1、新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 1 -新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材高等数学引言我们根据考研数学的考试大纲和历年真题，归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为（甲）内容要点和（乙）典型例题两大部分来体现。又分为基础班、强化班和冲刺班三个阶段。这次基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其内容安排如下：第一章 函数、极限、连续（全体）第二章 一元函数微分学（全体）第三章 一元函数积分学（全体）常微分方程（全体）第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）第六章 多元函数微分学（全体） 第七章 多元函数积分学71 二重积分（全体）72 三重积分73 曲线积分74
2、 曲面积分（数学一）第八章 无穷级数 （数学一和数学三）参考书：新东方考研数学直通车第 I 卷高等数学汪诚义编 北京新东方大愚文化传播有限公司出版（2005 年 4 月）考研数学基础班高等数学第一章 函数、极限、连续11 函数甲 内容要点新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 2 -一函数的概念1函数的定义设 是一个非空的实数集，如果有一个对应规则 ，对每一个 ，都能对应唯一DfDx的一个实数 ，则这个对应规则 称为定义在 上的一个函数，记以 ，称 为yfDfyx函数的自变量， 为函数的因变量或函数值， 称为函数的定义域，并把实数集xfZ,称为函数的值域2分段函数如果自变量在
3、定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如 152xxfy是一个分段函数，它有两个分段点， 和 ，它们两侧的函数表达式不同，1x因此讨论函数 在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右xfy极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。又 ，0,xxf，都是分段函数,1sgnxf3隐函数形如 的函数称为显函数，由方程 确定 称为隐函数，有xfy0,yxFxy些隐函数可以化为显函数，例如 ， ， （不一定一个单值函数） ，12yx2而有些隐函数则不能化为显函
4、数。4反函数新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 3 -如果 可以解出 是一个函数（单值）则称它为 的反函数，记以xfyyxf。有时也用 表示，例如 解出 ， 而fx1xf10,2xy0解出02y0yx二基本初等函数1常值函数 （常数）cy2幂函数 （ 常数）x3指数函数 ( , 常数)a01（ ，无理数）xey782.4对数函数 （ 常数）xyalog1,0常用对数 l10自然对数 xyenl5三角函数 ； ； ；xysinxcosxytan； ； 。tecs6反三角函数 ； ；arir； 。xyctnxayot新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 4
5、 -关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用； ； ； ； 等等。就需要关于xxarctnlimxarctnlixe10limx10lilni0， ， 的图象很清晰。yteyl三复合函数与初等函数1复合函数设 定义域ufyU定义域 ，值域xgX*如果 ，则 是定义在 上的一个复合函数。其中 称为中间变量。*xgfyXu2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数（1） xfynlim（2） txt,2用变上、下限积分表示的函数新东方在线 / www.TOL 网络
6、课堂电子教材系列- 5 -（1） ，其中 连续，则dtfyx0tfxfdy（2） ，其中 ， 可导， 连续，x21x12t则 ffd2五函数的几种性质1有界性：设函数 在 内有定义，若存在正数 ，使 都有 则称xfyXMXxMxf在 上是有界的。xf2奇偶性：设区间 关于原点对称，若对 ，都有 ，则称 在 上是奇XXxxffxfX函数；若对 ，都有 ，则称 在 上是偶函数、奇函数的图象关于xffx原点对称；偶函数图象关于 轴对称。y3单调性：设 在 上有定义，若对任意 ， ， 都有xfXXx1221x则称 在 上是单调增加的 单调减少的；若对任意2121xfff， ， 都有 则称 在 上是单调
7、x2121xffxfX不减单调不增。（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）4周期性：设 在 上有定义，如果存在常数 ，使得任意 ， ，都有xfX0TXxT，则称 是周期函数，称 为 的周期。Txf f由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 6 -乙 典型例题一求函数的定义域例 1求函数 的定义域210lnxxf 例 2求 的定义域5lxy例 3设 的定义域为 ，求 的定义域xf0,a12xf例 4设 求 的定义域，并求 。42 ,01xggf 23f二求函数的值域例 1
