1、1第七章 谐振开关变换器的时间平均等效电路分析在开关变换器中，磁性元件和电容器作为主要的能量储存、传输和纹波滤波器件而占据了开关变换器体积和重量的主要部分，为了减小开关变换器的体积、重量和成本，需要提高开关变换器的工作频率。然而，在常规 PWM 开关变换器中，开关频率的提高导致了开关器件的损耗的增加。为了克服常规 PWM 开关变换器的这些局限性，人们提出了谐振开关变换器电路拓扑。 由于谐振开关变换器电路比常规 PWM 开关变换器电路的工作过程复杂得多，随之传统的状态空间平均方法已不适用于谐振开关变换器电路的分析。本书第四章讨论的开关变换器的时间平均等效电路建模方法，原则上对于任何以固定时钟频率
2、 fs 运行的周期性开关网络 Ns 都适用，在本章我们将讨论时间平均等效电路建模方法在谐振开关变换器中的应用。7.1 ZCS-QRC Buck 变换器平均时间等效电路分析下面我们将以零电流开关(Zero Current Switch, ZCS)准谐振变换器(Quasi Resonant Converter, QRC)Buck 变换器为例，讨论平均时间等效电路建模分析方法在谐振开关变换器中的应用。7.1.1 ZCS-QRC Buck 变换器 工作原理在 PWM Buck 变换器中加入由 构成的谐振电路，可以得到如图 7-1 所示 ZCS-1LCQRC Buck 变换器。在 ZCS-QRC Buc
3、k 变换器，存在两类不同的动态元件：谐振元件和低通滤波元件 ，为了分析其稳态和交流小信号特性，作如下假设：1LC21） 2L2） 开关频率 远大于低通滤波器的特征频率，因此，在一个开关周期内，可以把电Sf感 看作一个恒流源，该恒流源的值为一个开关周期内流过电感 的平均电流；2L把输出滤波器 C2-L2 及负载看作电流值为 的恒流源2Li3） 开关器件为理想元件，即开关管的导通压降为零、关断电流为零4） 储能电路中的电抗元件是理想的 L2C2 RiL 1L1C1SDgvvC 1ivov图 7-1. ZCS-QRC Buck 变换器电路2定义下列参数：阻抗特性值 ,谐振角频率 ，谐振频率12/nZ
4、L12/LC。/2nF如图 7-1 所示 ZCS-QRC Buck 变换器在一个开关周期内有四个开关工作状态，如图 7-2 所示。在开关管 S 导通之前，二极管 D 上流过输出电流 ，电容电压 钳位到零。2Li1()CvtL1DiL 1 2Ligv L1C2gvi L 1 Liv (a) (b)C1vC 1gv2Li D2Ligv (c) (d)图 7-2 ZCS-QRC Buck 谐振变换器在一个开关周期中四个阶段的等效电路(a) T0, T1，(b) T1, T2，(c) T2, T3， (d)T3, T4(1) 线性充电阶段T 0，T 1 (图 7-2(a)在开关周期开始时刻，开关管导通
5、，谐振电感电流由 线性增大；在 T1 时刻，10()Li增大到 ，即 时，二极管关断。在这一阶段1()Lit2Li12()Li(7-1a)1dt/giv则由边界条件： 和 ，可以得到这一阶段的持续时间10()LiT12()Lii(7-1b)1210dgiv(2)谐振工作阶段T 1，T 2 (图 7-2b)在 T1 时刻，谐振电感电流 上升到 ，二极管 D 反向关断，电流 给电1)Lit2Li 1()Lit3容充电。在 时刻， 谐振到零，开关管 S 关断，实现开关管 S 的零电流关断。在2tT1()Lit这一阶段(7-2a)112d()/CLvtiti(7-2b)11/LgCitvt在 时刻1t
6、T=0， (7-2c) 1()Cv12()LiTi则(7-2d)12/sinLgitivZt(7-2e)1coCgvtt而在 时刻， ，代入(7-2d)，可以得到这一阶段的持续时间：2tT120Li(7-2f)21/dT其中 。12sin/LngZv当图 7-1 中开关 S 单向导通时，谐振电感电流 下降到零时，开关管关断，变换1()Lit器工作于半波模式， ；而当图 7-1 中开关 S 双向导通时，谐振电感电流3/2下降到零后，通过开关管的反并联二极管继续谐振，当谐振电感电流 再一次谐1()Lit 1()Lit振到零时，开关管关断，结束这一工作阶段，变换器工作于全波模式， 。3/2在 时刻2
