1、2018 届高三 3.0 模数学(理)试题(A)第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 中所含元素的个数1,2345A,BxyAxyAB为( )A B C D368102.若函数 为纯虚数,则 的值为( )21Zai27aiA B C D1 i3.已知命题 , ,那么命题 为( ):pxR2xepA , B , 2R2xeC , D ,xxex4.已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线 的离心率为2:10,yab2,0C,则双曲线 的渐近线方程为( )2A B C. Dyx2
2、yx7yx7yx5.已知实数 , 满足约束条件 ,则 的最小值为( )302xy21zA B C. D12216.设 , ,且 ,则( )0,0,sintacoA B C. D322327.给出 个数: , , , , , ,要计算这 个数的和.如图给出了该问题的0147160程序框图,那么框图中判断框处和执行框处可以分别填入( )A ?和 B ?和 30i1pi31i1piC. ?和 D ?和 108.已知函数 ,则满足 的 的取值范围是( )1xxfe1fxexA B C. D3x021xe9.如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该1多面体的表面积为
3、( )A B C. D735725135212510. 的展开式中, 的系数为( )6xyzxyzA B C. D010404011.过抛物线 焦点的直线 与抛物线交于 , 两点,与圆 交于 ,24xlAB221xyrC两点,若有三条直线满足 ,则 的取值范围为( )DACBrA B C. D3,22,31,23,212.已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则对任意fxR0x1xfxe,函数 的零点个数至多有( )mRFfxmA 个 B 个 C. 个 D 个3469第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.某校高一年级 个学部共有 名学生
4、,编号为: , , ,从 到380012801在第一学部,从 到 在第二学部, 到 在第三学部.采用系统抽样的方法270271465478从中抽取 名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为 ,则第二学部被抽取的人数为 114.已知向量 , , ,则 2,a10b52ab15.已知平面 截球 的球面得圆 ,过圆心 的平面 与 的夹角为 ,且平面 截OM6球 的球面得圆 ,已知球 的半径为 ,圆 的面积为 ,则圆 的半径为 N9N16.已知 的三个内角 , , 的对边分别为 , , ,若ABCABCabc,且 ,则 的取值范围为 sinsinacb3c2三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分
5、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知等比数列 满足 , ,且 是 , 的等差中项.na1n2348a3a24a(1)求数列 的通项公式;(2)若 , ,对任意正整数 , 恒12lognnb12nSb n10nSm成立,试求 的取值范围.m18. 在等腰直角 中, , 分别为 , 的中点, ,将 沿 折EBCADEBC2ADEBCAD起,使得二面角 为 .60(1)作出平面 和平面 的交线 ,并说明理由;l(2)二面角 的余弦值.19. 某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲
6、,乙两队运动员本次测试的成绩(单位: ,且均为整数) ,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但cm已知所有运动员中成绩在 以上(包括 )的只有两个人,且均在甲队.规定:跳190190cm高成绩在 以上(包括 )定义为“优秀”.18585(1)求甲,乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 (单位: )内的运动人a6,170cm数 ;b(2)在甲,乙两队所有成绩在 以上的运动员中随机选取 人,已知至少有 人成绩为180cm21“优秀” ,求两人成绩均“优秀”的概率;(3)在甲,乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 人参加省中学生运动会正式比赛,求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列
7、及期望.X20. 已知椭圆 的左右顶点分别为 , ,右焦点 的坐标为2:10xyEab1A2F,点 坐标为 ,且直线 轴,过点 作直线与椭圆 交于 , 两3,0P,1PAxPEAB点( , 在第一象限且点 在点 的上方) ,直线 与 交于点 ,连接 .ABBO2Q1(1)求椭圆 的方程;E(2)设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,问: 的斜率乘积是否为定值,若1Q1k1A2k12是求出该定值,若不是,说明理由.21.设函数 ,其中 .23xfxaeaR() 讨论函数 极值点的个数,并说明理由;()若 , 成立,求 的取值范围.0xf请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做
8、的第一题记分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,曲线 过点 ,其参数方程为 ( 为参数,xOy1C,Pa21xaty) ,以 为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为aR 2C.2cos30(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;1C2C(2)求已知曲线 和曲线 交于 , 两点,且 ,求实数 的值.AB3PABa23.选修 4-5:不等式选讲已知函数 23fxx(1)求不等式 的解集;15(2)若 对于 恒成立,求 的取值范围.2fxaxRa试卷答案一、选择题1-5: DDCDA 6-10:BDAAB 11、12:BA二、填空题13. 14.