8、求 的值域31xey例 2求 的值域，并求它的反函数2,15,23xxfy三求复合函数有关表达式1已知 和 ，求xfgxf例 1已知 ，求1f 1f新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 7 -例 2设 ，求21xf 重 复 合nxffn例 3设 ，求,04f f2已知 和 ，求xgfxf例 1设 ，求eex2f例 2已知 ，且 ，求xxf01fxf例 3设 ，求fsinf例 4已知 ，求证xxf2co3ixxf2cos3s3已知 和 ，求fgf例已知 ， ，求x1lnxfg解： 实际上为求反函数问题fx，xggflxe1xe4有关复合函数方程例设 ，求xfxf231f四有关
9、四种性质例 1设 ，则下列结论正确的是 xfF（A）若 为奇函数，则 为偶函数。fF新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 8 -（B）若 为偶函数，则 为奇函数。xfxF（C）若 为周期函数，则 为周期函数。（D）若 为单调函数，则 为单调函数。xfx解：（B）不成立，反例 ，2f13F（C）不成立，反例 ，cosxfxsin（D）不成立，反例 ， 在 内22,（A）成立。证明： ， 为奇函数xdtfFx0f xutfF0xu为偶函数。x例 2求 dxxeIx 1ln1 251.2 极限甲 内容要点一极限的概念与基本性质1极限的定义（1） （称数列 收敛于 ）Axnlimn
10、xA任给 ，存在正整数 ，当 时，就有 。0Nxn（2） xfxli任给 ，存在正整 ，当 时，就有 。XxAxf（3） Afxlim新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 9 -任给 ，存在正数 ，当 时，就有0XxAxf（4） Axflim任给 ，存在正数 ，当 时，就有xxf（5） xf0li任给 ，存在正数 ，当 时，就有0xAxf（6） （用 表示 在 的右极限值）Axf0lim0ff0任给 ，存在正数 ，当 时，就有0xxf（7） （用 表示 在 的左极限值）xf0li0ff0任给 ，存在正数 ，当 时，就有0xAxf其中 称为 在 处右极限值， 称为 在 处左极
11、限值。0xfxf0f 0有时我们用 表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极Alim限皆具有这种性质，有时我们把 ，把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的nfx特例，以便于讨论。2极限的基本性质定理 1 （极限的唯一性）设 ， ，则AxflimBxfliA定理 2 （极限的不等式性质）设 ， g若 变化一定以后，总有 ，则xxgf反之， ，则 变化一定以后，有BAxxf（注：当 ， 情形也称为极限的保号性）0g定理 3 （极限的局部有界性）设 Axflim则当 变化一定以后， 是有界的。xxf定理 4设 ，AflimBgli新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列-
12、10 -则（1） BAxgflim（2） （3） xfli（4） BAglim0（5） xfli二无穷小1无穷小定义若 ，则称 为无穷小0limxfxf（注：无穷小与 的变化过程有关， ，当 时， 为无穷小，而01limxx1或其它时， 不是无穷小）0xx12无穷大定义任给 ，当 变化一定以后，总有 ，则称 为无穷大。0MxMxfxf记以 flim3无穷小与无穷大的关系在 的同一个变化过程中x若 为无穷大，则 为无穷小，fxf1若 为无穷小，且 ，则 为无穷大xf 0fxf14无穷小与极限的关系其中xAfxf lim0limx新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 11 -5
13、两个无穷小的比较设 ， ，且0limxf0lixglxgflim（1） ，称 是比 高阶的无穷小，记以lf xgf0称 是比 低阶的无穷小。xgf（2） ，称 与 是同阶无穷小。0lf（3） ，称 与 是等价无穷小，记以1xxgf6常见的等价无穷小当 时0x， ， ，sinxtaxrcsinxarctn， ， ，21coe1lx1 7无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小三求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则 1单调有界数列极限一定存在（1）若 （ 为正整数）又 （ 为正整数）nx mxn则 存在，且Anlim（2）若 （ 为正整数）又 （ 为正整数）nx1 Mx
14、n则 存在，且nli准则 2 （夹逼定理）设 xhfxg若 ， ，则Axglimhli Aflim新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 12 -3两个重要公式公式 1 1sinlm0x公式 2 ； ；enli euu1lievv10lim4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和数学二）当 时，0x nx xe0!21121253 !sinnnnnxxx 2242 0!1conn132ln12125 0arct nnxxxnx0!211 6洛必达法则法则 1 （ 型）设（1） ，00limxf0lixg（2） 变化过程中， ， 皆存在
