1、1课时规范练 38 直线、平面平行的判定与性质基础巩固组1.如图,三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点 .求证: BD平面 FGH.2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA 是四棱锥 P-ABCD 的高, PA=AB=2,点 M,N,E 分别是PD,AD,CD 的中点 .(1)求证:平面 MNE平面 ACP;(2)求四面体 A-MBC 的体积 .23.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 .(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置
2、关系,并证明你的结论 .4.(2017 安徽淮南一模,文 19)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AC AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点, A1MC1是等腰三角形, D 为 CC1的中点, E 为 BC 上一点 .(1)若 BE=3EC,求证: DE平面 A1MC1;(2)若 AA1=1,求三棱锥 A-MA1C1的体积 .5.3(2017 福建南平一模,文 19)如图,在多面体 ABCDE 中,平面 ABE平面 ABCD, ABE 是等边三角形,四边形 ABCD 是直角梯形, AB AD,AB BC,AB=AD= BC=2,M 是 EC 的中点 .12(1)求证: DM平面
3、ABE;(2)求三棱锥 M-BDE 的体积 .导学号 24190931综合提升组6.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,点 E 在线段 B1C1上, B1E=3EC1,试探究:在 AC 上是否存在点 F,满足EF平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由 .7.4(2017 山西太原三模,文 19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ACC1A1底面 ABC, A1AC=60,AC=2AA1=4,点 D,E 分别是 AA1,BC 的中点 .(1)证明: DE平面 A1B1C;(2)若 AB=2, BAC=60,求三棱锥 A1-BDE 的体积
4、 .8.(2017 江西宜春二模,文 19)在四棱锥 P-ABCD 中, PA平面 ABCD, ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点M 恰好是 AC 中点,又 PA=AB=4, CDA=120,点 N 在线段 PB 上,且 PN= .2(1)求证: MN平面 PDC;(2)求点 C 到平面 PBD 的距离 .5导学号 24190932创新应用组9.(2017 吉林延边州模拟,文 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中, D 是 AA1的中点, E 为 BC 的中点 .(1)求证:直线 AE平面 BC1D;(2)若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱, AB=2,AA1=4,求点
5、E 到平面 BC1D 的距离 .导学号 24190933610.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上, AE=AF=4,现将 AEF 沿线段 EF 折起到 AEF 位置,使得 AC=2 .6(1)求五棱锥 A-BCDFE 的体积;(2)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 BM平面 AEF?若存在,求 AM;若不存在,请说明理由 .答案：1.证法一 连接 DG,CD,设 CD GF=M.连接 MH.在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DF GC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平行四边形 .则 M 为 CD
6、的中点 .又 H 为 BC 的中点,所以 HM BD,又 HM平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH.证法二 在三棱台 DEF-ABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点,可得 BH EF,BH=EF,所以四边形 HBEF 为平行四边形,可得 BE HF.在 ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点,所以 GH AB.又 GH HF=H,所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED,所以 BD平面 FGH.2.(1)证明 M ,N,E 分别是 PD,AD,CD 的中点, MN PA,又 MN平面 ACP,MN 平面 ACP,同理 ME平面
7、ACP,又 MN ME=M, 平面 MNE平面 ACP.(2)解 PA 是四棱锥 P-ABCD 的高,由 MN PA 知 MN 是三棱锥 M-ABC 的高,且 MN= PA=1,12V A-MBC=VM-ABC= S ABCMN137= 221= .1312 233.解 (1)点 F,G,H 的位置如图所示 .(2)平面 BEG平面 ACH.证明如下:因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC FG,BC=FG,又 FG EH,FG=EH,所以 BC EH,BC=EH,于是四边形 BCHE 为平行四边形 .所以 BE CH.又 CH平面 ACH,BE平面 ACH,所以 BE平面 ACH.同
8、理 BG平面 ACH.又 BE BG=B,所以平面 BEG平面 ACH.4.(1)证明 如图 1,取 BC 中点 N,连接 MN,C1N,M 是 AB 中点,MN AC A1C1,M ,N,C1,A1共面 .BE= 3EC,E 是 NC 的中点 .又 D 是 CC1的中点, DE NC1.DE 平面 MNC1A1,NC1平面 MNC1A1,DE 平面 A1MC1.(2)解 如图 2,当 AA1=1 时,则 AM=1,A1M= ,A1C1= .2 2 三棱锥 A-MA1C1的体积AMAA1A1C1= .VA-A1MC1=VC1-A1AM=1312 26图 18图 25.(1)证法一 取 BE 的
