1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学【试卷点评】【命题特点】2017 年全国 1 高考数学与 2016 全国 1 高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题及解答题方面难度有所降低在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如第2、4、9、12、19 题1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第 2 题，文科第 4 题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型2.关注通性通法试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，
2、以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神如第 5、12、13、16 题对数形结合思想的考查；第 9 题对函数与方程思想的考查4.体现了创新性，如第 19 题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力 【命题趋势】1.函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如第 9 题；对函数图像的考查，如第 8 题；对含参单调性以及零点问题的考查，如 21 题，比较常规2.三角函数与解三角形知识：对三角恒等变换的考查，如第 15 题；对解三角形问题的考查，如第 11题重视对基础知识与
3、运算能力的考查3.数列知识：对数列通项公式的考查，如 17 题整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点4.立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如文科第 6 题，理科第 7 题，试题难度不大，比较常规；第 16 题，简单几何体的外接球问题，难度一般立体几何解答题的考查较常规5.解析几何知识：对圆锥曲线简单性质的考查，如文科第 5 题，文科第 10 题；对圆锥曲线综合知识的考查，如第 12 题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查6.选做题知识：极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直
4、线与曲线的位置关系，考查较为稳定；不等式选讲仍然考查关于绝对值不等式的应用，解不等式，求参数范围问题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A= ，B= ，则|2x|320xAA B= BA B|CA B DA B=R3|2x【答案】A2为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x 2， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是Ax 1， x2，x n的平均数 Bx 1，x 2，x n的标准差Cx 1， x2，x n的最大值 Dx 1，
5、x 2，x n的中位数【答案】B【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选 B【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度3下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i) 2 Bi 2
6、(1-i) C(1+i) 2 Di(1+i)【答案】C4如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A B C D14812 4【答案】B【解析】试题分析：不妨设正方形边长为 ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的a一半由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 ，选 B21()8a【考点】几何概型【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础
7、上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中， “等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关5已知 F 是双曲线 C： 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，3) ，则132yxAPF 的面积为A B C D13 22 33 2【答案】D6如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是A BC D【答案】A【解析
8、】试题分析：由 B，AB MQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C，ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由D，ABNQ，则直线 AB平面 MNQ故 A 不满足，选 A【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 7设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为3,10,x
9、yA0 B1 C2 D 3【答案】D8函数 的部分图像大致为sin21coxyA B C D 【答案】C9已知函数 ，则()ln(2)fxxA 在（ 0，2）单调递增 B 在（0，2）单调递减()fxCy= 的图像关于直线 x=1 对称 Dy= 的图像关于点（1，0）对称()fx【答案】C【解析】试题分析：由题意知， ，所以 的图象关于直线 对称，C 正确，(2)ln()l()fxxf()fx1xD 错误；又 （ ） ，在 上单调递增，在 上单调递减，A，B 错11()()fx020,1,2)误，故选 C【考点】函数性质【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图象有对称()fxD
10、x()()faxfb轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数2abxf(a b) Dfx的图象有对称中心 ()f (,0)210如图是为了求出满足 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入31nAA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2【答案】D11ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知 ，a=2，c= ，则sin(sico)0BAC2C=A B C D12643【答案】B【解析】试题分析：由题意 得sin()si(ncos)0AC，sincoiAAC即 ，所以 (is)2i
11、s()4C34由正弦定理 得 ，即 ，得 ，故选 BsiniacA23sini 1i26【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，学科*网如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到12设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围213xym是A B(0,19)(0,39,)C D44【答案】A二、填空题：本题共 4 小题，每
12、小题 5 分，共 20 分13已知向量 a=（1，2），b=（m，1）若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=_【答案】7【解析】试题分析：由题得 ，因为 ，所以 ，解得(1,3)ab()0ab(1)2307m【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)(b0)，则 a b 的充要条件是 x1x2+y1y2014曲线 在点（1，2）处的切线方程为_y【答案】 1yx15已知 ，tan =2 ，则 =_(0)2a， cos()4【答案】 31【解析】试题分析：由 得tan2sicos又 2sicos1所以 5因为 (0,)2所以 5cos,in
13、5因为 ()cossin44所以 25310cos【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角16已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面SCB，SA= AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的
14、体积为 9，则球 O 的表面积为_【答案】 36形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分17（12 分）记 Sn 为等比数列
15、的前 n 项和，已知 S2=2，S 3=-6a（1）求 的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，S n，S n+2 是否成等差数列 【答案】 （1） ；（2） ，证明见解析()nna32)1(nnS解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法18（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且 90BAPCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， ，且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积90APD83【答案】 （1）证明见解析； （2） 3619（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产
16、过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9951012996 9961001992 9981004抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸 10269911013100292210041005995经计算得 ， ，16.7ix16162()().21i iisxx， ，其中 为抽取的第 个零件的尺162(8.5).439i16()8.52.7iixixi寸， ,（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随
17、生产过程()ix1,26)r的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变|0.25r小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的(3,)xs生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）从这一天抽检的结果看，学科网是否需对当天的生产过程进行检查？（ ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸(3,)xs的均值与标准差（精确到 001）附：样本 的相关系数 ， (,)ixy1,2)n1221()()niiiniiiixyr0.8.9【答案】 （1） ，可以；（ 2） （
18、 ）需要；（ ）均值与标准差估计值分别为 1002，0098.0r（ii）剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为 ，这条生产线当天生1(69.72)10.5产的零件尺寸的均值的估计值为 1002，162220.169.715.34ix剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为 ，22(91150.).8这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.8.9【考点】相关系数，方差均值计算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“ 旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“ 新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点
19、20（12 分）设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 424x（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程【答案】 （1）1； （2） 7yx【解析】21（12 分）已知函数 =ex(exa)a2x(f（1）讨论 的单调性；（2）若 ，求 a 的取值范围()0fx【答案】 （1）当 ， 在 单调递增；当 ， 在 单调递减，在)(f,)0a()fx,ln)a单调递增；当 ， 在 单调递减，在 单调递增；（2）(ln,)a0fx(,ln)2l342e,1【解析】试题分析：（1）
20、分 ， ， 分别讨论函数 的单调性；（2）分 ， ， 分别0a0a)(xf 0a0a解 ，从而确定 a 的取值范围0)(xf试题解析：（1）函数 的定义域为 ， ，()fx(,)22()xxxfeaea若 ，则 ，在 单调递增0a2e,若 ，则由 得 ()0fxlna当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在(,lnx(,)x()0fx()fx,ln)a单调递增l)a若 ，则由 得 0()0fxln()2a当 时， ；当 时， ，故 在 单调递(,ln2xl(),x()0fx()fx,ln()2a减，在 单调递增)a（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多
21、做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为3cos,inxy4,1xaty（ 为 参 数 ）（1）若 ，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 17a【答案】 （1） ， ；（2） 或 (3,0)14,)5816（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为l40xyaC(3cos,in)l|3cos4in|17d当 时， 的最大值为 由题设得 ，所以 ；ad917a917a8a当 时， 的最大值为 由题设得 ，所以 416综上， 或 8a16【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数 的值a23选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数 ， 4)(2axxf |1|)(xg（1）当 时，求不等式 的解集；a)(xgf（2）若不等式 的解集包含 1，1，求 的取值范围)(xf a【答案】 （1） ；（2） 17| x,(2)图像法：作出函数 和 的图像，结合图像求解1|yxab2yc