15、xg（3） （或 ）Agfli则 （或 ）xflim新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 13 -（注：如果 不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 不存在且不xgflimxgflim是无穷大量情形）法则 2 （ 型）设（1） ，xflixgli（2） 变化过程中， ， 皆存在xg（3） （或 ）Agflim则 （或 ）xfli7利用导数定义求极限基本公式： 如果存在000limxfxffx 8利用定积分定义求极限基本公式 如果存在101li dxfnkfn9其它综合方法10求极限的反问题有关方法乙 典型例题一通过各种基本技巧化简后直接求出极限例 1设 ， 求0manb 01
16、1li bxxbaannmmx 例 2设 ， ，当0a1r1linnar新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 14 -解： raarnnn 1limlim1特例（1）求 nn 3232li 解：例 2 中取 ， ，可知原式ar 5321（2） 34213limnn例 3求 nn2li1例 4设 是正整数，求l nkl1lim特例：（1） li1nk（2） 432lim1nk例 5设 是正整数，求l nkl12li特例：（ ）1lim12nk（ ）2l 451li 212nk例 6设 为常数，求0d 221limndndn新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列
17、- 15 -例 7求下列各极限（1） （2）xx1lim0 xx3301lim（3） （4）xli330 xxli22二用两个重要公式例 1求 xxsinlm例 2求 xxcos1intali0解一：原式 xxx sin1taitli0 2tlim2cos1tanlim200 xx解二：原式 xxx cos1intalisintli 00 21tanli210x例 3求 nnxcos4cosm例 4求下列极限（1） （2）102lixx xx10lim（3） （4）xx1lim13lixx例 5求下列极限新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 16 -（1） （2）xxcot
18、anlim14limx（3） （4）xx2ct0sli xx3cs02oli三用夹逼定理求极限例 1求 nn216543lim解：令 ，x 12543ny则 ，ny0于是 122x由夹逼定理可知 ，于是原极限为 。0limn0例 2求下列极限nk1li四用洛必达法则求极限1 “ ”型和“ ”型0例 1求 nn1silm3解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑3030 sinlimsil xxx 等 价 无 穷 小 代 换61sinlco1lm020xx原式6新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 17 -例 2求 102limxe2 “ ”型 和“ ”型。例 1求 1li0x
19、xe例 2求 220cossinlmxx例 3求 xlil20例 4设 ， 常数，求abxxba1lim3 “ ”型， “ ”型和“ ”型100这类都是 形式，可化为xgflimxfgelnlim而 都是“ ”型，按 2 的情形处理n0例 1求 xx2si0l例 2求 （前面已用重要公式的方法）xx2cot0slim解：令 ，xy2ctxycoslntl2202000 slimtaiosnlinli xxxx （“ ”型）= ，12ta10limeyx例 3求xxcosinl新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 18 -五用无穷小重要性质和等价无穷小代换例 1求 1sin1
20、3lim22n解： ，013lili 3232 nnn，1si2根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式 0例 2求 xex5sin2l3arctolim0例 3求 xx1lncosil20解：这个极限虽是“ ”型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则。原式 231lncossi3co1lim0 xx例 4设 为正整数，求nxnnxcos1li20六求分段函数的极限例 1求下列函数在分段点处的极限（1） 0 ,cos1 ,2sinxxf新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 19 -（2） 1 ,2 ,2xxg解：（1） 2sinlmsinl00xf x
