1、五年级 第四讲 提高班 11. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题2. 用份数思想求面积之间的关系本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题至此五大模型已讲解完毕体会五大模型解决问题的优势燕尾定理：SABG SAGC SBGE SEGC BE EC；:SBGA SBGC SAGF SFGC AF FC；SAGC SBCG SADG SDGB AD DB；:问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试
2、以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：第 4 讲直线型面积燕尾定理G FEDCBAG FEDCBA2 五年级 第四讲 提高班举例：如右图，D 是 BC 上任意一点，请你说明 S1 S4 S2 S3 BD DC :【 三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD、DC 为底，所以有 S1 S4 BD DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，:S1 S2 ED EA 三角形 ACE 与三角形
3、CED 同高，S 4 S3: :，所以 S1 S4 S2 S3；综上可得 S1 S4 S2 S3 BD DC. EDA:【例 1】 如图，已知 ， ，三角形 的面积是 30，求阴影部分面积.BDC2EABC DEFCBADEFCBADEFCBA【 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我 们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我 们需要 连一条辅助线，(法一)连接 ，因为 ， ，三角形 的面积是 30，FB2EAB所以 ， 103ABEACS 15ADBCS 根据燕尾定理， ， , 2
4、BF 1F所以 ， ，17.54ABFABCS 17.5BFDS所以阴影部分面积是 30.(法二)连接 ，由题 目条件可得到 ，DE103ABEABCS ，所以 ，12123BBCABCSS EDF，2.523DEFDEADABCS 而 所以阴影部分的面积为 1032CBCSS 1.铺垫 右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 用燕尾定理求面积S3S1 S4S2 ED CBA4321五年级 第四讲 提高班 3【 方法一：整个题目读完，我 们没有发现任何与边长 相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断， 这道题不能
5、依靠三角形面 积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：，解得 .2:13:4S阴 影 2S阴 影方法二：回顾下燕尾定理，有 ，解得 .:41:3阴 影（ ） 2S阴 影【例 2】 如右图，三角形 ABC 中，BD DC 4 9，CE EA 4 3，求 AF FB.:【 燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理， ，ABOCSD， 34ABOCSE所以 ，27916B所以 .:F【例 3】 如图在 中， ,求 的值AC 12DEAFBGHIAC 的 面 积 的 面 积 IHGFED CBAIHGFED CBA【 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理 ,BGS :2:1AGBSF ,得 (份)，
6、(份),则 (份)，因此:2:ABC 2C 4AG 7ABCS,同理连接 AI、CH 得 , ,27GS 7ABHS BIC所以 17HIABC拓展 如右图，三角形 ABC 中，AF FB BD DC CE AE 3 2，且三角形 GHI 的面积是 1，求三角:形 ABC 的面积OF ED CBA4 五年级 第四讲 提高班IHGF ED CBAIHGF ED CBA【 连接 BG， 4 份BGS 根据燕尾定理， ，:3:2ACBGSF :3:2ABGCSD 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,6AGCS 9 19C 619AGBS同理连接 AI、CH 得 , ,61ABHCS BIA所以
7、 19GHIABCS三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19【例 4】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，己知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?【 设 ， ，根据燕尾定理 ,得AOESx BOFy, 即 ，:BCDCS :ABOCAOECSS (84):(35)4:yx，即 ，解得 ，(84):(03):5yx3(84)(35)70yx7056xy所以三角形 ABC 的面积是 61【例 5】 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积FEDCBANMFEDCBA
8、【 令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN35304084OF ED CBA五年级 第四讲 提高班 5在 中，根据燕尾定理， , ,ABC :1:ABMCSE :1:ACMBSD 所以 13MABCNS 由于 S，所以12EAM :2:1在 中，根据燕尾定理，BC :BENCF :1:2CENBS 设 (份)，则 (份)， (份)， (份)，1ENS 1S 2S 4B所以 , ，因为 ,F 为 BC 中点,24BCBCEABC 148NEBCEACS :2:1M所以 , ,3812MN ASS 1248FNBABCS 所以 (平方厘米)1553.124
9、ABCBC 阴 影【例 6】 如右图， 中， 是 的中点， 、 、 是 边上的四等分点， 与 交于 ， GDEFBCADBGM与 交于 ，已知 的面积比四边形 的面积大 平方厘米，则 的面AFBNM GN7.2C积是多少平方厘米？NM GAB CDE FNM GAB CDE F【 连接 、 根据燕尾定理， ， ，所以:1:ABMS :1:3ABMCSD ；15ABMCS 再根据燕尾定理， ，所以 ，所以:ABNCG :4:ABNFCBNFSS ，那么 ，所以 :4:3NF14237FS 25151728FCGAACABCS 根据题意，有 ，可得 (平方厘米)15.28ABCABC 36ABS拓
