1、第八章 位移法,已有的知识：,（2）静定结构的内力分析和位移计算；,（1）结构组成分析；,（3）超静定结构的内力分析和位移计算,力法。,已解得如下单跨 超静定梁的结果:,8-1 概述,用力法计算，9 个基本未知量,如果用位移法计算, 1个基本未知量,力法计算太困难了！,1个什么样的基本未知量?,8-1 概述,位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未知量, 运用结点或截面的平衡条件建立位移法方程求出未知位移利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。,力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。,力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的
2、位移。,在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。,一、位移法的提出(Displacement Method),8-1 概述,位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。,结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。力 法：六个未知约束力。位移法：一个未知位移（B）。,8-1 概述,三次超静定图示刚架,力 法：三个未知约束力。,位移法：一个未知位移（B）。,8-1 概述,位移法的基本假定：,（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。,（
3、2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。,注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。,力法与位移法必须满足的条件：,1. 力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。,8-1 概述,将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：,（8-1）,二、位移法思路,B为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。,由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移B。,8-1 概述,考虑结点B的平衡条件,将（8-1）代入式（8-2）得,于是,（8-2）,由MB=0，,有,将B 回代入公式 (8-1
4、) 则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。,8-1 概述,位移法思路：,1、设定某些结点的位移为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；,2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调；,3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。,8-1 概述,提出问题：,1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求得),2、哪些结点的位移作为基本未知量。,3、如何确定基本未知量。,8-1 概述,本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单
5、跨梁的内力结果。,8-2 等截面直杆的转角位移方程,(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移AB（侧移）以使杆件顺时针转动为正,反之为负。,位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：,(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前.,8-2 等截面直杆的转角位移方程,取简支梁基本结构,1. 先求杆端位移引起的弯矩,作出 、 、 （略）,解出,8-2 等截面直杆的转角位移方程,其中：,称杆件的线刚度。,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equ
6、ation,荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可用力法求解，表示 ， 。,2. 荷载等外因引起的弯矩,由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：,8-2 等截面直杆的转角位移方程,两端固定梁,一端固定、一端铰支梁,一端固定、一端定向支承梁,仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。,用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:,仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。,8-2 等截面直杆的转角位移方程,1、两端固定的等截面直杆,记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为 和 ，杆端剪力分别为
7、 和 。,两端固定等截面直杆的转角位移方程。,（8-2）,杆端弯矩的一般公式：,8-2 等截面直杆的转角位移方程,杆端剪力的一般为,由两端固定等截面直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位移方程。,（8-3）,8-2 等截面直杆的转角位移方程,2、一端固定、一端铰支的等截面直杆,令式（8-2）的MBA=0,B 是A 和AB的函数，转角位移方程为,8-2 等截面直杆的转角位移方程,可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。,3、一端固定、一端定向的等截面直杆,令式（8-3）的FSBA=0,AB是A 和B的函
8、数，转角位移方程为,8-2 等截面直杆的转角位移方程,表8-1要求记忆的内容：,1,2,8-2 等截面直杆的转角位移方程,3,4,9、10、11、12、17 自己去画,8-2 等截面直杆的转角位移方程,结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。,注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。,一、位移法基本未知量的确定,铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。,1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,2. 确定独立结点线位移的方法 观察法、换铰法。,结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的