7、tT(7-2g)12cosCgv(3) 恢复阶段 T2, T3 (图 7-2(c)由于开关 S 在 T2 时刻关断，电容 C1 通过输出回路放电， 线性下降。在 时1()Cvt3tT刻， 线性下降到零 。 在这一阶段1()Cvt4(7-3a)12d()/CLvti由于在 时刻， ；而在 时刻， ，则我2tT12cosgv3tT130Cv们可以得到这一阶段的持续时间(7-3b)3212s/dgLCi(4) 惯性工作阶段 T3, T4 (图 7-2(d)在这一阶段，输出电流流过二极管 D。这一阶段的持续时间(7-4)4123ddd其中 T 为一个开关周期。7.1.2 ZCS-QRC Buck 变换
8、器时间平均等效电路模型对于ZCS-QRC Buck变换器及其在一个开关周期内的四个等效电路，如图 7-1和图7-2所示，根据时间平均等效原理，我们可以用受控电压源 来代替开关S，用受控电流源v来代替二极管D，得到它的时间平均等效电路，如图 7-3所示，其中受控电压源 的值i Sv为一个开关周期内开关S两端电压的平均值，受控电流源 的值为一个开关周期内流过二Di极管的电流的平均值。 C2RL1L2C1svi iDi ovgvvC 1 v图 7-3 ZCS-QRC Buck 变换器的时间平均等效电路由式(7-1)(7-4)及图 7-2(a)2(d)，根据时间平均等效原理，我们可得图 7-3 中(7
9、-5a)3 42 3143()cos/2TTSgCgdvvtvdt(7-5b)1 40 32124()/TTDLLddiitit5将式(7-1)(7-4)中给出的 ， ， ， 代入(7-5a)和(7-5b)，我们发现1dT23d4T143cos2dd当电路工作于直流稳态时， ，因此，我们可以得到20/LivR(7-6a)143120cos2(,)dddgTTHv其中(7-6b)1/21100 00 0(,)sin2ngn ngggn gRvZvZZvHRR对于半波工作模式， 10sin3/2ngZvR1n对于全波工作模式， 103sin22ngZvn将(7-6)代入 (7-5)，可得(7-7a
10、)01(,)2SSggnfvHvF(7-7b)20(,)SDLgnfi其中 是开关频率， 是谐振频率。F1/nC6如图 7-4 所示为半波模式和全波模式时 与 的关系。由图 7-4 可知，对0(,)gHv0ngZR于全波模式， 始终趋近于 ；而对于半波工作模式， 随 的变动0(,)gHv20(,)gHv0ngZR而变动。图 7-4. 半波模式和全波模式时 与 的关系0,gHV0ngZvR7.1.3 ZCS-QRC Buck 变换器直流稳态特性分析由图 7-3 所示 ZCS-QRC Buck 变换器的时间平均等效电路，我们可以对其直流稳态特性进行分析。当电路工作于稳态时，将电容 C1 和 C2
11、开路，电感 L1、L 2 短路，则由图 7-3 得到(7-8)0gSV将(7-7)代入 (7-8)，可得(7-9)00,2ggnFHV当 ZCS-QRC Buck 变换器工作于全波模式时， ，则由(7-9) 可得0,2gV(7-10)0/gnF由(7-10) 可知，当 ZCS-QRC Buck 变换器工作于全波模式时，它的输入 -输出电压变比7只与归一化开关频率 有关，而与负载阻抗无关。/nF图 7-5 所示为 ZCS-QRC Buck 变换器的 与 的关系，由图 7-5(a)可以看出，0/gV/nF工作于半波模式的 ZCS-QRC Buck 变换器的电压变比不但与归一化开关频率 有关，/nF
