1、A BCDA1EB1C1高考典型题型训练立体几何中求角与距离1. 四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PB面 ABCD. （1）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于902 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形，ACB=90 0，AC=1，C 点到 AB1的距离为 CE= ，D 为 AB 的中点.23（1）求证：AB 1平面 CED；（2）求异面直线 AB1与 CD 之间的距离；（3）求二面角 B1ACB 的平面角.3. 如图 al 是
2、120的二面角，A，B 两点在棱上， AB=2，D 在 内， 三角形 ABD 是等腰直角三角形，DAB=90，C 在 内， ABC 是等腰直角三角形ACB= .90（I） 求三棱锥 DABC 的体积；（2）求二面角 DACB 的大小； （3）求异面直线 AB、CD 所成的角.4. 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值图 图5. 已知三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，AB=BC，D、F 分别为 A
3、C、PC 的中点，DEAP 于 E（1）求证：AP平面 BDE； （2）求证：平面 BDE平面 BDF；（3）若 AEEP=12，求截面 BEF 分三棱锥PABC 所成两部分的体积比6. 如图，几何体 ABCDE 中，ABC 是正三角形，EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G 分别为 EB 和 AB 的中点.（1）求证：FD平面 ABC；（2）求证：AFBD；(3) 求二面角 BFCG 的正切值.7. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P、Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点，且D1PPA=DQQB=512.ABCDEA1 B1C1D1
4、xyz图 4(1) 求证 PQ平面 CDD1C1；(2) 求证 PQAD；(3) 求线段 PQ 的长. 8. 如图 4，在长方体 ABCD中，AD= =1，AB=2 ，点 E 在棱 AB1ABCD1上移动。（）证明： ；1E（）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面的距离；1ACD（）AE 等于何值时，二面角 的大小为 。1DC49. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长都相等，D、E 分别为 AC1，BB 1 的ABCA1B1CED中点。 （1）求证：DE平面 A1B1C1；（2）求二面角 A1DEB1 的大小。10如图：已知直三棱柱 ABCA1B1C1，AB AC，F 为棱
5、 BB1 上一点，BFFB 121，BFBC 2a。（I）若 D 为 BC 的中点，E 为 AD 上不同于 A、 D 的任意一点，证明EF FC1；（II）试问：若 AB2a，在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成60角，为什么？证明你的结论11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥 中，AD BC，ABC90，PABCD且 ，又 PA平面 ABCD，AD3AB3PA3a。 ADCarcsin5（I）求二面角 PCDA 的正切值；（II）求点 A 到平面 PBC 的距离。BC12.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB=CC 1=2，ACB=90，E、 F 分别是
6、BA、BC 的中点， G 是 AA1 上一点，且 AC1EG.（）确定点 G 的位置；（）求直线 AC1 与平面 EFG 所成角 的大小. 13.已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是菱形， 平面PDAB,60ABCD，PD=AD ，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点.（1）证明平面 PED 平面 PAB；（2）求二面角 PABF 的平面角的余弦值14.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P在棱 CC1 上，且 CC1=4CP.()求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；()
7、设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D 1HAP ；()求点 P 到平面 ABD1 的距离.15.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD， ，E 是 PC 的中点，作交 PB 于点 F。 (I)证明 平面 ； B1PACDA1C1D1BOH(II)证明 平面 EFD； (III)求二面角 的大小。 16.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F是棱CD 上的动点.（I）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F；（II）当 D1E平面 AB1F 时，求二面角 C1EFA 的大小（结果用反三角函
