1、豫北豫南名校 2017-2018学年度精英联赛高三数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）|3MxZ|1xNeMNA B C D 00,0,12.若复数满足 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）(1)2iziA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）ab3|1a|2b|abA B C D 1 324.已知双曲线过点 ，渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ）(2,)3yxA B C D 27
2、16xy213x21y231yx5.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 1尺，重 4斤；尾部的 1尺，重 2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 ”则下列说法错误的是（ ）A该金锤中间一尺重 3斤B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3倍C该金锤的重量为 15斤D该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5斤 6.已知 ，则 （ ）1cos()63xcos()3xA B C D 32 1237.已知函数 若关于 的方程 有且只有 3个不同的|lg,0()2xfx()10fxaf根，则实数 的值为（ ）a
3、A B C D 21238.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A B C D 437557259.已知实数 ， 满足 则 的最大值为（ ）xy430,1,xy2xyA B C D 12983103410.如图，正方体 绕其体对角线 旋转 之后与其自身重合，则 的ACDB值可以是（ ）A B C D 2334563511.过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，与抛物线准线交于 点，28yxFlABC若 是 的中点，则 （ ）BC|AA8 B9 C10 D12 12.设 ， ， 且 ，abcR0x1.5 3 5 6 7 8 9 14 27lgx2ab1acb2ac3()a2
4、()ba3()b若表中的对数值恰有两个是错误的，则 的值为（ ）A B C D l213lg2141lg276lg7第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.定积分 2214xd14.在数列 中， ， ，且 （ ） ，则na285a12nna*N的值是 1210|15.若关于 的不等式 在 上的解集为 ，则实数 的取值范围为 x2|xRa16.在 中，若 ，则 的最大值为 ABCsin(2)sinABtaB三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 bc23(
5、)4bac（1）求 的值；cosB（2）若 ，且 、 、 成等差数列，求 的面积3bsinAiBsinCABC18.如图，三棱柱 的所有棱长均为 2，平面 平面 ，1C1， 为 的中点160ABP（1）证明： ；1ABP（2）若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值MC1MBA19.某理科考生参加自主招生面试，从 7道题中（4 道理科题 3道文科题）不放回地依次任取3道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为 ，答23对文科题的概率均为 ，若每题答对得 10分，否则得零分现该生已抽到三
6、道题（两理一14文） ，求其所得总分 的分布列与数学期望 X()EX20.如图，曲线 由上半椭圆 ： （ ， ）和部分抛物线 ：C121yxab0ayC（ ）连接而成， 与 的公共点为 ， ，其中 的离心率为 21yx0y1C2AB132（1）求 ， 的值；ab（2）过点 的直线 与 ， 分别交于点 ， （均异于点 ， ） ，是否存在直线 ，Bl1C2PQABl使得以 为直径的圆恰好过 点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由PQAl21.已知函数 （ ， ）有两个不同的零点 ， ()lnfxabR1x2（1）求 的最值；（2）证明： 12xa请考生在 22、23 两题中任选一题作答
7、，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数） ，在以 原点为极点，xOyC3cos,inxyO轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 x l2cos()14（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；Cl（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 两点的(1,0)Ml1lCABMAB距离之积23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ） 1()2|fxax0a（1）当 时，解不等式 ；a()4f（2）求函数 的最小值()gxx豫北豫南名校 2017-2018 学年度精英联赛高三
8、数学（理）试题答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：DACBDCBAB二、填空题13. 14.50 15. 或 16.3421a33三、解答题17.解：（1）由 ，可得 ，23()4acbc2254cbc ，即 2258acb5os8B（2） ， ，13由余弦定理，得 ，222513()44bacac又 、 、 的值成等差数列，由正弦定理，得 ，sinAiBsinC213acb ，解得 13524c12由 ，得 ，cos839sin8 的面积 ABC139si12284ABCSac18.（1）证明：取 中点 ，设 与 交于点 ，连接 ， ，依题意得D1ABOPCD，/OP因为平面 平
9、面 ，平面 平面 ， ，ABC1C1AB所以 平面 ，即 平面 ，所以 ，DOP1ABP又因为四边形 为菱形，所以 ，又 ，11O所以 平面 ，1AB1OP而 平面 ，所以 1AB（2）解：（1）结合已知得： ， ， ，1OPA1以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 ，因为侧面 是边长为 2的菱形，Oxyz1B且 ，所以 ， ， ， ，160AB(,0)(,0)1(,0)B(3,0)，3(,)2C所以 ， ， ，(,)4M1(3,0)B137(,)42BM设平面 的法向量为 ，1B1,nxyz则由 ，得 令 ，可取 ，10,n307,42xyz1x1(,3)n而平面 的一个法向量 ，由图可知
10、二面角 为锐角，AB2(,1)n 1MBA因为 ，1122|3|cos,n所以二面角 的余弦值为 1MBA1319.解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 ， “该考生第二次和第三次均抽到A文科题”为事件 ，则 ， ，B4()7PA4()35B所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为()1(|)5PAB（2） 的可能取值为 0,10,20,30，X则 ， ，(0)3412122313(0)()46PXC， 2()349PC41(09PX所以 的分布列为：X0123012364919所以， 的数学期望 X95()6EX20.解：（1）在 ， 的方程中，令
11、，可得 ，且 ， 是上半椭圆1C20y1b(,0)A(1,)B的左、右顶点，设 半焦距为 ，由 及 可得 ，1c32a21cb2a ， 2ab（2）由（1）知，上半椭圆 的方程为 ，1C21(0)4yx易知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，lx k代入 的方程，整理得： （*）1C22()0kxk设点 的坐标为 ，P(,)Pxy直线 过点 ，点 的坐标为 ，lB248(,)k同理，由 得点 的坐标为 2(1)0,ykxQ2(1,)kk依题意可知 ， ， AP2,4)k(,A ， ，即 ，Q02(20kk ， ，解得 ，0k4(2)0k83k经检验， 符合题意，故直线 的方程为
12、 83l(1)yx21.解：（1） ， 有两个不同的零点，1()fxa()fx 在 内必不单调，故 ，()f0,0此时 ，解得 ，xxa 在 上单增， 上单减，()f1,(,) ，无最小值max()ln1fb（2）由题知 两式相减得 ，即 ，12l0,x122ln()0xa12lnxa故要证 ，即证 ，即证 ，12xa2122()lxx12122 1lxx不妨设 ，令 ，则只需证 ，12x1(0,)t2lntt设 ，则 ，2()lngtt21l1()l tgtt设 ，则 ， 在 上单减，1lhtt2 0htt()ht0, ， 在 上单增，()0t()gt0, ，即 在 时恒成立，原不等式得证1g21lnt(0,)22.解：（1）曲线 化为普通方程为 ，C23xy由 ，得 ，2cos()14cosin所以直线 的直角坐标方程为 l 20xy（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，1l 21,xty代入 化简得 ，23xy20t设 ， 两点所对应的参数分别为 ， ，则 ，AB1t212t 12|Mt23.解：（1） ，原不等式为 ，a|4x 或 或,214,x1,2,1,2,x 或 或 ，53x原不等式的解集为 5(,)3（2）由题意得 1(2|)(|)gxfxaxxa，|a4|a当且仅当 ，即 ，且 时， 取最小值 12|22x()gx42