12、还与负载阻抗有关。当负载较大( 值接近于零) 时，工作于半波模式的 ZCS-QRC Buck/nRZ变换器的电压变比可近似表示为 0/gnVF即在负载较重时，工作于半波模式和全波模式的 ZCS-QRC Buck 变换器具有相似的直流特性。图 7-5. 与 的关系：(a)半波模式，(b) 全波模式0/gV/nF7.1.4 ZCS-QRC Buck 变换器交流小信号分析在图 7-3 所示 ZCS-QRC Buck 变换器的时间平均等效电路中加入小信号扰动，我们可以对其交流小信号特性进行分析。对所有的电路变量引入小信号扰动分量，得：， ， ， ， ，ggvV22LLiIifFf00vVSSvDiIi
13、将小信号扰动代入(7-5)，并忽略其中小信号扰动的二次及二次以上项时，可得如图 7-6 所示 ZCS-QRC Buck 变换器的交流小信号等效电路，其中8(7-11a)10SggSgvKVvKVf(7-11b)122022DLgLSLiIIIf在式(7-11) 中(7-12a)10,2gnFKHV(7-12b)02,gn(7-12c)00,gnHVFK(7-12d) 0,2gSn C2RL1L2C1svi iDi ovgvv图 7-6 ZCS-QRC Buck 变换器的交流小信号等效电路由图 7-6 可得(7-13a)21 20 ()()/1()gLSvsisvsLCRvs(7-13b)212
14、120/L Dii i(7-13c)202/ivsCR（I）ZCS-QRC Buck 变换器的控制 /输出传递函数令式(7-11) 和(7-13)中 ，则由式(7-11)和(7-13)，可得 ZCS-QRC Buck 变换器gv的输出/控制传递函数为9(7-14)120100 /1SgSLKVsIvsLCRf其中(7-15)32021111202/ /LgsCsRssKI由式(7-14)(7-15)可知，ZCS-QRC Buck 变换器是一个四阶系统。（II）ZCS-QRC Buck 变换器的输入 /输出传递函数类似地，令式(7-11)和(7-13) 中 ，则由式(7-11)和(7-13)，可
15、得 ZCS-QRC Buck 变0f换器的输出/输入传递函数为(7-16)1120210 0 /ggLg gKVsIvsLsCRKV值得注意的是，对于全波工作模式， ，此时0,gH0,gV由此可得： ，01,/,1/g nSnKFKF因此，对于全波工作模式，可得(7-17)32021112/nsLCsRsCR将(7-17) 代入(7-14)和(7-16)，可得：104321212 121 / /gn nsLFVvsLsRsLRFf (7-18a)043212121121 / /ng nnvsCssLCFs(7-18b)对于 ZCS-QRC Buck 变换器，我们有(7-19)1212,L10则
16、式(7-18a)和(7-18b)可近似表示为(7-20a)104321222 /1gnsLFRVvsLCCsLRf (7-20b)043212122 /ngsvsLs由(7-19) ，我们可以将式 (7-20)所描述的四阶传递函数可以进一步简化，得到降阶 (二阶)传递函数(7-21a)1022/gnsLFRVvCf(7-21b)022/1ngsvLs如图 7-7 所示为 ZCS-QRC Buck 变换器(电路参数为 ， ，164LH10.6CF， ， ， ， ， )的21.6LmH250CF2R0gV50nFkz3kz输入/ 输出电压的传递函数。由图 7-7 可知，由式(7-22) 所描述的四
17、阶传递函数与及式(7-23)所描述的二阶传递函数的低频频率特性非常接近。因此，我们可以采用式(7-23)所描述的ZCS-QRC Buck 变换器的二阶传递函数简化 ZCS-QRC Buck 变换器控制电路的设计。 -10-50050Magnitude (dB)102 103 104 105-180-900Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)二二二二二二二二图 7-7 ZCS-QRC Buck 变换器的幅频特性曲线7.2 ZVS-QRC Boost 变换器平均时间等效电路分析11下面我们将以零电压开关(Zero Voltage Switch, ZV