8、数值表示）.17.如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形，ABCD，ADDC， CD=2，DD 1=AB=1，P、Q 分别是 CC1、C 1D1 的中点。点 P 到直线AD1 的距离为 23求证：AC 平面 BPQ求二面角 B-PQ-D 的大小18.已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=4，AA 1=8，E、F 分别为 AD 和 CC1 的中点，O1 为下底面正方形的中心。（）证明：AF平面 FD1B1；（）求异面直线 EB 与 O1F 所成角的余弦值； A BCDA BCDPQ1 111A BD CA1D1 C1B1EFO1 H19. 图 是一个正方体的表面
9、展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。20. 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。答案：1. （1）正方形 ABCD 是四棱锥 PABCD 的底面, 其面积为 从而只要算出四棱锥
10、的高就行了.,2a面 ABCD,PBBA 是 PA 在面 ABCD 上的射影.又 DAAB，PADA，PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角，PAB=60. 而 PB 是四棱锥 PABCD 的高，PB=ABtg60= a,3.3231aV锥（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形.作 AEDP，垂足为 E，连结 EC，则ADECDE，是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面CADCAE故,90,角.设 AC 与 DB 相交于点 O，连结 EO，则 EOAC，.2aADEa在 .0)2)(2)(cos, 2 AEOCAEC中故平面 PAD
11、 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90.2. （1）D 是 AB 中点，ABC 为等腰直角三角形，ABC=90 0，CDAB又 AA1平面 ABC，CDAA 1.CD平面 A1B1BA CDAB 1，又 CEAB 1， AB 1平面 CDE；（2）由 CD平面 A1B1BA CDDEAB 1平面 CDE DEAB 1DE 是异面直线 AB1与 CD 的公垂线段CE= ，AC=1 , CD=23.2 ；1)(2CDE（3）连结 B1C，易证 B1CAC，又 BCAC , B 1CB 是二面角 B1ACB 的平面角.在 RtCEA 中，CE= ，BC=AC=1,23B 1AC=600 ， ,2
12、6cosAB 2)(211ABB , .11Ctg1arctgC3. (1) 过 D 向平面 做垂线，垂足为 O，连强 OA 并延长至 E. 为二面角 alDAEBAOAB,上 的 射 影在 平 面为的平面角. .60,120DE 3,2O是等腰直角三角形，斜边 AB=2. 又 D 到平面 的距离C ,1ABCSDO= .3.ABCDV（2）过 O 在 内作 OMAC,交 AC 的反向延长线于 M,连结 DM.则ACDM.DMO 为二面角 DACB 的平面角. 又在DOA 中，OA=2cos60=1.且 .2,45OMCAEOM .6.6arctgDMOtg（3）在 平在内，过 C 作 AB
13、的平行线交 AE 于 F，DCF 为异面直线 AB、CD所成的角. 为等腰直角ACFDFB即又 ,45, 三角形，又 AF 等于 C 到 AB 的距离，即ABC 斜边上的高, .1.7.7.7120cos22 DtgtgAADF异面直线 AB,CD 所成的角为 arctg .4. 设容器的高为 x则容器底面正三角形的边长为 ,xa32)32)(341)0()2()( xaxaV.54(6当且仅当 .,183,2343maxVxax时即故当容器的高为 时，容器的容积最大，其最大容积为18 .543a5. (1）PC底面 ABC，BD 平面 ABC，PCBD由 AB=BC，D 为 AC 的中点，得
14、 BDAC又 PCAC=C，BD平面 PAC 又 PA 平面、PAC，BDPA由已知 DEPA，DEBD=D，AP平面 BDE（2）由 BD平面 PAC，DE 平面 PAC，得 BDDE由 D、F 分别为 AC、PC 的中点，得 DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面 BDF又 DE 平面 BDE，平面 BDE平面 BDF（3）设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和 h2则h1h 2=EPAP=23,.312321PBCFPBCAFEPShV故截面 BEF 分三棱锥 PABC 所成两部分体积的比为 12 或 216. F、G 分别为 EB、AB 的中点