9、结点角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。,观察法,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,只需增加一根链杆， 1个独立的线位移,对于不易观察的结构用换铰法。,先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,位移法的基本未知量的数目为6个。,需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。,需增加两根链杆， 2个独立的线位移。,结构有四个刚结点四个结点角位移。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,思考
10、题：图示结构独立的结点线位移数目是几？,答：结点1和2的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为2。,默认状态: EI 不等于无穷大, EA 等于无穷大。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本未知量: 结点1的转角Z1和水平线位移Z2。,二、位移法的基本结构,基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所得到的没有结点位移(铰结点的角位移除外) 的单跨梁的组合体。,1. 基本结构的概念,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,2. 基本结构的确定,2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，不控制结点转动。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,（图b）,在确定基本结构的同时，也就确定了基本
11、未知量及其数目。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本未知量，基本结构确定举例,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。,基本未知量结点B 转角B ，设其为Z1 。在结点B 附加刚臂得基本结构。,原结构,基本结构,一、位移法的基本方程,1. 无侧移刚架,基本体系,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2) 人为给予结点B以转角B ,由于转角而引起附加约束的附加反力R11。,在基本结构上分别考虑：,基本体系,+,=,1) 荷
12、载引起的附加约束中的反力R1P。,由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（8-3）得,思考：基本体系与原结构有何不同？,原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附加约束反力矩。,思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构完全等价？,要使基本体系与原结构完全相等，必须要有R11+R1P=R1=0 即： R11+R1P=0 (-3）,R 的下标:第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第二个下标表示产生附加反力矩的原因。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,r11Z1+R1P=0
13、 （-4）,-求解基本未知量Z1的位移法方程。,求系数 r11,作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（ 图）。,i=EI/l 称为该杆的线刚度。,取结点B为隔离体，由力矩平衡条件,得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图)。,利用力矩平衡条件MB=0， 得,注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与 转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。,取结点B为隔离体,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数r11和自由项 R1P代入位移法方程式（-4）有,得,叠加法绘制结构的弯矩图。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2. 有侧移
14、刚架,图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2 。,(1) 基本未知量：,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,基本结构,(2) 基本方程 基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力R1=0、R2=0 。,基本体系,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得,（-5）,第一式： 反应了结点1的矩平衡条件。,设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩r12 ，附加链杆的约束力r22，则,8-4 位移法的典型方程及计算
15、步骤,将R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（-5）的得位移法典型方程(基本方程),（-6）,位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零,反映了原结构的静力平衡条件。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,rij表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=1 时，在附加约束i上产生的约束力（或约束反力矩）。,二、位移法典型方程,（-）,对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,由刚度系数rij 组成的矩阵称为结构刚度矩阵。,rij 反映结构的刚度，称为刚度系
16、数。rij = rji （由反力互等定理）。RiP 称为自由项，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束i上产生的约束反力或反力矩。,写成矩阵形式位移法方程也称刚度方程,（-）,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(3) 求典型方程中的系数和自由项。,1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图,取刚结点1为隔离体，由平衡条件得,继续求解,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,截取横梁12为隔离体，,取13杆为隔离体， 由M3=0, 有,得,由平衡条件得,注意：杆端剪力FS13可根据杆端弯矩求出。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2) 作基本结构单独在Z2=1作用时的弯矩图 图,取刚结点1