21、x21licos1lim02020f xxli0fx（2） 21lili121xxg23lim021x因为 ，故 不存在。0gxg1li例 2求 xexsin1li410七求极限的反问题例 1设 求 和31sinlm21xbax ab例 2设 ，求 和 。1sili020xx dtab1.3 连续甲 内容要点新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 20 -一函数连续的概念1函数在点 处连续0x定义 1设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量fy0x（初值为 ）趋近于 时，相应的函数改变量 也趋近于 ，即x0 y0lim0x或 0li0ffx则称函数 在点 处连续
22、。fy0函数 在点 处连续也可作如下定义。x定义 2设函数 在点 的某个领域内有定义，如果当 时，函数fy0x 0x的极限值存在，且等于 处的函数值 ，即xf 0f0limxx则称函数 在点 处连续，此时有xfy0000limli xffxx并且有 00 lili0xxff即如果函数在点 处连续，则在点 处可以交换极限号和函数号的顺序。0定义 3设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处左连续；fy00limfx xf0如果 ，则称函数 在点 处右连续。00limxfxf由上述定义 2 可知，如果函数 在点 处连续，则 在 处既左连续也右xy0xf0连续。2函数在区间内（上）连续的定义如果函数 在开
23、区间 内的每一点都连续，则称 在 内连续。xfyba, xfba,如果 在开区间内连续，在区间端点 右连续，在区间端点 左连续，则称a新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 21 -在闭区间 上连续。xfba,二函数的间断点及其分类1函数的间断点的定义如果函数 在点 不连续，则称 为 的间断点。xfy00xf2函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设 是函数 的间断点。如果 在间断点 处的左、右极限都存在，则称0xxfyxf0是 的第一类间断点。f第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见
24、的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如 是 的可去间断点，是 的跳跃间断点，是0xxfsinxf的无穷间断点，是 的振荡间断点。f1f1i三初等函数的连续性1在区间 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零） ，在区间 仍是连续的。I I2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四闭区间上连续函数的性质在闭区间 上连续的函数 ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。ba,xf定理 1 （有界定理）如果函数 在闭区间 上连续，则 必在
25、 上有界。ba,xfba,新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 22 -定理 2 （最大值和最小值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则在这个区间xfba,上一定存在最大值 和最小值 。Mm其中最大值 和最小值 的定义如下：定义 设 是区间 上某点 处的函数值，如果对于区间 上的任xf0ba,0xba,一点 ，总有 ，则称 为函数 在 上的最大值。同样可以定义最小值fba,。m定理 3 （介值定理）如果函数 在闭区间 上连续，且其最大值和最小值分别xf,为 和 ，则对于介于 和 之间的任何实数 ，在 上至少存在一个 ，使得MmMcbaf推论：如果函数 在闭区间 上连续，且 与
26、 异号，则在 内至少xfba,ffba,存在一个点 ，使得0f这个推论也称为零点定理思考题：什么情况下能保证推论中的 是唯一的？乙 典型例题一讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。例 1讨论函数 0,1sin,1xexfx在点 处的连续性。0x解： 因 0limli01xxeff新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 23 -01sinlmli00xxff即有 ，故 在点 连续。0fffxf例 2讨论
27、函数0 ,1 ,2 ,1lnxxxf在点 的连续性。0x二已知函数的连续性求未知参数例 1设 在 处连续0 sinxkxf求常数例 2如果函数0 1sin sixqxpf在 处连续，求常数 和 。0p例 3设 在 内连续12xbaxxf ,求常数 和ab解： ， ，f1af新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 24 -由 的连续性可知 得1x21ba3a由 的连续性可知 得 1所以 ,2ba三求函数的间断点并确定其类型例 1求函数 的间断点，并确定其类型13xf例 2求函数 的间断点，并确定其类型。42xf例 3求函数 的间断点，并确定其类型。xftan解：这是初等函数，在