15、，FG= EA，又 EA、DC 都垂直于面 ABC, FG=DC，21四边形 FGCD 为平行四边形，FDGC，又 GC 面 ABC，FD面 ABC.（2）AB=EA，且 F 为 EB 中点，AFEB 又 FGEA，EA面 ABCFG面 ABC G 为等边ABC，AB 边的中点，AGGC.AFGC 又 FDGC，AFFD 由、知 AF面 EBD，又 BD 面 EBD，AFBD.（3）由（1） 、 （2）知 FGGB，GCGB，GB面 GCF.过 G 作 GHFC，垂足为 H，连 HB，HBFC.GHB 为二面角 B-FC-G 的平面角.易求 .32,23aBtgaH7. （1）在平面 AD1内
16、，作 PP1AD 与 DD1交于点 P1，在平面 AC 内，作QQ1BC 交 CD 于点 Q1，连结 P1Q1. , PP 1 QQ1 .1251QBDPA/由四边形 PQQ1P1为平行四边形, 知 PQP 1Q1 而 P1Q1 平面 CDD1C1， 所以 PQ平面 CDD1C1（2） AD平面 D1DCC1， ADP 1Q1，又PQP 1Q1， ADPQ.（3）由（1）知 P1Q1 PQ,/，而棱长 CD=1. DQ 1= . 同理可求得 P 1D= .25BDCQ17572在 RtP 1DQ1中，应用勾股定理, 立得P1Q1= .17357222D8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设
17、 ，则 ，AEa1(,0)， ，1(0,)(,0)Ea， 。A2C（）证明：由 ， ，1(,)DA1(,1)Ea，有 ，于是 。1(,0),0DEa DAE1AD（）E 是 AB 的中点，得 。(,)， ， 。1(,)12AC1(,)设平面 的法向量为 ，单位法向量为 ，1D(,)nxy0n由 ，解得 。10nA(,)1,20)xy21xy12xy于是 ，有 。1(,)2n01(,)2(,)34n设点 E 到平面 的距离为 ，则1ACDd。1021(,),)3dn所以点 E 到平面 的距离为 。1（）平面 的法向量 ，设平面 的法向量 。DC(0,1)n1DEC2(,1)nxy又 ， 。(1,
18、20)Ea1(,2)由 ，得21nDC,0(),)xya，解得 ，于是 。()0xya12y21(,)an设所求的二面角为 ，则 。4有 ，得 。1221(0,),)2cos,4aDn 21()4a解得 ，23a所以，当 AE= 时，二面角 的大小为 。1ECD49. （1）取 A1C1 中点 F，连结 B1F，DF，D 1E 分别为 AC1 和 BB1 的中点，DFAA 1，DF=（1/2 ）AA 1，B 1EAA 1，B 1E=（1/2 ）AA 1，DFB 1E，DF=B 1E，DEB 1F 为平行四边形，DEB 1F，又 B1F 在平面 A1B1C1 内， DE 不在平面A1B1C1，D
19、E平面 A1B1C1（2）连结 A1D，A 1E，在正棱柱 ABCA1B1C1 中，因为平面 A1B1C1平面ACC1A1，A 1C1 是平面 A1B1C1 与平面 ACC1A1 的交线，又因为 B1F 在平面 A1B1C1 内，且 B1FA 1C1， ，所以 B1F平面 ACC1A1，又 DEB 1F，所以 DE平面 ACC1A1 所以FDA 1 为二面角 A1DEB1 的平面角。并且 FDA1=（1/2）A 1DC1，设正三棱柱的棱长为 1，因为AA 1C1=900，D 是 AC1 的中点，所以即为所求的二面角的度数。,45,9,2, 01 10 （I）连结 DF，DC 三棱柱 ABCA1
20、B1C1 是直三棱柱，CC 1 平面 ABC， 平面 BB1C1C平面 ABCABAC，D 为 BC 的中点，ADBC，AD平面 BB1C1C 3DF 为 EF 在平面 BB1C1C 上的射影，在DFC 1 中，DF 2BF 2BD 25a 2， DC 210a 2，1DCB 1F2 5a2， DF 2 ，DFFC 1C11FFC1EF （II）AD平面 BB1C1C，DFE 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角 在EDF 中，若EFD60，则 EDDFtg60 ，3a5 ，E 在 DA 的延长线上，而不在线段 AD 上 a153故线段 AD 上的 E 点不能使 EF 与平面 BB1C1C
21、 成 60角。 11. 解：（1）在底面 ABCD 内，过 A 作 AECD，垂足为 E，连结 PEPBDHPA 平面 ABCD，由三垂线定理知： PECDPEA 是二面角 PCDA 的平面角在 中，RtAEDaADE35， arcsinAEDEasin35在 中， 二面角 PCDA 的正切值为tPtnP3（II）在平面 APB 中，过 A 作 AHPB，垂足为 HPA平面ABCD，PABC又 ABBC，BC 平面 PAB平面 PBC平面 PABAH平面 PBC 故 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离在等腰直角三角形 PAB 中， ，所以点 A 到平面 PBC 的距离为Ha22a12
