1、教材第3章习题与上机题解答1 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0nN1内， 序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=(n)(3) x(n)=(nn0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) (6) ,(7) x(n)=ej0nRN(n)(8) x(n)=sin(0n)RN(n)(9) x(n)=cos(0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)解：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0kN1,(6),0kN1,(7),或,（8） 解法一 直接计算：,解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为,所以,所以,即,结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。
2、(9) 解法一 直接计算:,解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。 因为,（10） 解法一,上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所以x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到X(k)X(k)WkN+N=N(k),故,当k=0时， 可直接计算得出X(0)为,这样， X(k)可写成如下形式：,解法二 k=0时，,k0时，,所以，,，即,2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k),(1),(2),其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。,解: （1）,n=0, 1, , N1,(2),n
3、=0, 1, , N1,3 已知长度为N=10的两个有限长序列：,做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所示。,题3解图,4 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFTx(n)， 证明DFTX(n)=Nx(Nk)证： 因为,所以,由于,所以DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N15 如果X(k)=DFTx(n)， 证明DFT的初值定理,证: 由IDFT定义式,可知,6 设x(n)的长度为N， 且X(k)=D
4、FTx(n) 0kN1 令h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1 求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则,因为,所以,7 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)N， 则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。,证: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)
5、式知道， 如果将x(n)表 示为x(n)=xr(n)+jxi(n) 则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果x(n)为实序列， 则Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)= DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。,（2） 由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 且 X(k)=ReX(k)+j ImX(k) 则 ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTx
6、op(n) 所以， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有实部， 即X(k)为实函数。 又由（1）证明结果知道， 实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)实偶对称。,同理， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有纯虚部， 且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。 8 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y
7、(k)=X(k+l)NRN(k)， 则,证：,令m=k+l, 则,9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，,求Y(k)与X(k)的关系式。 解:,10 证明离散相关定理。 若X(k)=X1* (k)2(k) 则,证： 根据DFT的惟一性， 只要证明,即可。,令m=l+n， 则,所以,当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,0nN1,由于,0nN1,所以,11 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n)， 则,证：,12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设F(k)=DFTf(n)N 0kN1,(1),
8、(2) F(k)=1+jN 试求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共轭对称性可知x(n) X(k)=Fep(k)jy(n) jY(k)=Fop(k),方法一 （1）,0nN1,由于,0n, mN1,所以x(n)=an 0nN1 同理 y(n)=bn 0nN1（2） F(k)=1+jN,，,方法二 令,只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k) 因为,，共轭对称,，共轭反对称,所以,由方法一知x(n)=IDFTX(k)=anRN(n)y(n)=
9、IDFTY(k)=bnRN(n)13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点， 采样序列为,求有限长序列IDFTX(k)N。 解: 我们知道， , 是以2为周期的周期函数， 所以,以N为周期， 将 看作一周期序列 的DFS系数， 则,由式知 为,将式代入式得到,由于,所以,由题意知,所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有,由于0nN1， 所以,因此,说明： 平时解题时， 本题推导,的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)
10、的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n 对每个序列作20点DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？,解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19,
