1、 教材第4章习题与上机题解答 快速傅里叶变换（FT）是DFT的快速算法， 没有新的物理概念。 FT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述， 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FT计算呢？照这样计算， 用FT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。 解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为 N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为 N（1）=10241023=1 047 5
2、52次直接计算所用计算时间TD为 TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FT计算1024点DFT所需计算时间TF为6 6F 6 6510lblb10210245101010241010230.72 m sNT N =+=+=快速卷积时， 需要计算一次N点FT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）、 次频域复数乘法和一次N点IFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为c F2102471680 s41024 s65536 sTT=+= +次复数乘计算时间所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）s 6102415 625 /6536
3、10F =次秒由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为sm ax 156257.8125 kHz22Ff=应当说明， 实际实现时， fm ax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns。 请重复做上题。 解: 与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=1010910242+101091 047 552=20.961 28 ms用FT
4、计算1024点DFT所需计算时间TF为9 9F8 81010lb1010lb210410 101010241020.1536 m sNT N N =+=+=快速卷积计算时间Tc约为c F 3 921024 20.15361010101024 0.317 4 m sTT =+=+次复数乘计算时间可实时处理的信号最高频率fm ax为m ax s c1110241 = 3.158 MHz=1.629 MHz22 2f FT=由此可见， 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。 机器周期小于1 ns的SP产品已上市， 其处理速度更高。 3 已知X(k)
5、和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试设计用一次N点IFT来完成的算法。 解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY(k)为共轭反对称序列。 可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即 F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)计算一次N点IFT得到f(n)=IFTF(k)=Ref(n)+j Imf(n)由DFT的共轭对称性可知 Ref(n)=IDFTFep(k)=IDFTX(k)=x(n) j Imf(n
6、)=IFop(k)=IFjY(k)=jy(n)故1()()()2xnfnfn=+1()()()2jynfnfn= 4 设x(n)是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFT实现求X(k)的2N点IDFT运算。解: 本题的解题思路就是DIT-FT思想。 （1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1 根据DIT-FT的思想，
7、只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。 因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FT求得X1(k)和X2(k)。 具体方法如下：令 y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)DFTy(n) k=0, 1, , N1则*1 1 ep *2 2 ep1()DFT()()()( )21j()DFTj()()()( )2Xk xnYkYkYNkXk xnYkYkYNk= =+= =2N点DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到1 221 22()() () 0,1, 1( )()
8、()kNkNXkXkWX k NkNXk k=+ = += L这样， 通过一次N点IFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2） 与（1）相同， 设 x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1 x2(n)x(2n+1) n0, 1, , 1 X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1 2(k)Fx2(n) k0, 1, , 1则应满足关系式1 221 22()() () 0,1, 1( )() ()kNkNXkXkWX k NkNXkXk=+ = += L由上式可解出12 21()()( )2
9、 0,12, 11()()( )2 kNXkXkXkNk NXkXkXkNW=+= =+ L由以上分析可得出运算过程如下： 由X(k)计算出X1(k)和X2(k): 12 2()()( )21()()( )2 kNXkXkXkNXkXkXkNW=+=+ 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFT， 得到y(n)=IFTY(k)=Rey(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1由DFT的共轭对称性知* ep 1* op 21Re()()(
10、)DFT()()21jIm ()()()DFT()j()2ynynyn Ykxnynynyn Ykxn=+= =+= = 由x1(n)和x2(n)合成x(n):12 2() 1 2nx nxn nx n = =偶数奇数，0n2N1在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。5 分别画出16点基2DIT-FT和DIF-T运算流图， 并计算其复数乘次数， 如果考虑三类碟形的乘法计算， 试计算复乘次数。 解： 本题比较简单， 仿照教材中的8点基2DIT-FT和DIF-T运算流图很容易画出16点基2DIT-FT和DIF-T
11、运算流图。 但画图占篇幅较大， 这里省略本题解答， 请读者自己完成。6* 按照下面的IDFT算法编写MATLB语言 IFT程序， 其中的FT部分不用写出清单， 可调用ft函数。 并分别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行FT和IFT变换， 验证所编程序。 * *1()IDFT()DFT()xn Xk XkN= =解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函数编写ift46.m如下： %函数ift46.m 按照所给算法公式计算IFET function xn=ift46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xnconj(ft(k， N)/； 按照所给算
12、法公式计算IFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列进行FT， 并调用函数ift46计算IFT变换， 验证函数ift46的程序ex406.m如下： %程序ex406.m 调用ft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=1 1 1 1 1 1 1 1； 输入矩形序列向量x2n x3n=1 2 3 4 4 3 2 1； %输入三角序列序列向量x3nN=8； X1k=ft(x1n， N)； %计算x1n的N点DFT 2k=ft(x2n， )； 计算x2n的点F X3k=ft(x3n， N)； %计算x3n的N点DFT x1n=ift46(X1k， N) %调用ift46函数计算X1k的IDFT x2n=ift46(X2k， N) %调用ift46函数计算X2k的IDFT x3n=ift46(X3k， N) %调用ift46函数计算X3k的IDFT 运行程序输出时域序列如下所示， 正是原序列x1n、 x2n和x3n。 x1n = 1 0 0 0 0 0 0 0 x2n = 1 1 1 1 1 1 1 1 x3n = 1 2 3 4 4 3 2 1