28、它的定义区间内函数都是连续的，此函数在 及0x无定义，所以它的间断点是,210kx和 ,kx下面确定它们的类型。当 时，由于 ，所以 是第一类间断点，且是可去间断点。01tanlim0x0x当 时，由于 ，,2kx,210tanlim2kxkx所以 是第二类间断点，且是无穷间断点。,10例 4求函数0,1arctn,01xexfx的间断点，并确定其类型。四求连续函数的极限新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 25 -分两种情形：1如果 是初等函数， 是 定义区间内的一点，xf0xf则 ，00limlixx即只需在函数的表达式中把自变量 换成它的极限值 就行了。x0x例 1求
29、 xsin2li解： 是初等函数， 是它的定义区间内的一点，所以iln2x3lnsilnsi2limxx2如果 ，而函数 在点 连续，agx0li ufya则 xffx 00li例 2求 xsnarctlim解：因 ，而函数 在点 连续，所以1li0x uyarctn14tsilarctsnarctli 00 xx例 3求 x12lim0例 4设 在 处连续，且 ，求xf232f421lim2xfx五利用介值定理的推论判断方程的根例 1证明五次代数方程 在区间 内至少有一个根。015x2,例 2证明 至少有一个不超过 3 的实根2sinx新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列-
30、 26 -例 3设 在 上连续，且 ， ，xfba,afbf第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分甲 内容要点一导数与微分概念1导数的定义设函数 在点 的某邻域内有定义，自变量 在 处有增量 ，相应地函数xfy0 x0x增量 。如果极限 存在，则称00ffffyxx 000limli此极限值为函数 在 处的导数（也称微商）xf0记作 ，或 ， ， 等。0f0y0xdy0xdf并称函数 在点 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数 在点xf xfy处不可导。0x导数定义的另一等价形式，令 ， ，x00x则 000limxfxfx我们也引进单侧导数概念。右导数： xffxff xx 0000 l
31、imli0左导数： ffff xx 0000 lili0新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 27 -则有在点 处可导 在点 处左、右导数皆存在且相等。xf0xf02导数的几何意义与物理意义如果函数 在点 处导数 存在，则在几何上 表示曲线xfy00xf 0xf在点 处的切线的斜率。xfy0,切线方程： 0xfxfy法线方程： 0001ff0f设物体作直线运动时，路程 与时间 的函数关系为 ，如果 存在，则SttfS0tf表示物体在时刻 时的瞬时速度。0tf 0t3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数 在点 处可导，则 在点 处一定连续，反之不然，即函数xfy0xf0在点
32、 处连续，却不一定在点 处可导。xfy0 0例如， ，在 处连续，却不可导。xf04微分的定义设函数 在点 处有增量 时，如果函数的增量xfy0x有下面的表达式0fxAy其中 为与 无关， 是 时比 高阶的无穷小。0x00xx则称 在 处可微，并把 中的主要线性部分 称为 在 处的微分，f yA0xf0记以 或0xdy0xf新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 28 -我们定义自变量的微分 就是 。dx5微分的几何意义是曲线 在点 处相应于自变量增量 的纵坐标00xfxfyxfy0x的增量，微分 是曲线 在点 处切线的纵坐标相应0f 0dyf00,xfM的增量（见图） 。6
33、可微与可导的关系在 处可微 在 处可导。xf0xf0且 dfAxdy00一般地， 则fxfy所以导数 也称为微商，就是微分之商的含义。dxf7高阶导数的概念如果函数 的导数 在点 处仍是可导的，xfyxfy0新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 29 -则把 在点 处的导数称为 在点 处的二阶导数，xfy0xfy0记以 ，或 ，或 等，0x0f02xd也称 在点 处二阶可导。f0如果 的 阶导数的导数，称为 的 阶导数记以 ， ，xfy1nxfynnyxf等，这时也称 是 阶可导。ndxf二导数与微分计算1导数与微分表0c 0cd（ 实常数） （ 实常数）1x dxx1 cossin dcosinxi xdi2sectan d2sectanxx2ot xd2ottansec dtansec新东方在线 / www.TOL 网络课堂电子教材系列- 30 -xxcotscs xdxdcotscaaln1log1,0aalnlog1,0xl dx1laln1,0axln1,0xe dex21arcsinx x21arcsin2arcosx dxxd2arcos21rtnx x21rtn2cota ddac2ot221lnxxxax221ln22l axax dxxd22l 2四则运算法则xgfxgf fxgfxgf2 0xg
