPD
40、D，AC 平面 PBD，DE平面 PBD，ACDE.(2)在 PDB 中，EO PD，EO平面 ABCD，分别以 OA，OB，OE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 PDt， 则 A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(1,0,0)，E ，P(0， ，t)，3 (0，0，t2) 3( 1， ，0)， (1， ，t)AB3 AP3由(1)知，平面 PBD 的一个法向量为 n1(1,0,0)，设平面 PAB 的法向量为 n2(x， y，z)，则根据Error!得Error!令 y 1，得 n2 .(3，1，23t )二面角 APBD 的余弦值为 ，则|cosn 1，n2|
41、，即155 155 ，解得 t2 或 t2 (舍去)，P(0， ，2 )34 12t2 155 3 3 3 3设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ， (1,0， )，n2( ，1,1)，EC3 3则 sin |cos ，n2| ，EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .EC2325 155 1559、如图 1，A，D 分别是矩形 A1BCD1 上的点，AB2AA 12AD2，DC2DD 1，把四边形 A1ADD1 沿 AD 折叠，使其与平面 ABCD 垂直，如图 2 所示，连接 A1B，D 1C 得几何体ABA1DCD1.(1)当点 E 在棱 AB 上移动时，证明：D 1EA 1D；(2)
42、在棱 AB 上是否存在点 E，使二面角 D1ECD 的平面角为 ？若存在，求出 AE 的长；若6不存在，请说明理由解：(1)证明，如图，以点 D 为坐标原点， DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)设 E(1，t,0)，则 (1 ，t， 1)， (1,0，1)， 1(1)t0(1)(1) 0，1E1AD1EA1D.(2)假设存在符合条件的点 E.设平面 D1EC 的法向量 为 n(x，y ，z)，由 (1)知 ( 1,2t,0)，EC则Error!得Error!令 y ，则 x1 t，z1，12 12n 是平面 D1EC 的一个法向量，(1 12t，12，1)显然平面 ECD 的一个法向量为 (0,0,1)，1则 cosn， cos ，解得 t2 (0t2) 1D|n|n| 1(1 12t)2 14 1 6 33故存在点 E，当 AE2 时，二面角 D1ECD 的平面角为 .33 6
