1、染色和覆盖同步巩固演练1、 某影院有座位 31 排，每排 29 个座。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？2、 （北京市第 12 届小学生迎春杯决赛试题）如图，把 A、B、C、D、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有_种不同的着色方法。4、 下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。问能否从 1 号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间？5、 如图，由 22
2、块 11 的小正方形拼成，能不能用若干个 21 的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？能力拓展平台1、 有一个 55 的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬） ，问此时能否会出现空格？2、 一个 88 国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用 31 个 21 的“骨牌” ，把象棋盘上的 62 个小格完全盖住？1 2 34 5 67 8 93、 至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。4、 现有 1，1，2，2，3，3，10，10 共 20 个数。问能否将这些数排一行并满足两个 1 之间有一个数，两
3、个 2 之间有两个数，两个 3 之间有三个数，两个 10 之间有十个数？请说明理由。5、 下图是由 14 个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成 7 个由相邻两个方格组成的长方形。全讲综合训练1、 六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、 正方形的展览厅如下图，共分 16 个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在 A 处，如下图，这条线路可能吗？4、 把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、 由 14 个 11 的正方
4、形组成下图，用 7 个 12 的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、 在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减 1，这样一直进行下去，最后黑板上是 17、1993、1997，问原来的三个数能否是 8？7、 一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，这串数的前 100 个数（包括第 100 个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日” ） ，跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺 寸是 124
5、。现在有一批现成木箱，尺寸是 666。试问：能不 能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用 8 张 13 的长方形纸片完全盖住下面的图。11、中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下面的问题：一只车从位置 A 出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B，证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。12、在 88 的网格正方形中，用图形由三个的正方形组成的“ ”角片来覆盖，要求角片的割线落在正方形的网格线上。为使所余部分不能再放下角片形状的图形，最少需要用角片的图形多少个？13、下图中的 16 个点表示 16 个城市，两个点之间的连线表示这两个城市
6、有公路相通。问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线？14、在下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1 算作一次操作，经过若干次操作后变为右下图，问：右下图中 A 格的数字是几，为什么？15、有一个院子原来铺有 40 块方砖（如图） ，它们已经破损，需要全部更新，但是商店只有长方砖，每块大小等于方砖的两块，院主买了 20 块长方砖回来，想不割开任何一块长方砖而把院子铺满，问：能否做到？16、把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色，每个小格染上红、蓝两种色中的一种。求证：总可以找到 4 个同色小方格，处于某个矩形的 4 个角上。17、如下左图是一个国际象棋棋盘，A
7、 处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入，请问，蚂蚁能否从 A 出发，经过每个格子最后返回到 A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A 1 1 10 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0红 红 红 红12318、一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34 （B）35 （C）44（D）45 （E）6319、 （武汉市小学数学竞赛试题）下面是俄罗斯方块中的七个图形；请你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（ B）
