1、控制理论基础(I),交通大学精品课程系列,课程负责人：丁 汉 教授,顾问：王显正 教授,2004.4.30,第三章 频率特性,本章主要内容: 3.I 3.2 3.3 3.4,频率特性的基本概念 频率特性图 系统开环频率特性 系统闭环频率特性,Part 3.1 频率特性的基本概念,频率特性的定义 频率特性的求取 频率特性的物理意义,3.1.1 3.1.2 3.1.3,3.1.1 频率特性的定义,在正弦信号作用下，系统输入量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。,稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,F()=稳态输出量与输入量的变化,幅频特性,相频特性,实频
2、特性,虚频特性,Why 频率特性?,联系系统的参数和结构,通过实验直接求取数学模型,适用于非线性系统的分析,增加2个极点,扫频试验，无需理论建模。,无需对非线性系统拉氏变换（非常微分方程，无法进行拉氏变换）。,一般用这两种方法,3.1.2 频率特性的求取,已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比； 根椐传递函数来求取； 通过实验测得。,12 3,3.1.2.1 传递函数求取法,设,对于稳定的系统, -s1,s2,sn 其有负实部,部分分式展开为,频率特性与传递函数的关系: F()= G（j)=G(s)|s=j,幅频特性,相频特性,实频特性,虚频特性,3.1.
3、3 频率特性的物理意义,频率特性与传递函数的关系: G（j)=G(s)|s=j,频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。,()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。,幅值A()随着频率升高而衰减,对于低频信号,对于高频信号,!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与 外界因素无关。,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。,尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。,应用频率特性分析系统性能的基本思路
4、：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。,设f(x)在(-,+)内绝对可积,则f(x),频率特性与传递函数的关系: G（j)=G(s)|s=j,Part 3.2 频率特性图,频率特性图的定义 典型环节的频率特性图 Nyquist/Bode,3.2.1 3.2.2,放大环节 积分环节 纯微分环节 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节 延滞环节,对数幅相频率特性 (Nichols),对数频率特性 (Bode),频
5、率对数分度 幅值/相角线性分度,幅相频率特性 极坐标图 (Nyquist),以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L() ()图,虚频图/实频图,频率线性分度 幅值/相角线性分度,3.2.1 频率特性图的定义,3.2.1.1 幅相频率特性图-Nyquist图,尼奎斯特图 Nyquist,极坐标图在极坐标复平面上画出值由零变化到无穷大时的G(j )矢量，把矢端边成曲线。,实虚频图不同频率时和实频特性和虚频特性。,3.2.1.1 对数频率特性图-Bode图,频率比,dec,oct,幅值相乘变为相加，简化作图。,拓宽图形所能表示的频率范围,波德图 (Bode),对数幅频+对数相频,(dB), =0不
6、可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 只标注的自然对数值。,通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益用()简记对数相频特性。,About Bode图,放大环节幅相频率特性,放大环节对数频率特性,K1时，分贝数为正； K1时，分贝数为负。,幅频曲线升高或降低相频曲线不变,改变K,积分环节幅相频率特性,积分环节对数频率特性,纯微分环节幅相频率特性,纯微分环节对数频率特性,惯性环节幅相频率特性,惯性环节对数频率特性,转角频率,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,! 低通滤波特性,渐近
7、线误差,转角频率处： 低于渐近线3dB 低于或高于转角频率一倍频程处： 低于渐近线1dB,一阶微分环节幅相频率特性,一阶微分环节对数频率特性,！高频放大 ！抑制噪声能力的下降,惯性环节,一阶微分,频率特性互为倒数时： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。,振荡环节幅相频率特性,当较小时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr对应的频率为谐振频率r。,!振荡环节出现谐振的条件为 0.707,振荡环节对数频率特性,不考虑,低频渐近线为0dB的水平线,高频渐近线斜率为-40dB/dec,转折频率,渐近线误差,n个积分/微分环节串联,二阶微分环节幅相频率
8、特性,二阶微分环节对数频率特性,二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数 二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB 线对称 相频特性曲线关于零度线对称,延滞环节幅相频率特性,延滞环节对数频率特性,延滞环节与惯性环节,不同,近似,Part 3.3 系统开环频率特性,系统开环 Nyquist图,系统开环 Bode图,系统开环 Nyquist图及绘制,例1,例2,例3,Nyquist图的一般形状,增加零极点,0型系统,I型系统,II型系统,增加非零极点,系统开环 Bode图,系统开环 Bode图的绘制,系统开环 Nichols图,系统开环 Nyquist图,将开环传递函数表示成若干典型环节