18、S)准谐振变换器(Quasi Resonant Converter, QRC)Boost 变换器为例，讨论平均时间等效电路建模分析方法在谐振开关变换器中的应用。7.2.1 ZVS-QRC Boost 变换器工作原理前面我们详细讨论了 ZCS-QRC Buck 变换器的工作原理及其时间平均等效电路模型。如所周知，零电流开关技术是通过辅助 LC 谐振电路对开关元件的电流波形进行处理，使开关元件在零电流条件下关断；而零电压开关技术则是通过辅助 LC 谐振电路对开关元件的电压波形进行处理，使开关元件在零电压条件下导通。如图 7.8 所示 ZVS-QRC Boost 变换器，当 时，电感 可以看作电12
19、12,LC2L流为 的恒流源， 的值为一个开关周期内流过电感 的平均电流；输出负载 R 与2Li2Li的并联可以看作电压为 的恒压源， 的值为一个开关周期内电容 两端的平均电CCv2Cv2压；因此，可得如图 7.8 所示 ZVS-QRC Boost 变换器的等效电路，如图 7.9 所示。ZVS-QRC Boost 变换器在一个开关周期内有四个开关工作状态，如图 7.10 所示。在一个开关周期开始时刻，开关 断开；假定在开关 断开之前， 上流过的电流为 ，SS2Li断开，负载上没有电流。而在 时， 断开，输入电流 传输到电容 ，从而开始这D0T2Li1C四个状态，如图 7.10 所示。 L1C2
20、RL2C1SDgviL 1vC 1i vov图 7.8 ZVS-QRC Boost 变换器电路 L1L2C1SD2Li 2CviL 1vC 1图 7.9 ZVS-QRC Boost 变换器稳态等效电路12C12Liv2Cv L 1C 12Li 2Cvvi (a) (b) 01,T12,TL12Li 2Cvi 2Li 2Cv (c) (d) 23,T34,T图 7.10 ZVS-QRC Boost 变换器的四个工作状态(1) 电容 充电阶段 (图 7.10 (a)1C01,开关 在 时断开，电流 全部流入 ，谐振电容电压 随时间线性增长，且S0T2Li1C1()Cvt满足， 12d()CLvti
21、1(0)Cv当 上升到 时，二极管 导通。这一段时间间隔为1()Ct2CD(7-22)2101CdLvTi(2) 谐振工作阶段 ，(图 7.10 (b)12,二极管 在 时导通， 的一部分流入 ，且满足D1T2Li2Cv(7-23a)112d ()Ctvt13(7-23b)121d ()()CLvtit(7-23c)112(0),LCiv由式(7-23a)( 7-23c)解得：(7-23d)12()cos)Litit(7-23e)122inCCvtZvt对于半波工作模式，当电压 谐振到零时，开关 导通，从而结束这一阶段；而1()tS对于全波工作模式，当 谐振到零时，继续振荡。直到它重新为零时，
22、开关 导通，1Cvt S结束这一阶段。因此，令 ，解得2()0T(7-23f)21/,d12sin()CLvZi而 在 时的值为：1()Lit2T(7-23g)12()cos)Lii其中，对于半波模式： ；对于全波模式：3/3/2.(3) 电感放电阶段 (图 7.10 (c) 23,T在 以后，电流 线性下降；在 时， 线性下降到零。由图 7.10，可得：21)Lit3T1()Lit， (7-24a)12d(Citv12(0)cos)Lii这一阶段的时间为(7-24b)3212(cos)/dLCTiv(4) 惯性工作阶段 (图 7.10 (d)34,这一阶段的等效电路如图 7.10(d)所示。