22、.解法一：（）以 C 为原点，分别以 CB、CA、CC 1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 F（1，0 ，0） ，E （1，1，0） ，A（ 0，2 ，0） ，C1（0，0，2 ） ，),(A设 G（0，2，h） ，则 .0,).,1( 11CEGChG10+1（2）+2h=0. h=1，即 G 是 AA1 的中点. （）设 是平面 EFG 的法向量，则),(zyxm.,mF所以 平面 EFG 的一个法向量 m=（1，0，1 ）.0,1 ,21|sin1ACm ， 即 AC1 与平面 EFG 所成角 为 66解法二：（）取 AC 的中点 D，连结 DE、DG，则 ED/BC
23、BC AC， EDAC.又 CC1 平面 ABC，而 ED 平面 ABC，CC 1ED.CC 1 AC=C，ED平面 A1ACC1. 又AC 1EG ，AC 1DG.连结 A1C， AC1A 1C，A 1C/DG.D 是 AC 的中点，G 是 AA1 的中点. （）取 CC1 的中点 M，连结 GM、FM，则 EF/GM， E 、F、M 、 G 共面.作 C1HFM，交 FM 的延长线于 H，AC平面BB1C1C，C1H 平面 BB1C1C，ACG 1H，又 AC/GM，GMC 1H. GM FM=M ，C 1H平面 EFG，设 AC1 与 MG 相交于 N 点，所以C 1NH 为直线 AC1
24、 与平面 EFG 所成角 .因为 .6,2sin,2,11 N13 （1 ）证明：连接 BD.为等边三角形.ADBADB,60,是 AB 中点，EE面 ABCD，AB 面 ABCD，P.P面 PED，PD 面 PED， 面 PED.AB,面 PAB， 面 PAB. ABPD面（2）解： 平面 PED，PE 面 PED，.E连接 EF， PED，EF.EFAB为二面角 PABF 的平面角. 设 AD=2，那么 PF=FD=1，DE= .3在 ,1,2,7, 中 ,475)(cosPEF即二面角 PABF 的平面角的余弦值为 .114、解（1 ） 4arctn17AB（2）略（3） 15.方法一：
25、 (I)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 O。连结EO。 底面 ABCD 是正方形， 点 O 是 AC 的中点 在 中，EO 是中位线， 。 而 平面 EDB 且 平面 EDB， 所以， 平面 EDB。 (II) 证明： 底在 ABCD 且 底面 ABCD， 同样由 底面 ABCD，得 底面 ABCD 是正方形，有 平面 PDC 而 平面 PDC， 6 分 由和推得 平面 PBC 而 平面 PBC， 又 且 ，所以 平面 EFD (III)解：由(II)知， ，故 是二面角 的平面角 由(II)知， 设正方形 ABCD 的边长为 ，则在 中， 在 中， 所以，二面角 的大小为 方法二：如图
26、所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点。设 (I)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G。连结 EG。 依题意得底面 ABCD 是正方形， 是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为 且 。这表明 。 而 平面 EDB 且 平面 EDB， 平面 EDB。 (II)证明：依题意得 。又 故 由已知 ，且 所以 平面 EFD。 (III)解：设点 F 的坐标为 则 从而 所以 由条件 知， 即 解得 。 点 F 的坐标为 且 即 ，故 是二面角 的平面角。 且 16本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分 12 分.解法一：（I）连结 A1B，则 A1B 是 D
27、1E 在面 ABB1A；内的射影AB 1A 1B，D 1E AB1，于是 D1E平面 AB1F D1EAF.连结 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影 .D 1EAF DEAF.ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点.当且仅当 F 是 CD 的中点时，DEAF，即当点 F 是 CD 的中点时，D 1E平面 AB1F.6 分（II）当 D1E平面 AB1F 时，由（I）知点 F 是 CD 的中点.又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EFBD. 连结 AC，设 AC 与 EF 交于点 H，则 CHEF，连结 C1H，则 CH 是C1H 在底面 ABCD 内的射影.C
28、1HEF，即C 1HC 是二面角 C1EFC 的平面角 .在 RtC 1CH 中，C 1C=1，CH= AC= ，42tanC 1HC= .2HC 1HC=arctan ，从而AHC 1= .2arctn故二面角 C1EFA 的大小为 .解法二：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设 DF=x，则 A（0，0，0） ，B（1，0，0 ） ，D（0，1，0） ，A1（0，0，1） ，B（1，0，1） ，D 1（0，1，1） ，E ，F（x，1，0）),2(FABEDCFx xABEDxF1111 11,.2 02, ),(),(),2( 平 面的 中 点 时是故 当 点即 平