17、为隔离体，由平衡条件得,在绘出 图、 图后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,截取横梁12为隔离体,由平衡条件得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,3) 作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图MP图。,截取横梁12为隔离体,由平衡条件得,取刚结点1为隔离体，由平衡条件得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：,(1) 杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出 图、 图、 后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。,(2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，计算时可以互相校核，熟练后只需计算其
18、中之一。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数和自由项代入典型方程（-6），则,结果为正值，表明所设Z1、Z2的方向与实际方向一致。,(4) 解方程,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(5) 弯矩图,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,对计算结果的正确性，应进行校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形连续条件，位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。,注意:,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(6) 根据弯矩图可作出简力图和轴力图。,(7) 校核。,结点满足力矩平衡条件。,取横梁12为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以判断所得结果正确。,8-4 位移法的典型方
19、程及计算步骤,三、位移法典型方程计算结构的步骤,(1) 确定基本未知量即原结构的独立结点角位移和线位移;,(2) 建立基本结构在原结构上增设与基本未知量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得到位移法基本结构;,(3) 建立位移法典型方程;,(4) 计算典型方程中系数和自由项;,绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(6) 作内力图；根据 ，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。,(7) 校核。按平衡条件进行校核。,(5) 解算典型方程；求出作为基
20、本未知量的各结点位移Z1、Z2 、Zn 。,思考：位移法能用于计算静定结构吗？,能！凡是具有未知结点位移的结构, 不管是静定或是超静定, 都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序 ,进行大规模的工程计算。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,例8-1 用位移法计算图示的刚架的内力。EI=常数。,解：(1) 确定基本未知量，结点C的角位移Z1。,(2) 建立基本结构，得到基本体系。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(3) 建立位移法典型方程。,（4）计算系数和自由项。令 ，做出 图,基本结构由于支座A产生位移时，各杆端的弯矩：,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作出M图（转角位
21、移方程）,(5) 解算位移法方程，,(6) 作内力图。,按叠加法根据,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,解：(1) 确定基本未知量，结点B的角位移Z1。,例8-2 用位移法计算图示的连续梁的内力。EI=常数。,(2) 建立基本结构，得到基本体系。,(3) 建立位移法典型方程。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,（4）计算系数和自由项。令 ，做出 图,由隔离体结点B的力矩平衡条件MB=0 ，得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作出MP图（查表）,由MB=0,取结点B为隔离体，,将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程，,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(
22、6) 作内力图。,注意:杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画在杆件纤维受拉一侧。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,根据M图利用平衡条件求出各杆杆端剪力, 绘出剪力图。,取AB杆为隔离体,由 得,由 得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,取BC杆为隔离体，,由,得,由,得,绘出剪力图,(7)按平衡条校核,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,解： (1) 确定基本未知量结点D、E的角位移Z1和Z2 。,(2) 建立基本结构。,例8-3 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆的E为常数。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(3) 建立位移法典型方程,作出 图，分别取结点1和结点2为隔离体，由力
23、矩平衡条件得：,(4) 计算系数和自由项,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作出 图,分别取结点D和结点E为隔离体，由力矩平衡条件得：,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作MP图,分别取结点D和结点E为隔离体，由力矩平衡条件得：,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(5) 解算位移法方程,(6) 作弯矩图。 根据 按叠加法绘制最后弯矩图。,将系数和自由项代入位移法方程，得,(7) 校核 取结点D和结点E为隔离体。,易见满足结点的力矩平衡条件, 计算无误。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(2) 建立基本结构。,(3) 建立位移法典型方程。,刚结点B角位Z1，水平线位移Z2,解：(1)