11、15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； ,（2）,求X1(k)=DFTx1(n)8；,（3）,，求,。,解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018（2） 根据DFT的时域循环移位性质，,(3),16 x(n)、 x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、 (b)和(c)所示，
12、已知X(k)=DFTx(n)8。 求,和,注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。,解： 因为x1(n)=x(n+3)8R8(n), x2(n)=x(n2)8R8(n)， 所以根据DFT的时域循环移位性质得到,17 设x(n)是长度为N的因果序列， 且,试确定Y(k)与X(ej)的关系式。,解： y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列， 根据频域采样理论得到,18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4
13、) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 ,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,（2）,（3）,（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。,19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min;(2) 最低采样频率fs min;(3) 最少采样点数Nmin。,解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+j
14、m) 所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故,(1),(2),(3),（注意， 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样， 压缩码率。 而在本题的解答中， 我们仅按基带信号的采样定理来求解。 ）20 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点zk的Z变换H(zk)， 使,(1) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1;
15、(2) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。 解： 在chirp-Z变换中， 在z平面上分析的N点为zk=AWk k=0, 1, , N1 其中所以当A0=1, 0=0, W0=a1, j=0时， zk=ak 故说法（1）正确, 说法（2）、 （3）不正确。 ,21 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但
16、相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列ym(n)， m表示第m段循环卷积计算输出。 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。,(1) 求V； (2) 求B； (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。 解: 为了便于叙述， 规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0, 1, 2, , 127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题， 因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后， ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等， 所以， y
17、lm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确， 不能作为滤波输出， 第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的第m段， 即B=51。,所以， 为了去除前面49个不正确点， 取出51个正确的点连接, 得到不间断又无多余点的y(n)， 必须重叠10051 =49个点， 即V=49。 下面说明， 对128点的循环卷积ym(n)， 上述结果也是正确的。 我们知道,因为ylm(n)长度为,N+M1=50+1001=149,所以n从21到127区域无时域混叠， ym(n)=ylm(n)， 当然， 第49点到第99点二者亦相等， 所以， 所取出的51点为从第49点到第99点的ym(n
18、)。 综上所述， 总结所得结论： V=49, B=51选取ym(n)中第4999点作为滤波输出。 读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。 ,22 证明DFT的频域循环卷积定理。 证： DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n)H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTX(n)L 则,L X(k),其中， LmaxN， M。,根据DFT的惟一性， 只要证明ym(n)=IDFTYm(k)=h(n)x(n)， 就证明了DFT的频域循环卷积定理。,23* 已知序列x(n)=1, 2, 3, 3, 2, 1。 （1） 求出
19、x(n)的傅里叶变换X(ej)， 画出幅频特性和相频特性曲线(提示： 用1024点FFT近似X(ej)； （2） 计算x(n)的N（N6）点离散傅里叶变换X(k)， 画出幅频特性和相频特性曲线； （3） 将X(ej)和X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中， 验证X(k)是X(ej)的等间隔采样， 采样间隔为2/N； （4） 计算X(k)的N点IDFT， 验证DFT和IDFT的惟一性。,解： 该题求解程序为ex323.m， 程序运行结果如题23*解图所示。 第（1）小题用1024点DFT近似x(n)的傅里叶变换； 第（2）小题用32点DFT。 题23*解图(e)和(f)验证了 X(
20、k)是X(ej)的等间隔采样， 采样间隔为2/N。 题23*解图(g) 验证了IDFT的惟一性。,题23*解图,24*给定两个序列: x1(n)=2, 1, 1, 2 , x2(n)=1, 1, 1, 1。 （1） 直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积； （2） 用DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积， 总结出DFT的时域卷积定理。 解： 设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2， X1(k)=DFTx1(n)N, X2(k)=DFTx2(n)NYc(k)=X1(k)X2(k), yc(n)=IDFTYc(k)N 所谓DFT的时域卷积定理， 就是当NM1+M21时， yc(n)=
21、x1(n)*x2(n)。,本题中， M1=M2=4， 所以， 程序中取N=7。 本题的求解程序ex324.m如下： % 程序 ex324.m x1n=2 1 1 2； x2n=1 1 1 1； %时域直接计算卷积yn： yn=conv(x1n， x2n)%用DFT计算卷积ycn： M1=length(x1n)；M2=length(x2n)； N=M1+M21；X1k=fft(x1n， N)； %计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n， N)； %计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k； ycn=ifft(Yck， N),程序运行结果： 直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积y