10、展 如右图，三角形 ABC 的面积是 1，BD DE EC，CF FG GA，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少?6 五年级 第四讲 提高班GFED CBANMQPGFED CBA【 设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N连接CP，CQ，CM，CN根据燕尾定理， ， ，设 (份)，则:1:2ABPCSG :1:2ABPCSD 1ABPS(份)，所以125ABCS 5ABPS同理可得， , ,而 ，所以 ， 7ABQ 2N 3G 2375APQS 3721AQGS同理， ,所以 ， ,35
11、PMS 1D 1920PQMNS四 边 形 19504MNED四 边 形,1246NFCE四 边 形 364GF四 边 形【例 7】 已知四边形 ABCD，CHFG 为正方形， ，a 与 b 是两个正方形的边长，求:1:8S乙甲 :?ab乙乙baGHOFED CBA乙乙baNMGHOFED CBA【 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析 发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接 EO、AF，根据燕尾定理： ， :AOEFSab :AOFESab 五年级 第四讲 提高班
12、7所以 ，作 OMAE、ONEF，2:AOEFSab AE EF 2:MN 318Sab乙甲 :【例 8】 如图，在平行四边形 中， ， 求阴影面积与空白面积的比ABCDE2CFDHAB CDEFG【 方法一：因为 ， ，所以 ， 2D14ABEABCDS 四 边 形 16FABCDS 四 边 形因为 ，所以 ，2ADAGE所以 ， 13BGEBEBCSS 四 边 形 236AGABEAB 四 边 形同理可得， ， 8ADHAD 四 边 形 14HFCDS 四 边 形因为 ，所以空白部分的面 积 ，2BCBC 四 边 形 112()2483ABCDABCDSS四 边 形 四 边 形所以阴影部分
13、的面积是 13ABCDS四 边 形，所以阴影面积与空白面 积的比是 1:31: GHO FEDCBA方法二：连接 CG、CH、AC,AC 交 BD 于 O，有 AC在 中，根据燕尾定理可以得到 , ,A :1:BGSE :1:ABGCSO 所以 ,所以 ,136BCGAABCADSS 2AGODS 求面积方法的综合运用8 五年级 第四讲 提高班同理在 中，根据燕尾定理可以得到 , ,ACD 124AHCADABCSS 148DHACDABCS 所以 ,128HOABCDSS 3FDB 所以 11()2843BEGOH ACDABCS 阴 影所以阴影面积与空白面积的比 1:3【例 9】 如图，在
14、一个梯形内有两个面积分别为 10 与 12 的三角形，已知梯形的上底长是下底长的 ，23那么余下的阴影部分的面积是_1210【 设上底为 2a,则下底为 3a,梯形的高为 ，梯形的面积为210183aa45,118(3)所以阴影部分面积为 450121. 如图所示，在 中， ， 是 的中点，那么 ABC :3:1EDAE:AFCFEDCBAFEDCBA【 连接 C由于 ， ，所以 ，:1:ADBS :3:4EDS :3:4ABDS 根据燕尾定理， ABCF 2. 三角形 中， 是直角，已知 ， ， ， ，那么三角形2MB(阴影部分)的面积为多少？MN五年级 第四讲 提高班 9ABC DMNAB
15、C DMN【 连接 B的面积为A 32根据燕尾定理， ；:2:1A 同理 : 1NM 设 面积为 1 份，则 的面积也是 1 份，所以 的面积是 份，而 NB ANB 12的面积就是 份， 也是 4 份， 这样 的面积为 份，所以C 4C C 40的面积为 A 30.3. 三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE 2EC，F 是 CD 的中点那么阴影部分的面积是 平方厘米F EDCBAF EDCBA【 连接 BF，根据燕尾定理 ,又因为 F 是 CD 的中点，所以 ，:1:2CFABSE ACFDS 所以 ,即 D 是 AB 的中点， 设 (份)，则 (份), (份),ADFBS CF
16、S 2BES 3BD(份)， (份)，5阴 影 2(132A所以 (平方厘米)51BC阴 影4. 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，DB= BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？EDCBAOEDCBA【 这个图是个对称图形，且各 边长度已经给出，我 们 不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线 BO，则图形关于 BO 对称，10 五年级 第四讲 提高班设ADO 的面积为 2 份，则DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份.因为 ，而阴影部分的面 积为 4 份，6103ABES所以阴影部分的面积为 84155. 如图， 中 ， ， 与 平行， 的面积是
17、1 平方厘ABC 4EABD4CEBEOD米那么 的面积是 平方厘米【 因为 ， ， 与 平行，14E14所以 , ， ，:DBC:O4EOBEDS 则 ，又因为 ,5ES :1:3ADC 所以 (平方厘米)13A CBODEA五年级 第四讲 提高班 11富 乌 鸦树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。许多追踪这个富有者的 乌鸦立刻成群飞来。它们全都落下来，一声不响，一动不动。那只嘴里叼着东西的乌鸦已经很累了，很吃力地喘息着，不是吗，它不可能一下子就把这一大块东西吞下去呀。它也不能飞下去，在地上从容不迫地把 这块东西啄碎， 乌鸦们 会猛扑过去，于是就要开始一场通常所说的混战了。它只好停在那儿，
18、保卫嘴巴里的那块东西。也许是因为嘴里叼着东西呼吸困难，也 许是因为先前被大家追赶得精疲力竭只见它摇晃了一下，突然失落了 叼着的那块东西。所有的乌鸦都猛扑上去，在这场混战中，一只非常机灵的 乌鸦抢到了那块东西，立刻展翅飞去。头一只被迫赶得精疲力竭的乌鸦也在跟着飞，但已明 显地落在大家后面了。结果是第二只乌鸦也像第一只一样，精疲力竭地落到一棵树上，最 终也失落了那块东西。于是又是一场混 战，所有的 乌鸦又去追赶那个幸运儿 请看，富有的乌鸦的处境多么可怕，而这只是因为，它只为了它自己。如果只想到自己的利益，而忽略了集体，不懂得互相合作、互相爱护，最终就会落到富乌鸦那样可怕的处境，从而危及自己的利益。所以我们每个人做事情的时候，都应该多为别人着想。这是我们在成长的过程中应该 培养的品质。