24、基本未知量,例8-4 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆的E为常数。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(4) 计算系数和自由项。,令 ,作出 图,取横梁ABC为隔离体，,由剪力平衡条件得,由力矩平衡条件有,取结点B为隔离体,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,取结点B为隔离体，有,（反力互等定理）,作 图,取横梁ABC为隔离体，,有,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作MP图,取结点B为隔离体,取横梁ABC为隔离体，有,(5) 解算位移法方程,解之得,将系数和自由项代入位移法方程，得,有,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(6) 作弯矩图。,根据 按叠加法绘制最后弯矩图。,(7)
25、 校核。满足结点的力矩平衡条件，由此判定计算无误。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,解：(1) 确定基本未知量刚结点C角位移Z1，结点C和结点D有相同的水平线位移Z2 。,例8-5 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆的EI为常数。,(2) 建立基本体系,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,由力矩平衡条件MC =0，得,(3) 建立位移法典型方程。,(4) 计算系数和自由项。 作出 图。令 。,截取杆CD为隔离体，,由投影平衡条件Fx =0 ，得,取结点C为隔离体，,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作 图,由力矩平衡条件 MC =0 得,由投影平衡条件Fx =0 得,（满足r12=
26、r21）,截取杆CD为隔离体，,取结点C为隔离体，,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,作MP图,由投影平衡条件Fx =0 ，得,由力矩平衡条件MC =0 ，得,取结点C为隔离体,截取杆CD为隔离体,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数和自由项代入位移法方程，便有,(5) 解算位移法方程。,(7) 校核。,(6) 作弯矩图。根据 按叠加法绘制最后弯矩。,满足结点的力矩平衡条件，计算无误。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,解： (1) 确定基本未知量。 基本未知量为独立的结点线位移Z1 。,(2) 建立基本结构。,(3) 建立位移法典型方程。,例8-6 试用位移法计算图所示排架。,8-
27、4 位移法的典型方程及计算步骤,(4) 计算系数和自由项。,作 图，取横梁CD为隔离体,由X=0, 得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数r11和自由项 R1P代入位 移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,由MP图，有自由项,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(6) 作内力图。 根据,按叠加法绘制最后弯矩图,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，本题只有一个线位移未知量。,例8-7 试用位移法计算图示横梁刚度无穷大的刚架，绘弯矩图。E=常数。,(2) 建立基本体系。,解: (1) 确定基本未知量,思考：刚结点处为什么不产生转动？,8-4 位移法
28、的典型方程及计算步骤,(3) 建立位移法方程,(4) 计算系数和自由项,由 图得系数,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,荷载作用在横梁上不引起立柱 MP弯矩。,自由项,将系数r11和自由项R1P 代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(6) 用叠加法作内力图。,注意: 1. 横梁上的弯矩按平衡条件确定。2. 由弯矩图，利用平衡条件，可进一步绘出剪力图。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,例8-8用位移法作图示结构的弯矩图。,解:利用对称性取半个结构计算。,(1) 确定基本未知量,刚结点C角位移Z1,结点A水平线位移Z2，,(2) 建立基本体系。
29、,(3) 建立位移法典型方程。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(4) 计算系数和自由项 。 设i=EI/4m,由M1图、M2图可得,得,由隔离体对O点得力矩等于零的平衡条件,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数和自由项代入位移法方程式，联立求解得,按叠加原理作出弯矩图,注意:此题斜杆的定向支座相当于固定端。,无侧移刚架在结点作用下不引起杆件弯矩。体系相当与桁架结构。有 R1P=0,R2P=6.67kN,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,本章作业： 8-2， 8-4 8-5，8-6 8-7，8-10,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,利用转角位移方程, 考虑结点和截面的平衡直接建
30、立位移法典型方程步骤：,1.写出各杆的转角位移方程, 用杆端位移表示各杆件的杆端内力；,2.考虑各刚结点的力矩平衡条件及结构某一截面的投影平衡条件建立位移法方程。求出各结点位移；,3.将结点位移回代入转角位移方程而求出各杆的杆端弯矩。,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,例8-9 试用直接平衡条件计算图示刚架，并绘出M图。,解: (1) 确定基本未知量。,基本未知量是结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2。,(2) 利用转角位移方程，写出各杆端弯矩表达式。,由于杆端位移应等于结点位移 , 有,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,杆12对应一端固定、一端铰支的等截面直杆，且