22、n和用DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn如下： yn=2 1 2 2 2 1 2ycn= 2.0000 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.0000,25*已知序列h(n)=R6(n), x(n)=nR8(n)。 （1） 计算yc(n)=h(n) 8 x(n)； （2） 计算yc(n)=h(n) 16 x(n)和y(n)=h(n)*x(n)；（3） 画出h(n)、 x(n)、 yc(n)和y(n)的波形图， 观察总结循环卷积与线性卷积的关系。 解： 本题的求解程序为ex325.m。 程序运行结果如题25*解图所示。 由图可见， 循环卷积为线性卷积
23、的周期延拓序列的主值序列； 当循环卷积区间长度大于等于线性卷积序列长度时， 二者相等， 见图（b）和图(c)。,题25*解图,程序ex325.m如下： %程序ex325.m hn=1 1 1 1； xn=0 1 2 3； %用DFT计算4点循环卷积yc4n： H4k=fft(hn， 4)； %计算h(n)的4点DFT X4k=fft(xn， 4)； %计算x(n)的4点DFT Yc4k=H4k.*X4k； yc4n=ifft(Yc4k， 4)； %用DFT计算8点循环卷积yc8n： H8k=fft(hn， 8)； %计算h(n)的8点DFT X8k=fft(xn， 8)； %计算x(n)的8点
24、DFT Yc8k=H8k.*X8k； yc8n=ifft(Yc8k， 8)； yn=conv(hn， xn)； %时域计算线性卷积yn：,26* 验证频域采样定理。 设时域离散信号为,其中a=0.9， L=10。 （1） 计算并绘制信号x(n)的波形。 ,（2）证明：,（3） 按照N=30对X(ej)采样得到,（4） 计算并图示周期序列,试根据频域采样定理解释序列 与x(n)的关系。,（5） 计算并图示周期序列,，比较,与 验证（4）中的解释。 （6） 对N=15， 重复（3）（5）。 解： 求解本题（1）、 （3）、 （4）、 （5）、 （6）的程序为ex326.m。 下面证明（2）。,N=
25、30和N=15时， 对频域采样Ck进行离散傅里叶级数展开得到的序列分别如题26*解图(b)和(c)所示。 由图显而易见， 如果Ck表示对X(ej)在0， 2上的N点等间隔采样， 则,简言述之： xN(n)是x(n)以N为周期的周期延拓序列 的主值序列。,程序ex326.m如下： 程序中直接对（2）中证明得到的结果采样得到Ck。 %程序ex326.m% 频域采样理论验证clear all； close all； a=0.9； L=10； n=-L： L； %= N=30 =N=30； xn=a.abs(n)； %计算产生序列x(n)subplot(3， 2， 1)； stem(n， xn， .)
26、； axis(15， 15， 0， 1.2)； %(1)显示序列x(n)title(a)x(n)的波形 )； xlabel(n)； ylabel(x(n)； box on,% 对X(jw)采样30点： for k=0： N1， Ck(k+1)=1； for m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N);%(3)计算30点%采样Ckendendx30n=ifft(Ck， N)； %(4)30点IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下为绘图部分n=0： N1； ,subplot(3， 2， 2)； stem(n， x30n， .)；
27、axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title(b)N=30由Ck展开的的周期序列的主值序列 )； xlabel(n)； ylabel(x30(n)%= N=15 =N=15； % 对X(jw)采样15点： for k=0： N1， Ck(k+1)=1； for m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N);%(3)计算30点%采样Ckendend,x15n=ifft(Ck， N)； %(4)15点IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下为绘图部分n=0： N1； subplot(3， 2， 3)； stem(
28、n， x15n， .)； axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title(c)N=15由Ck展开的的周期序列的主值序列 )； xlabel(n)； ylabel(x15(n)程序运行结果如题26*解图所示。,题26*解图,27* 选择合适的变换区间长度N， 用DFT对下列信号进行谱分析， 画出幅频特性和相频特性曲线。 （1） x1(n)=2 cos(0.2n)（2） x2(n)=sin(0.45n)sin(0.55n)（3） x3(n)=2|n|R21(n+10)解： 求解本题的程序为ex327.m， 程序运行结果如题27*解图所示。 本题选择变换区间长度N的方法如下：,对
29、x1(n)， 其周期为10， 所以取N1=10； 因为 x2(n)=sin(0.45n) sin(0.55n)=0.5cos(0.1n)cos(n)， 其周期为20， 所以取N2=20； x3(n)不是因果序列， 所以先构造其周期延拓序列（延拓周期为N3）， 再对其主值序列进行N3点DFT。 x1(n)和x2(n)是周期序列， 所以截取1个周期， 用DFT进行谱分析， 得出精确的离散谱。 x3(n)是非因果、 非周期序列，通过试验选取合适的DFT变换区间长度N3进行谱分析。,题27*解图,x1(n)的频谱如题27*解图(a)和(b)所示， x2(n)的频谱如 题27*解图(c)和(d)所示。
30、用32点DFT对x3(n)的谱分析结果见 题27*解图(e)、 (f)和(g)， 用64点DFT对x3(n)的谱分析结果见题27*解图(h)、 (i)和(j)。 比较可知， 仅用32点分析结果就可以了。 请注意， x3(n)的相频特性曲线的幅度很小， 这是计算误差引起的。 实质上， x3(n)是一个实偶对称序列， 所以其理论频谱应当是一个实偶函数， 其相位应当是零。,程序ex327.m如下： %程序ex327.m% 用DFT对序列谱分析n1=0： 9； n2=0： 50； n3=-10： 10； N1=10； N2=20； N3a=32； N3b=64； x1n=2*cos(0.2*pi*n1
31、)； %计算序列x1nx2n=2*sin(0.45*pi*n2).*sin(0.55*pi*n2)； %计算序列 x2nx3n=0.5.abs(n3)； %计算序列x3nx3anp=zeros(1， N3a)； %构造x3n的周期延拓序列， 周期为N3afor m=1： 10，, x3anp(m)=x3n(m+10)；x3anp(N3a+1-m)=x3n(11m)； end x3bnp=zeros(1， N3b)； %构造x3n的周期延拓序列， 周期为N3b for m=1： 10， x3bnp(m)=x3n(m+10)； x3bnp(N3b+1m)=x3n(11m)； end X1k=fft
32、(x1n， N1)； %计算序列x1n的N1点DFT X2k=fft(x2n， N2)； %计算序列x2n的N2点DFT X3ak=fft(x3anp， N3a)； %计算序列x3n的N3a点DFT X3bk=fft(x3bnp， N3b)； %计算序列x3n的N3b点DFT %以下为绘图部分（省略）,3.6 教材第4章习题与上机题解答快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法， 没有新的物理概念。 FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述， 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点D