8、图（每块只能用一次，并且不能翻过来用） 。如果能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不能拼出来，就说明理由。20、在 88 的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的，恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？染色和覆盖参考答案同步巩固演练1、 把影院的座位图画成黑白相间的矩形。 （2931） ，共有 899 个小方格。假定四角为黑格，则共有黑格 450 个，白格 499 个。根据题意每一黑白格必须互换，因黑白格的总数不相等。因此是不可能的。2、 96 秒43222=96（种）3、 不能将编号为奇数的房间染成黑色，编号为偶数的房间染成白色。从 1 号房间出发
9、，只能按黑白黑白的次序，当走遍九个房间时应在黑色房间中，这个房间不与1 号房间相邻，故不能不重复地走遍所有房间又回到 1 号房间。4、能能力拓展平台1、 能分析 初看这个总是似乎无从下手，但如果我们利用“染色”的手段，就会使问题简化，很轻松地得到正确答案。将 55 棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑格 13 个，白色格 12 个。当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，白格中的甲虫爬到黑格中，由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一格，所以该题的答案是肯定的。2、 不能31 个这样的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格。但是国际象棋棋盘上
10、对角两格的颜色是相同的，把它们去掉后剩下的是 30 个白格，32 个黑格，或 32 个白格，30 个黑格，因此不能盖住。3、 4 种4、 不能两奇数之间要有奇数个数，说明两奇数所占的位置应为染色后颜色相同的两个位置。同理，两偶数之间要有偶数个数，则两偶数所占的位置应为不同色的两个位置。这样共需 15 个白色和 5 个黑色位置或 15 个黑色和 5 个白色位置。与黑、白色位置各占 10个相矛盾。5、证明如下：将方格染色，白格 6 个，黑格 8 个，由相邻两个方块拼成的长方形中必是一黑一白，因此无法使黑格与白格全配对，即原图不能剪成由 7 个相邻两格组成的长方形。全讲综合训练1、 偶数2、 不能3
11、、 能4、 不能如果每条直线上的红圈数是奇数，则五条线上红圈个数总和是奇数；但由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都计算两次，因此，每个红圈都计算两次，总数应是偶数。因为奇数偶数，所以每条直线上红圈数不可能都是奇数。5、 不能黑白相间染色，有 8 个黑格，6 个白格，用 12，形如 的长方形覆盖，每次可盖住一黑格一白格，但现在黑、白数不等，所以不能用 12 的长方形把原图盖住。6、 不可能7、 33 个8、 偶数把棋盘交点处按黑、白色染色，马从黑点出发，一定跳到白点，从白点出发一定跳到黑点，落点依次为白、黑、白、黑，要跳回原出发点，必须跳偶数步。9、 不能这道题不能简单地理解为木箱的容积除
12、以商品的体积，如果商是整数且没有余数，就能用商品将木箱填满。现在木箱容积是 666=216，商品的体积是124=8，2168=27 ，如果说每个木箱正好装 27 件商品，那就错了，实际上 27 件商品是无法全部装入木箱的。我们用染色法来验证这个结论。先把 666 的木箱分成 216 个 111 的小正方体，接着将 8 个 111 的小正方体组成一个 222 的正方体。整个木箱有 27 个这样的正方体。将这些棱长为 2 的正方体黑白相间的涂上颜色，如图所示，黑的有 14 个，白的有 13 个。将商品放入木箱，不管怎么放，每件商品必须填充 8 个棱长为 1 的小正方体的空间。其中黑、白必须各是 4
13、 个。现在白色的小正方体是 813=104（个） ，配上 104 个黑色的小正方体，正好放入 213=26（件）商品，这时木箱还余下 8（1413）=8（个）黑色小正方体所占的空间。8 个黑色小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是木箱中余下的 8 个小黑色正方体所占的空间无论如何是容纳不下一件商品的。10、 不能11、 车”每一步，所在的格点就会改变一次颜色，因 A、B 两点异色，故从 A 到B“车”走的步数是一个奇数。但半张棋盘共有 45 个格点，不重复地走遍半张棋盘要44 步，44 是一个偶数。12、 11 个13、 不能对这 16 个城市进行黑白相间的染色，一种颜色有 9 个，另一
14、种颜色有 7 个，而要不重复地走遍这 16 个城市，黑色与白色的个数应该相等。14、9 原因如下：无论经过多少次操作，黑格中的数之和与白格中的数的和的差总是一个常数。即（7+A） 8=8，解得 A=9。15、不可能16、在第一行的 7 格中必有 4 格同色，设这 4 格位于前 4 个位置，且均为红色。然后考虑前 4 列构成的 34 矩形。若第二行和第三行中出现 2 个或 2 个以上的红色格子。则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个 4 角同为红色格子的矩形。 若不然，则第二、三行中都至少有 3 个蓝格在前 4 列中，设第二行前 3 格为蓝色，显然第三行中的前 3 格中至少有 2 个蓝格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是蓝色的矩形。17、这种爬行路线是存在的。具体的设计一条，如右图所示。18、通过试验，很容易看到，应选择签字（B） 。19、不能拼出（A）图，可以拼出（ B）图，拼法如右图20、48 个染色后，由于黑白染色具有对称性，不难求出棋盘中共有 13 的长方形 268=96 个，这 96 个长方形中，包含两个白色小方格和一个黑色小方格的长方形恰占一半，为962=48 个。