31、杆端12的相对线位移为零，则由式（-）得,杆24也对应一端固定、一端铰支等截面直杆，且杆端4的转角为零，则由式（-）得,同理得,，,，,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,相应于结点1的角位移Z1，取结点1为隔离体, 建立力矩平衡方程,(a),(3) 建立位移法方程。,代入M13、M12的 表达式有,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,相应于结点1、2的水平线位移Z2，截取横梁为隔离体，建立水平投影方程,(b),由 ，,式(b)可写成,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,将有关杆端弯矩代入得,综合得位移法方程为,这与用基本结构方法得到的典型方程完全一致。,(4) 解联立方程，
32、得,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,(5) 求杆端弯矩。将求出的位移代回杆端弯矩表达式，可得各杆杆端弯矩分别为,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,奇数跨对称刚架、在对称荷载作用下，变形是对称分布的，在对称轴上的截面C 没有转角和水平位移，但可有竖向位移。半边结构C 处取为滑动支承端。,一、受对称荷载作用,8-6 对称性的利用,偶数跨对称刚架，在对称荷载作用下，变形是对称分布的，在对称轴上，截面C 没有转角和水平位移，柱CD 没有弯矩和剪力，在忽略杆CD 的轴向变形，截面C 竖向位移被忽略，半边结构C 端为固定支座。,在对称荷载作用下，取一半结构后，利用位移法分析比较方便。,8
33、-6 对称性的利用,奇数跨对称刚架，在反对称荷载作用下，变形是反对称分布的，在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。半边结构C 处取为链杆支座。,二、受反对称荷载作用,在反对称荷载作用下，取一半结构后，利用力法分析比较方便。,8-6 对称性的利用,偶数跨对称刚架，在反对称荷载作用下，变形是反对称分布的，在对称轴上的柱CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和。总弯矩、总剪力分别为分柱弯矩和剪力的两倍。总轴力为零。,8-6 对称性的利用,利用对称性取半边结构此半边结构，有一个结点E的角位移Z1
34、。,例8-10 试用位移法作图示刚架的弯矩图，各杆EI为常数。,(3) 计算系数和自由项。,(2) 建立位移法方程。,解 (1) 确定基本未知量。,8-6 对称性的利用,由MP图,令i=EI/l ，作出 图，,得自由项,得系数,(5) 解算位移法方程。,将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得,8-6 对称性的利用,根据 按叠加法可绘制半边结构的弯矩图，由对称性可绘出原结构的弯矩图。,(6) 作弯矩图。,(7) 校核。取M图中结点E为隔离体，验算知其满足平衡条件，可知计算无误。,8-6 对称性的利用,一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载。当对称结构上作用一般荷载时，可先将荷载分解为对称荷
35、载和反对称荷载两组，让它们分别作用于结构上。然后分别取半边结构用位移法进行汁算，最后将两组计算结果叠加绘出原结构的弯矩图。,8-6 对称性的利用,8-6 对称性的利用,混合法,8-6 对称性的利用,8-11 用混合法计算图示刚架。并作弯矩图。EI=常数。,8-6 对称性的利用,8-6 对称性的利用,8-6 对称性的利用,一、位移法的基本思路,位移法的基本思路是：先分别考虑原结构在荷载和结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分段叠加法绘制整个结构的弯矩图。,二、位移法方程及解题步骤,用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对象不同，建
36、立方程有两种方法转角位移方程法和基本体系法。,转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法典型方程的方法。,(1) 利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位移表示的各杆的杆端弯矩表达式；,步骤：,1. 转角位移方程法,第八章 位移法总结,(4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。,(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；,(3) 解方程求出结点位移；,2.基本体系法,基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。,(1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；
37、,(2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,n)；,(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移j =1下的弯矩图 及荷载作用下的弯矩图MP,步骤：,第八章 位移法总结,由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；,注意：一切计算都是在基本结构上进行!,三、几个值得注意的问题,(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。,1. 位移法的适用条件,(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；,(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；,(3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构；,(5) 按叠加原
38、理计算杆端弯矩。,(4) 解方程求j；,第八章 位移法总结,位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。,2、位移法基本未知量的选取原则,(1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点，B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。,第八章 位移法总结,与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本未知量，应根据具体情况区别对待。图a中AB杆刚度无穷大， A=B=0 ，因此基
39、本未知量只有一个线位移；而图b中有一个角位移未知量。,第八章 位移法总结,(2) 独立的结点线位移的确定较复杂，基本可以根据以下原则确定：, 附加链杆法。在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时应注意，自由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。, 铰化法。将刚架中的刚结点（包括固定端）变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移数。,第八章 位移法总结,如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同的水平线位移。图a中A、C 点的水平位移相同，结构只有一个位移未知量。