33、FT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。,解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次 复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次 直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s 用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为,快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFTh(n)已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFF
34、T。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为,所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）,由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为,应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns。 请重复做上题。 解: 与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为 TD=1010910242+101091 047 5
35、52=20.961 28 ms,用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为,快速卷积计算时间Tc约为,可实时处理的信号最高频率fmax为,由此可见， 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。 机器周期小于1 ns的DSP产品已上市， 其处理速度更高。,3 已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试设计用一次N点IFFT来完成的算法。 解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY(k)为共轭反对称序列。
36、可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即 F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次N点IFFT得到 f(n)=IFFTF(k)=Ref(n)+j Imf(n),由DFT的共轭对称性可知Ref(n)=IDFTFep(k)=IDFTX(k)=x(n)j Imf(n)=IDFTFop(k)=IDFTjY(k)=jy(n) 故,4 设x(n)是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的2
37、N点IDFT运算。,解: 本题的解题思路就是DIT-FFT思想。 （1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1 根据DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。 因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。 具体方法如下：,令y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0, 1
38、, , N1 则,2N点DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到,这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2） 与（1）相同， 设 x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1 X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1 X2(k)=DFTx2(n) k=0, 1, , N1 则应满足关系式,由上式可解出,由以上分析可得出运算过程如下： 由X(k)计算出X1(k)和X2(k):, 由X1(k)和X2(k)
39、构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k) 其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFFT， 得到 y(n)=IFFTY(k)=Rey(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1 由DFT的共轭对称性知, 由x1(n)和x2(n)合成x(n):,，0n2N1,在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。,5 分别画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图， 并计算其复数乘次数， 如果考虑三类碟形的乘法计算， 试计算复
40、乘次数。 解： 本题比较简单， 仿照教材中的8点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图很容易画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图。 但画图占篇幅较大， 这里省略本题解答， 请读者自己完成。,6* 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行FFT和IFFT变换， 验证所编程序。,解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m%按照所给算法公式计算IFETfunction xn=ifft46(Xk
41、， N)Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭xn=conj(fft(Xk， N)/N； %按照所给算法公式计算IFFT分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数ifft46的程序ex406.m如下：,%程序ex406.m%调用fft函数计算IDFTx1n=1； %输入单位脉冲序列x1nx2n=1 1 1 1 1 1 1 1； %输入矩形序列向量x2nx3n=1 2 3 4 4 3 2 1； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； %计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n， N)； %计算x2n的N点DFTX3k=fft(x3n， N)； %计算x3n的N点DFT,x1n=ifft46(X1k， N) %调用ifft46函数计算X1k的IDFT x2n=ifft46(X2k， N) %调用ifft46函数计算X2k的IDFT x3n=ifft46(X3k， N) %调用ifft46函数计算X3k的IDFT 运行程序输出时域序列如下所示， 正是原序列x1n、 x2n和x3n。 x1n = 1 0 0 0 0 0 0 0 x2n = 1 1 1 1 1 1 1 1 x3n = 1 2 3 4 4 3 2 1,
