1、湖南省五市十校教研教改共同体 2018 届高三 12 月联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）20Mx1NxyMNA B C D1x12x2x0x2.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）izizzA1 B C Di1i3.已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）,xyxyaA B C D1sinxy22lg1lxy3xy4.世界数学名题“ 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果31x它是奇数，我们就把它乘
2、 3 再加上 1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的 ，则输出5N（ ）iA3 B5 C6 D75.已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，若 ，则 为（ nSna396S、 、 83a25a）A3 B6 C. 8 D96.若实数 满足不等式组 ，若目标函数 的最大值为 1，则实数 的,xy10xya2zaxya值是（ ）A B1 C. D3212+17.图一是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而
3、得到.图二是第 1 代“勾股树” ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）nA B C. Dn2n1n1n8.设双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线 上， 是坐2:10,xyCab,0FcMN、 CO标原点，若四边行为平行四边形，且四边形 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ONb）A B2 C. D32239.将余弦函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） ，再将cosfx 3所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若关于 的方程2gxx在 内有两个不同的解，则实数 的
4、取值范围为（ ）fxgm0, mA B C. D1,21,2,1,210. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C. D456811. 定义在实数集 上的函数 ，满足 ，当 时，Rfx44fxffx0,2，则函数 的零点个数为（ ）31xf2log1gA31 B32 C. 63 D6412. 在 中， ， ，点 是 所在平面内一点，则当C39A2ACBPABC取得最小值时， （ ）22PPA B C. D24462第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将
5、答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 41x3x14已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面.mn、 、若 ，则 ；/,如果 ，则 ；,/nn若 ，且 ，则 ；,m/m若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面.n、 n其中为真命题的是 15过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点（其中 点在第2:0CypxFlMN、一象限） ，若 ，则直线 的斜率为 3MNFl16设数列 的前 项积是 ，且 ， .若 ，nanT*112,2nnTn13a1nnba则数列 的前 项和 为 nbnS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.
6、已知向量 ，且函数 .si,31,cosaxbxfxab（1）若 ，求 的值；btn2（2）在 中， 且 ，求 面积的最大值.ABC0fBAC18.如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .ABCDEF 60DABFAFC（1）求证： 平面 ；ACBDEF（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.19. “一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说， “一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；
7、各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月中随机抽取甲、乙两个景点 10 天的游客数，统计得到茎叶图如下：（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数超过 130 人的天数为 ，求概率；2P（2）现从上图 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天） ，记其中游客数不低于 125 且不高于 135 人的天数为 ，求 的分布列和数学期望.20.已知椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的2:10xyCab C长
8、轴长为直径的圆与直线 相切.2（1）求椭圆 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于 轴的动直线与椭圆 相交于 两点，探究在 轴上是xCAB、 x否存在定点 ，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 的坐标；若不存在，请说EAB E明理由.21. 已知函数 .ln,xfeaxaR（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；af0（2）若函数 在定义域上为单调增函数.fx求 最大整数值； a证明： .2341lnlnlnne请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，倾斜角为 .在以原点为极点
9、， 轴正半轴为极l0,1P6x轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .C4sin（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.AB、 1PAB23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 .1fx（1）求不等式 的解集 ；2fxA（2）证明：对于任意的 ，都有 成立.ab、 fabffb试卷答案一、选择题1-5: AADCB 6-10: BDCAB 11、12：BD二、填空题13. 4 14. 15. 16.212n三、解答题17. （1）由题意知， ，sin3cos0fxabx ， .tan3x2ttan1（2）由题意知， ，sin3cos2in3f
10、xbxx ，又 ， .sin03fB B在 中， .AC2214acaca ，当且仅当 时“ ”成立，1sin3BS2c故 的面积的最大值为 . 18. （1）设 与 相交于点 ，连接 ，ACDOF四边形 为菱形， ，且 为 中点，BABAC ， ,FF又 ， 平面 .OE（2）连接 ，四边形 为菱形，且 ， 为等边三角形，DB60DBFBF 为 中点， ，又 ， 平面 .BFOACOACD 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示，,A xyz设 ，四边形 为菱形， ， . 2ABABCD60AB2,3DAC 为等边三角形， .DF3OF ，3,0,1,0, .,3,3,10ACCB设平面
11、的法向量为 ，则 ，BF,nxyz0Fnxzy取 ，得 .1x,31设直线 与平面 所成角为 ，AC则 .0sinco,5AFn19. （1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过 130 人的概率为 .42105任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生， 则随机变量 服从二项分布 ，2,5B: 201PP.043214 43513556CC（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4天，所以在景点甲中被选出的概率为 ，在景点乙中被选出的概率为 .1025由题意知 的所有可能的取值为 0、1、2，则 ； ；9327015P3921+5
12、0P.2 的分布列为 .2710525E20. （1）由题意知， ，解得 ，220bca21abc则椭圆 的方程为 .C1xy（2）当直线的斜率存在时，设直线 ,10ykx联立 ，得 ，21xyk2224,80kxk .224,11ABABxxk假设 轴上存在定点 ，使得 为定值，0,EEAB 200,ABABABExyxyxxy2001ABBABk2 201kxxk.22004k要使 为定值，则 的值与 无关， ，EABEABk220041xx解得 ，此时 为定值，定点为 .054x7165,当直线的斜率不存在时，也满足条件.21. （1）当 时， ， ，aln1xfex01f又 ， ，ln
13、1xfe0f则所求切线方程为 ，即 .yx1y（2）由题意知，/(x) =，一 ln(x + a)若函数 在定义域上为单调增函数，则/ 恒成立.fx 0fx先证明 .设 ，则 ，1e1xge1ge则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，gx,00, ，即 .1xe同理可证 ， , .lnx2lnx1ln2xex当 时， 恒成立.2a0f当 时， ，即 不恒成立. 31lnfaln0xfea综上所述， 的最大整数值为 2. a由知， ，令 ，l2xe1tx ， .1lnlnttt1lntte由此可知，当 时， .当 时， ，1t0l2et213l当 时， ， ，当 时， .3t324lne tn
14、1lnne累加得 .23012141lllnne 又 ，01211nn eeee .234lnlnlnne22.（1）直线 的参数方程为 ( 为参数）.l 30cos6211inxtty ， ， ，即 ，4sin24sin24xy224yx故曲线 的直角坐标方程为 .C2y（2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，l C230t显然 , , ，021,3ltt12PAB，2121143PABttt .PAB23.（1） ， .21fx120x当 时，不等式可化为 ，解得 ， ；x1xx当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解；12120x当 时，不等式可化为 ，解得 ， .x1x综上所述， 或 .1Ax（2） ， 11fafbababa要证 成立，只需证 ，fff即证 ，即证 ,即证 .221ab2210ab210ab由（1）知， 或 ， ， ，1AxA、 , 成立.20ab综上所述，对于任意的 都有 成立.abA、 fabffb