23、这一阶段停留的时间为：14(7-25)4123dddTT其中 T 是开关工作周期。7.2.2 ZVS-QRC Boost 变换器时间平均等效电路模型对于如图 7.8 所示 ZVS-QRC Boost 变换器，我们可以得到 ZVS-QRC Boost 变换器的时间平均等效电路，如图 7.11 所示，其中 是一个开关周期内流过开关 的平均电流，Si S是一个开关周期内二极管上 的平均反向压降。 ， 可计算如下DvDSiDv L1C12LiSiiDvov图 7.11 ZVS-QRC Boost 变换器的时间平均等效电路(7-26)1 40 3 121224()d()TTdDCCTvvtvt(7.27
24、)3 42 312243()(cos)/2TTSLLLdiititi同时，由图 7.11 知道 ，所以2()/LgCivR(7-28)22Lgi将式(7-22) ，(7-23f)，(7-23b)，(7-25) 代入式(7-26)得到(7-29)201(,)DCgnFvJv仿此可求出(7-30)201(,)SLgniJvF其中15(7-31)1 120000 0(,)sin()()()2gg gnng gnRvvRvZJZRZ 如图 7.12 所示为 与 的关系，不难看出图 7.12 与图 7-4 中的曲线是完全0(,)gV0gn一样的，唯一的差别是两者之间的自变量互为倒数。从图 7.12 还可
25、以看出：对于半波模式，随自变量 的变动比较大；而对于全波模式， 几乎不随 的0(,)gJV0gnRZ0(,)gJV0gnRVZ变动而变动，它始终保持在 值附近。20gnRVZ0(,)gJV2（ a） 0gnRVZ0(,)gJV 2(b) 图 7.12 对 的关系曲线： 半波模式； 全波模式,goJVgnoRZab167.2.3 ZVS-QRC Boost 变换器直流稳态特性分析由图 7.11 可得，ZVS-QRC Boost 变换器工作于直流稳态时210/LSLIIVR所以(7-32)00(,)2ggnFVJV由图 7.12 及式(7-32)，我们可以得出零电压谐振升压变换器的直流传输比的关系
26、曲线如图 7.13 所示。比较式(7-6b) 及式 (7-31)发现，若令 则0ngZVxR(7-33)1()HxJ由式(7-33) 可以看出，零电压谐振开关谐振变换器电路的特性与零电流谐振变换器的特性之间存在一些对偶关系。从图 7.13 中可以发现，在半波工作条件下，ZVS-QRC Boost 变换器的直流电压传输比对于负载变动比较敏感；而对于全波工作模式，直流电压传输比几乎与负载变动无关。特别是，对于全波模式，(7-34),2goJV(7-35)ognF ogVnFa半 波 模 式0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 5 . 04 . 03 . 02 . 01 . 0
27、kRZ0 . 50 . 20 . 1ogVnFb全 波 模 式0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 5 . 04 . 03 . 02 . 01 . 0.,25kRZ17图 7.13 ZVS-QRC Boost 变换器直流电压传输比 7.2.4 ZVS-QRC Boost 变换器交流小信号分析在图 7.11 所示 ZVS-QRC Boost 变换器的时间平均等效电路的电路变量中加入小信号扰动，我们可以对其交流小信号特性进行分析。类似地，我们可以得到如图 7.14 所示 ZVS-QRC Boost 变换器的交流小信号等效电路，图中(7-36a)1000DgSvPVvPVf(7