9、 15. 16.345133,2三、解答题17.解:(1)设等比数列 的首项为 ,公比为 .依题意,有 ,代na1q324aa入 ,得 .因此2348a3240a即有 解得 ,或120,q1q1,3又数列 单调递增,则 故 .na12,an(2) , ,12lognnb 2312nnS,34 1nnS-,得 .23111222n nnn , 对任意正整数 恒成立,10Sma110nm 对任意正整数 恒成立,即 恒成立.12nnn2n , ,即 的取值范围是12n1m,118.【解析】 (1)在面 内过点 作 的平行线 即为所求.EADl证明:因为 ,而 在面 外, 在面 内,所以, 面 ./l
10、lBCABCD/lABCD同理, 面 ,于是 在面 上,从而 即为平面 和平面 的交线.lE(2)由题意可得 为二面角 的平面角,所以, .60过点 作 的垂线,垂足为 ,则 面 .EABFE以 为原点,为 轴正方向,为单位长度建立空间直角坐标系;Fx则 , , , , ,1,0,40C1,0A1,20D,3E从而 , ,2D43E设面 的一个法向量为 ,B10,nxyz则由 得 ,所以 ,不妨取 .10nCE0024303xyz1,3n由 面 知平面 的法向量不妨设为FADB2,n于是, ,121215cos,n所以二面角 的余弦值为 .ECB519.【解析】 (1)由频率直方图可知:成绩在
11、以 以上的运动员的频率为190cm, 0.5.0全体运动馆总人数 (人) ,240.5a成绩位于 中运动员的频率为 ,人数为 ,16,7.310.40.312由茎叶图可知:甲队成绩在 的运动员有 名, (人) ;16,79b(2)由频率直方图可得: 以上运动员总数为: ,180cm0.2.5104由茎叶图可得,甲乙队 以上人数恰好 人,1所以乙在这部分数据不缺失,且优秀的人数为 人,6设事件 为“至少有 人成绩优秀” ,事件 为“两人成绩均优秀” ,A1B , ,241035CP26103CPA ;BA(3) 可取的值为 , , ,X012 , , ,2465CP142685CPX204615
12、CPX 的分布列为:X0 1 2P585 .413E20.(1)设椭圆方程为 ,由题意可知: ,所以 ,210xyab23ac1b所以椭圆的方程为24(2)是定值,定值为 .1设 , ,因为直线 过点 ,设直线 的方程为:1,Axy2,ByAB2,PAB,m联立 222244480xymymy所以 , ,21218因为点 在直线 上,所以可设 ,QOP,Qt又 在直线 上,所以:Q2A1122yyttxx所以 1212 1212 2 211yxyykxxm221124ym21.() ,设 ,则 ,23xfae0xet231fxgtat当 时, ,函数 在 为增函数,无极值点.0a0fR当 时,
13、 ,298a若 时 , ,函数 在 为增函数,无极值点.fxfx若 时 ,设 的两个不相等的正实数根 , ,且 ,89a0231gtat1t212t则 2 231xxxfeae所以当 , , 单调递增;当 ,,lnt0ff12ln,0xtfx单调递减;fx当 , , 单调递增.因此此时函数 有两个极值点;2l,tfxfxfx同理当 时 的两个不相等的实数根 , ,且 ,0a231gtat1t2120tt当 , , 单调递减,当 , , 单2ln,xt0fxfx,lnxfxfx调递增;所以函数只有一个极值点.综上可知当 时 的无极值点;当 时 有一个极值点;当 时,809afx0afx89a的有
14、两个极值点.fx()对于 ,1xet由()知当 时函数 在 上为增函数,由 ,所以 成立.809afxR0f0fx若 ,设 的两个不相等的正实数根 , ,89a231gtt1t2且 , , .则若 , 成立,则要求12t1t12234ttxf,即 解得 .此时 在 为增函数, , 成30gaafx0,0xf立若当 时022233312xxxxxfxeeaeaea令 , 显然不恒成立.1xte10tat综上所述, 的取值范围是 .022.解:(1) 的参数方程 ,消参得普通方程为 ,1C21xty 10xya的极坐标方程化为 即 ;222cos3s023y(2)将曲线 的参数方程标准化为 ( 为
15、参数, )1C21xatyaR代入曲线 得 ,由 ,得2:3yx260ta24160,13a设 , 对应的参数为 , ,由题意得 即 或 ,AB1t2123t12t123t当 时, ,解得 (舍) ,123t126ta48当 时, 解得 ,12t12123tt712综上: .712a23.解:(1) ,341,2235,xfx当 时,有 ,解得 ,即 ;32x415x4x32x当 时, 恒成立,即 ;312当 时,有 ,解得 ,即 .1xx7x7x综上,解集为 .74,2(2)由 恒成立得 恒成立,fxax223axx ,当且仅当 ,即33530是等号成立;312x又因为 ,当且仅当 时等号成立,412x又因为 ,所以 ,所以 . 3,12219354x194a