29、面于 是 即 （1）当 D1E平面 AB1F 时，F 是 CD 的中点，又 E 是 BC 的中点，连结EF，则 EFBD. 连结 AC，设 AC 与 EF 交于点 H，则 AHEF. 连结 C1H，则CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影.C 1HEF，即AHC 1 是二面角 C1EFA 的平面角.3189|cos).0,43(),4(,03,11HCA17、连接 CD1 P 、Q 分别是 CC1、C 1D1 的 中点。CD 1PQ 故 CD1平面 BPQ又 D1Q=AB=1，D 1QAB，得平行四边形 ABQD1，故 AD1平面 BPQ平面 ACD1平面 BPQAC平面 BPQ （4
30、分）设 DD1 中点为 E，连 EF，则 PECDCDAD， CDDD 1 CD平面 ADD1PE平面 ADD1过 E 作 EFAD 1 于 F，连 PF。则 PFAD 1，PF 为点 P 到直线 AD1 的距离PF= ，PE=2 EF= 又 D1E= ，D 1D=1，AD=1 2322取 CD 中点 G，连 BG，由 ABDG，AB=DG 得GBAD。 ADDC，ADDD 1AD平面 DCC1D1，则 BG平面 DCC1D1过 G 作 GHPQ 于 H，连 BH，则 BHPQ，故BHG 是二面角 B-PQ-D 的平面角。 由GHQQC 1P 得 GH= ，又 BG=1，得 tanBHG=52
31、25A BCDABCDPQ1111EFGH二面角 B-PQ-D 大小为 arctan 2518、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。（）证法一：如图建立空间直角坐标系。则 D1（0，0，0） 、O1（2 ，2，0）B1（4 ，4 ，0 ） 、E （2，0，8） 、A （4 ，0，8） 、B（4 ，4，8 ） 、F（0，4，4 ） 。 =（-4 ，4 ，-4） ， =（0，4，4） ，A1DF=（-4，0，4） 1=0+16-16=0， =16+0-16=0F1ABAF平面 FD1B1. 证法二：连结 BF、DF，则 BF 是 AF 在面 BC1 上的射影，易证得 BFB 1F，DF 是
32、 AF 在面 DC1 上的射影，也易证得 DFD 1F，所以 AF平面 FD1B1.（）解法一： =（2，4，0） ， =（-2，2，4） E1O设 与 的夹角为 ，则1OF= 1cos|BEA222()044A3解法二：在 B1C1 上取点 H，使 B1H=1，连 O1H 和 FH。易证明 O1H EB，则FO 1H 为异面直线 EB 与 F 所成角。1又 O1H= BE= ，HF= =5，25243O1F= =2 ，246在O 1HF 中，由余弦定理，得cosFO 1H= =6253019. 解：（1）如图，作出 MN、PQxYZA BD CA1 D1 C1B1EFO1A BD CA1D1
33、 C1B1EFO1 HPQNC，又MNC 为正三角形MNC60PQ 与 MN 成角为 60（ ） 213VSMQMNPQPNP6261正 方 体 PDN即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1：6（3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MOPQ又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQMEO 为二面角 MNQP 的平面角在 RtNMQ 中，ME NQMNMQ设正方体的棱长为 aEOa2362， 又在 中 ， RtMOEMasin263MEO 60 即二面角 MNQP 的大小为 60。20. 解：（1）作 PO平面 ABCD，垂
34、足为 O，连结 OB、OA、OD，OB 与 AD 交于点 E，连结 PEADPB，ADOB （根据_）PA PD，OAOD于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 中点PEADPEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角PEB120，PEO60又 ， PEOPEo36032sin即为 P 点到面 ABCD 的距离。（2）由已知 ABCD 为菱形，及PAD 为边长为 2 的正三角形PA AB2，又易证 PBBC故取 PB 中点 G，PC 中点 F则 AGPB，GFBC又 BCPB，GFPBAGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结 GE，易证 AE
35、平面 POB又 ， 为 中 点PEBGP3 o1260 ocs312在 中 ，RtAGED tanGAE32 rcta AGFrtn32所 以 所 求 二 面 角 的 大 小 为 arctn32（2）解法 2：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DAPB（ ， ， ） ， （ ， ， ）030BGAG的 中 点 的 坐 标 为 （ ， ， ） ， 连 结34又 （ ， ， ） ， （ ， ， ）AC132020由 此 得 到 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ，GPB3432BC（ ， ， ）20于 是 ，APBCP0 ， G 、 的 夹 角 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角于 是 cos|ABC27 所 求 二 面 角 大 小 为 arcos7