9、的串联形式：,幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,求A(0)、 (0)；A()、 ()；,补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A()、 () 的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。,绘制：,已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Nyquist图。,已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。,Nyquist图与实轴相交时,已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。,0型系统（v = 0）,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,I型系统（v = 1）,只包含惯性环节的I型系
10、统Nyquist图,II型系统（v = 2）,只包含惯性环节的II型系统Nyquist图,开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。,增加零极点,! (0) -=90 ( )-=90,增加零极点,! (0) -=90 ( ) -=90,增加非零极点,! ( ) -=90,增加非零极点,! ( ) -=90,增加非零极点,! ( ) -=90,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为(nm)90。,将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；,幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特 性之代数和。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,
11、系统开环 Bode图,已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Bode图。,系统开环包括了五个典型环节,2=2 rad/s,4=0.5 rad/s,5=10 rad/s,Bode图特点,最低频段的斜率取决于积分环节的数目v斜率为20v dB/dec；,注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg ,当1 rad/s时，L()=20lgK；,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。,对惯性环节，- 20dB/dec ； 振
12、荡环节， - 40dB/dec； 一阶微分环节，+20dB/dec ； 二阶微分环节，+40dB/dec。,单回路开环系统Bode图的绘制,将开环传递函数表示为典型环节的串联；,确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；,计算20lgK，在1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。,向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；,对惯性环节，- 20dB/dec 振荡环节， - 40dB/dec 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/d
13、ec,对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。,渐近线,转角频率,对数幅相频率特性（ Nichols),对数幅相频率特性（ Nichols),Part 3.4 系统闭环频率特性,闭环频率特性的求取,解析法-时域求解；,几何法-由开环系统频率特性得到。,等M-N圆,Nichols图,化简法-化成一个传递函数表达；,非单位反馈,单位反馈,系统频率特性参数,等N圆（等相位轨迹）,等M圆（等幅值轨迹）,单位反馈系统等M-N圆法,例1,例2,等M园,对称于实轴 对称于直线U=-0.5,M1时， 圆心位于直线U=-0.5右侧 M减小,半径变小,圆心靠近(0,0j)。
14、,M=1时， 平行虚轴通过(-0.5,0j)。,M1时， 圆心位于直线U=-0.5左侧； M增大,半径变小,圆心靠近(-1,0j)。,等N园,给定的值，等N轨迹是一段圆弧。,N圆的周期性,M-N园求取闭环特性,Nichols图,两组坐标系：直角坐标系开环L() 和 ()；曲线坐标系闭环等M曲线和等N曲线。等M曲线和等N曲线每360重复一次。对称于 =-180。等M曲线汇集(0dB,-180 )。等N曲线自(0dB,-180 )向外放射。,闭环频率特性与增益的关系,Nichols图求取闭环特性,低频段,高频段,非单位反馈系统的转换,1.画出开环传递函数G（j)H（ j）的Nichols图；,2.由开环Nichols图得到对应的单位反馈的闭环系统的Bode图；,3.在Bode图上画出H(j)的曲线；,4.在Bode图上，由2。求出的幅值和相角分别减支H(j)的幅值和相角。,谐振频率:r 相对谐振峰值： 截止频率b： 带宽： 0 b对应的频率范围,常用频域性能指标,零频幅值M0 M0 =M()| =0=M(0),！复现能力：精度/频率/带宽,与稳态误差相关！,零频值 M(0),This is End of Chapter 3,