28、-36b)12022SLgLSLiIIIf其中：(7-37a)1,2goFPJV(7-37b)0,gon 1Li ovL1C2RL2C1SiDvgvi v图 7.14 ZVS-QRC Boost 开关变换器等效小信号电路(7-37c),2gognJVFP(7-37d),SgonJ由图 7.14 可得(7-38a)20120 ()(/)gL DvsivsRCv(7-38b)220121/)LSgLiRCisi（I）ZVS-QRC Boost 变换器的控制/ 输出传递函数18令(7-36) 和(7-38)中 ，可得 ZVS-QRC Boost 变换器的控制/ 输出传递函数为 0gv由式(7-41)
29、 解得：(7-39)201043()vsbsaasf其中(7-40a)412LC(7-40b)312/aR(7-40c)2121201()()LPLCVP(7-40d)122010/LaIR(7-41e)010()PV(7-41a)210SbLC(7-41b)12SLI(7-41c)01()SbPV（II）ZVS-QRC Boost 变换器的输入/ 输出传递函数类似地，为了得到 ZVS-QRC Boost 变换器的输入/输出传递函数，令(7-36)和(7-38)中，得到0f(7-42a)210043()gsbsvaas其中， ， (7-43)210()gbLCPV12gLbI010()gbPV
30、由(7-39) 及式(7-42)给出的传递函数可以知道这是一个四阶系统，但是，考虑到电路中存在关系 ， 。于是，式(7-39)及式(7-42)可以近似为：121219(7-44)0()vsf21020143 212 210()()SsLsLsLCPVIPVLIPVRR(7-45)2102100432 21 0210()()() ()ggLgg LssIsvLPI而由式(7-48)(7-49)描述系统还可以进一步降阶处理，简化为下面二阶系统：(7-46a)0()vsf21020120()()SSLLCPVsIVPR(7-46b)2102100 22()()()/)ggLggssIvLV上面我们针
31、对一般情况得到了 ZVS-QRC Boost 变换器的交流特性。对于全波形工作模式，由(7-34)知道： 0(,)2gJV于是，我们有：， ， ， (7-47)1/nPF0gP1/snF将式(7-47) 代入 (7-39)得，(7-48a)0()()fNsvMf其中(7-48b)21020()/f nLnnNsLCVFsIVF(7-48c)3 24 221121121 ()() n nCLLFMsRR同理可得(7-49a)0()()ggNsvM20其中(7-49b)21()/gnNsLCF考虑到 ， ，则式(7-48)(7-49)可以简化为：12L12(7-50)0210203 241()()
32、/LnvssVsICFf sRR(7-51)2103 24212 /() ng nsvsLs若对式(7-54)(7-55)做降价处理，则还可以进一步简化近似为：(7-52a)021020()/nLvsCVsIFfR(7-52b)2102/()ngss上面我们给出了 ZVS-QRC Boost 变换器的传递函数的几种近似表达式。我们可以根据实际工程情况而选择其中的一种形式。在工程设计中，式(7-46)和(7-52) 的二阶系统近似表达式具有特别重要的意义。对于实际电路参数值，式(7-46) 和式(7-52) 均能较好的描述系统的性能。7.3 本章小结谐振开关变换器可以在较高的开关频率进行高效功率变换，因此可显著减小变换器的体积、重量和成本，但谐振开关变换器的工作过程较常规 PWM 变换器复杂得多，并且谐振开关变换器中存在与开关频率同一个数量级的谐振频率，因此，我们不能直接采用状态空间平均方法对谐振开关变换器进行建模发现，而必须寻找适用于谐振开关变换器的建模分析方法。利用时间平均等效电路建模方法，我们可以很容易的建立谐振开关变换器的时间平均等效电路模型，并在此基础上，可以采用常规的电路分析方法分析谐振开关变换器的直流稳态和交流小信号特性。谐振开关变换器的平均时间等效建模分析方法概念明确、分析过程简单，提供了一个有效的谐振开关变换器建模分析方法。