9、中点 O,连接 OA,OM,O ,M 分别为线段 BE,CE 的中点,OM= BC.12又 AD= BC,OM=AD ,12又 AD CB,OM CB,OM AD. 四边形 OMDA 为平行四边形,DM AO,又 AO平面 ABE,MD平面 ABE,DM 平面 ABE.证法二 取 BC 的中点 N,连接 DN,MN(图略),M ,N 分别为线段 CE,BC 的中点, MN BE,又 BE平面 ABE,MN平面 ABE,MN 平面 ABE,同理可证 DN平面 ABE,MN DN=N, 平面 DMN平面 ABE,又 DM平面 DMN,DM 平面 ABE.(2)解法一 平面 ABE平面 ABCD,A
10、B BC,BC平面 ABCD,BC 平面 ABE,OA 平面 ABE,BC AO,又 BE AO,BC BE=B,AO 平面 BCE,由(1)知 DM=AO= ,DM AO,3DM 平面 BCE,V M-BDE=VD-MBE= 22 .1312 3=233解法二 取 AB 的中点 G,连接 EG, ABE 是等边三角形,9EG AB, 平面 ABE平面 ABCD=AB,平面 ABE平面 ABCD,且 EG平面 ABE,EG 平面 ABCD,即 EG 为四棱锥 E-ABCD 的高,M 是 EC 的中点,M-BCD 的体积是 E-BCD 体积的一半, V M-BDE=VE-BDC-VM-BDC=
11、VE-BDC,12V M-BDE= 24 .121312 3=233即三棱锥 M-BDE 的体积为 .2336.解 方法一:当 AF=3FC 时, EF平面 A1ABB1.证明如下:在平面 A1B1C1内过点 E 作 EG A1C1交 A1B1于点 G,连接 AG.因为 B1E=3EC1,所以 EG= A1C1.34又因为 AF A1C1,且 AF= A1C1,所以 AF EG,所以四边形 AFEG 为平行四边形,所以 EF AG.34又因为 EF平面 A1ABB1,AG平面 A1ABB1,所以 EF平面 A1ABB1.方法二:当 AF=3FC 时, EF平面 A1ABB1.证明如下:在平面
12、BCC1B1内过点 E 作 EG BB1交 BC 于点 G,10因为 EG BB1,EG平面 A1ABB1,BB1平面 A1ABB1,所以 EG平面 A1ABB1.因为 B1E=3EC1,所以 BG=3GC,所以 FG AB.又因为 AB平面 A1ABB1,FG平面 A1ABB1,所以 FG平面 A1ABB1.又因为 EG平面 EFG,FG平面 EFG,EG FG=G,所以平面 EFG平面 A1ABB1.因为 EF平面 EFG,所以 EF平面 A1ABB1.7.(1)证明 如图,取 AC 的中点 F,连接 DF,EF,在 AA1C 中,点 D,F 分别是 AA1,AC 的中点, DF A1C,
13、同理,得 EF AB A1B1,DF EF=F,A1C A1B1=A1, 平面 DEF平面 A1B1C,又 DE平面 DEF,DE 平面 A1B1C.(2)解 过点 A1作 AC 的垂线,垂足为 H,由题知侧面 ACC1A1底面 ABC,A 1H底面 ABC,在 AA1C 中, A1AC=60,AC=2AA1=4,A 1H= ,3AB= 2, BAC=60,BC= 2 ,点 E 是 BC 的中点,3BE= ,S ABE= ABBE= 2 ,312 12 3= 3D 为 AA1的中点, -VD-ABE= A1HS ABE=VA1-BDE=VA1-ABE12VA1-ABE=1213.16 3 3=
14、128.(1)证明 在正三角形 ABC 中, BM=2 .3在 ACD 中, M 为 AC 中点, DM AC,AD=CD. ADC=120,DM= ,233 =3.BMMD11在等腰直角三角形 PAB 中, PA=AB=4,PB=4 ,2 =3, ,BNNP BNNP=BMMDMN PD.又 MN平面 PDC,PD平面 PDC,MN 平面 PDC.(2)解 设点 C 到平面 PBD 的距离为 h.由(1)可知, BD= ,PM= =2 ,833 16+4 5S PBD= 2 .12833 5=8153S BCD= 2= ,12833 833 由等体积可得 4= h,h= ,13833 138
15、153 455 点 C 到平面 PBD 的距离为 .4559.(1)证明 设 BC1的中点为 F,连接 EF,DF,则 EF 是 BCC1的中位线,根据已知得 EF DA,且 EF=DA, 四边形 ADFE 是平行四边形,AE DF,DF 平面 BDC1,AE平面 BDC1, 直线 AE平面 BDC1.(2)解 由(1)的结论可知直线 AE平面 BDC1, 点 E 到平面 BDC1的距离等于点 A 到平面 BDC1的距离,设为 h. ,VE-BC1D=VA-BC1D=VB-AC1D h= ,13S BC1D 13S AC1D3 2 h= 22 ,解得 h= .1312 5 3 1312 3 2
16、55 点 E 到平面 BDC1的距离为 .25510.解 (1)连接 AC,设 AC EF=H,连接 AH.12因为四边形 ABCD 是正方形, AE=AF=4,所以 H 是 EF 的中点,且 EF AH,EF CH.从而有 AH EF,CH EF,又 AH CH=H,所以 EF平面 AHC,且 EF平面 ABCD,从而平面 AHC平面 ABCD.过点 A作 AO 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O,则 AO平面 ABCD.因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4,故 AH=2 ,CH=4 ,2 2所以 cos AHC=AH2+CH2-AC22AHCH= .8+32-2422242=12所以 HO=AHcos AHC= ,则 AO= .2 6所以五棱锥 A-BCDFE 的体积V= .13(62-1244) 6=2863(2)线段 AC 上存在点 M,使得 BM平面 AEF,此时 AM= .62证明如下:连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD 过点 O.AM= AC,HO= HC,62=14 14所以 OM AH.又 OM平面 AEF,AH平面 AEF,所以 OM平面 AEF.又 BD EF,BD平面 AEF,EF平面 AEF,所以 BD平面 AEF.又 BD OM=O,所以平面 MBD平面 AEF,因为 BM平面 MBD,所以 BM平面 AEF.
