1、一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ;如 A、B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B) ; P( )=1-P(A) ; B 发生的前提下 A 发生的概率= 条件概率 ：P(A|B)= ; ()()或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ; 2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型 X 的取值是 x k(k=1,2,3.), 事件 X=xk 的概率为：PX=xk=Pk, k=1,2,3.; - 既 X 的分布律；X X1 X2 . xnPk P1 P2 . pnX 的分布律也可以是上面的表
2、格形式，二者都可以。分布函数：F(x)=P(X ), - ; 是概率的累积！ 0连续型：正态分布：XN( most importment!,2),密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴 x=, E(X)=,方差 D(X)= ; 当 =0， 时，N(0,1) 称标准正态，图形为： 2 2=1分布函数 F(x)为密度函数 f(x)从(- ,x) 围成的面积。当 XN(0,1)，F(x)=(x)(换个叫法）, 由对称性有 (-a)=1-(a)；看到 XN( ,求概率的题，一定要变成标准正态 N(0,1);,2)既把 X 变成 ；则 N(0,1)； 例题：已知 XN( ； 求 P(-11)
3、类，先画出 x=y,x+y=1 的图，确定积分上下限，并求积分；3、求 Z=X+Y 的分布：密度公式 +()=(,);四、数学期望、方差数学期望 E(X), 方差 D(X) :离散：E(X)= ; E(g(X)= ;=1 =1()连续：E(X)= E(g(X)= (); ()();性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如 X,Y 独立，则 E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X ; D(C)=0， D(CX)=CX )()如 X,Y 独立，D(X )=()+()五、样本及抽样分布中心极限定理：E(X)=,D(X)=的独立同分布的 X1,X2,X
4、3.Xn，当 n 充分大时，有： N(0,1); 是 Xi 的和；=1 =1样本及抽样分布：从总体 X 中抽取一个个体，独立抽 n 次，记为 X1,X2,.Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n 是样本容量，X1,X2,.Xn 的观测值 x1,x2,x3.xn 叫样本值。如总体 X 的分布函数是 F，密度是 f; 则：F(x1,x2,.xn)=F(x1)*F(x2)*.*F(xn)= ;=1()f(x1,x2,.,xn)= ; =1()重要统计量：样本均值： = ; 样本方差 S= ;1=1 11=1（ ） 如总体 X 的 E(X)=,D(X)=,则 E( ,)=1=1()=1
5、=1=D( ;)=2六、正态总体分布常用统计量：1、卡方 ：X1,X2,.是来自总体 XN(0,1)的样本，=X1+X2+.+Xn, 则称 (n)为自由度 n 卡方分布；性质：E()=n , D()=2n ;卡方 的上分位点：给定 0 a(n)= a 的 a(n),已知 a,n,查 a()=表可 a(n)；2、t 分布：XN(0，1),Y(n),XY 互相独立，t= ,称自由度为 n 的 t 分布，记 tt(n); 图形和 N（0,1）类似；t 分布的上分位点：给定 0ta(n)=a 的 ,已知 a,n,查表可 ,t 分布()()= () ()的图形：3、F 分布： U(n1) ；V(n2)
6、，且 UV 互相独立，F= ; 是自由度为(n1,n2)的 F 分布，记 FF(n1,n2); 12F 分布的上分位点：给定 0Fa(n1,n2)= a 的 a,已知 a,n1,n2,a(1,2)()= a(1,2)查表可 ；a(1,2)F 分布性质： 1-a(n1,n2)=1/ a(n2,n1) ;1(2,1); 分位点有 正态总体 N(,) 的平均值和方差分布：E( , D( ; D(S)=;)= )=2性质 1：平均值 N(, ; 也是正 态 ， 2)2： (n-1); 卡方 分布；（ 1)S3： t(n-1) ;t 分布；4：XN(1, ), YN(2, ) ; S1,S2 是对应方差
7、；21 22 F(n1-1,n2-1) ;12/2221 /22 七、参数估计 1、最大似然估计法：离散型总体 X，其分布律 PX=x=p(x; , 待定参数，) 是Xi(i=1,2.n)是个体样本，xi(i=1,2,.n)是样本取样值，则 Xi(i=1,2.n)的联合分布律为： (既 Xi(i=1,2.n)的积事件） ；=1p(x;)似然函数 L( ; )=(1,2,)=1p(x;)把 如 L( =0 时，可解得看做自 变 量， )达到极大 值 ， 则()， 称最大似然估计值。= 为计算方便；可 =0 ，计算出 ，() =正态 X )的最大似然估计量为：(,2= , = ; 21=1（ ） 2、无偏估计：指估计量 的数学期望 E( )= ; 如 E( ,称 是总体均值 D(S)=，)= 样 本均 值 的无偏估 计 ；称样本方差是总体方差的无偏估计；其中，样本方差 S= ，分母是 n-1,不是 n!.11=1（ ） 3、区间估计：置信区间：给定 a(0 ta/2(n-1)=a/2, 查表得上分位点 ta/2(n- 1) ，由于 t 函数对称性，下分位点是- ta/2(n-1) ；- ta/2(n-1) ta/2(n-1) ; 既 得 的置信区间( * ta/2(n-1) /