40、,第八章 位移法总结,3. 静定部分的处理,例如，图a中AB为静定部分，很容易画出该部分的弯矩图，将MBA=Fa 反作用于B点，再计算B点以右部分即可（图b）。,第八章 位移法总结,如图a所示，可把与悬臂部分相连的杆件BA看作是在A端铰接B端固定的单跨超静定梁（图b）。,4. 半铰悬臂的情况,第八章 位移法总结,图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一个B 。实际上B结点处，梁端与柱端转角均不同，C支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应为B、B“及C。,5. 当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定,第八章 位移法总结,如图，将BD杆分为BC和CD两根杆件，则本题有三个未知
41、量B，C ，C。,6. 一根直杆的刚度不同时, 位移基本未知量的确定,第八章 位移法总结,例：作图a所示结构弯矩图，各杆EI=常数。,解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所示。,第八章 位移法总结,再求基本部分：将附属部分的C点支座反力反作用于基本部分。,最后的M图如图d所示。,思考：为什么基本部分各杆的弯矩为零？,第八章 位移法总结,8. 斜刚架的计算。,例：作图a所示斜刚架的M图。,解：本题有两个未知量，B点的转角1和C点的侧移2，两个附加约束如图b所示，由M1图和MP图易得
42、,F1P=0, F2P=-F, k11=10i,计算 k12， k22:,第八章 位移法总结,(1) 求B和2 之间的几何关系。取BC杆研究（图e），发生侧移后，B点移至B1 ，C点移至C1。 B在BC杆上的水平投影为BB2= B cos45。,仅从水平方向观察可以看出BC杆由原来的位置平移至B2C1的位置，由于杆件不伸长，因此有BB2=CC1,即,又由于 BB3是BB1在垂直BC杆方向的投影，因此,B cos45= 2,BB3= B sin45= 2,当C点有水平向右的侧移2时，B点将沿垂直于AB杆的方向运动（图d），其中2和B之间具有一定的几何关系。,第八章 位移法总结,而AB杆两端的相对
43、侧移为BB3，因此,(2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ，因此在图f中,第八章 位移法总结,(3) 求 k21=k12，k22。由M2图易得,，能求出轴力FN。,求k22时取图f中的BC 杆为隔离体（图g），由,第八章 位移法总结,将系数带入位移法方程解得,最后弯矩图如图h所示。,本题在求解斜杆时应注意以下几点：,第八章 位移法总结,由于刚架是斜的，BC杆不仅发生平动，还有一定的转动，因此BC杆两端有相对线位移。,求FN时，对C点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。,计算M2时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此建立平衡方程时两者都要考虑。,第
44、八章 位移法总结,例：图a 所示结构，EI=常数，求结点K的转角。,四、对称性的利用,解：（1）作M图,此结构沿45角斜线mn 对称，过C点的45方向斜线mn, 为此结构的对称轴（图b），结点C的转角为零。取半个结构如图c所示。,第八章 位移法总结,再将图c荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图e(反对称）所示。由叠加得：,（上拉）,（上拉）,（左拉）,（右拉）,第八章 位移法总结,结构M图如图f所示。,第八章 位移法总结,2. 求K截面的转角,取图g所示的静定结构，在K处加单位力作 图。,（ ）,另：取图h所示的静定结构，图乘时则更简便。,第八章 位移法总结,例:用
45、位移法作图a 所示单跨梁弯矩图，k=i =EIl。,解：基本结构如图b所示，基本未知量为A端角位移。,五、弹性支撑超静定结构的计算,第八章 位移法总结,得,按叠加原理,作出弯矩图，如图d所示。,第八章 位移法总结,六、用位移法求超静定结构的位移,例：图a 所示单跨梁，左端发生角位移，求梁中点竖向位移（向下为正）。,解：直接画出MP图如图b所示，求C点的竖向位移时只需要在对应的静定结构中点加单位力（图c），用图乘法可得,第八章 位移法总结,例: 求图a 所示结构C点的竖向位移CV。,解: 该结构可以分解为正对称和反对称两部分（图b、图c）。,正对称部分,两者相加得,反对称部分CV=0，,第八章
46、位移法总结,七、力法与位移法的比较,1相同之处二者都要考虑力系的平衡条件和结构的变形协调条件。,2不同之处,从基本未知量看，力法取的是力多余未知力；位移法取的是位移独立的结点位移，因此求超静定结构的位移时，通常用位移法较方便。,从基本体系看,力法是去约束，位移法是加约束。,从基本方程看，力法是位移协调方程，方程的系数是位移，位移法是力系平衡方程，其系数是力。力法只能分析超静定结构，位移法则通用于分析静定和超静定结构。,第八章 位移法总结,八、思考题,2. 在用位移法分析刚架中若不考虑杆件的轴向变形时，是否相当于不存在轴向力?,1. 位移法的基本结构为超静定结构?,3. 在不考虑杆件的轴向变形时
47、，图a与图b的内力、位移是否相同?,第八章 位移法总结,3. 位移法的基本结构为超静定结构。( ),4. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。（ ）,1. 位移法仅适用于超静定结构，不能用于分析静定结构。( ),2. 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。( ),(,一、判断题,提示：与刚度无穷大的杆件相连的结点不取为角位移未知量。,自测题,6. 力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、温度变化等有关。） （ ）,5. 转动刚度（杆端劲度）S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关。（ ）,自测题,7. 图示刚架可利用力矩分配法求解。( ),8. 图a所示对称结构可简化为图b
48、所示结构来计算。( ),自测题,提示：只有一个线位移未知量。,二、选择填空,1. 力矩分配法计算的直接结果是（ )。,C,A. 多余未知力,B. 结点弯矩,C. 杆端弯矩,D. 结点角位移,2.下图中哪一种情况不能用力矩分配法计算。（ ),D,9. 图示结构的结点位移基本未知量为1( )。,提示：力矩分配法仅适用于解无线位移结构。,自测题,3、用力矩分配法计算结构时，任一结点角位移引起该结点某一杆端的弯矩应为该杆端的（ ）,A.最后弯矩；,B. 历次分配弯矩之和 ；,C. 历次分配弯矩和传递弯矩之和；,D. 固端弯矩与历次分配弯矩之和。,B,自测题,5. 用力矩分配法计算时，放松结点的顺序为( ),4. 在力矩分配法中，各杆端之最后弯矩值是（ ),
