1、2018 年天津市南开中学高三模拟考试数学（文）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 等于（ ）21iA B C D 4i4i2i2i2.命题：“ ”的否定形式是（ ）20,xA B 2,20,xC D00,xx00,3.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 值为（ ）akA1 B2 C3 D44.已知 ，则下列关系正确的是（ ）12225log5l,log,xyzA B C Dzyxxyzyzx5.在长为 的线段 上任取一点 .现作一矩形，邻边长分别等于线段 的长，则1
2、cmA ,ACB该矩形面积大于 的概率为（ ）20A B C D 6323456.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物210,xyab2,3线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）247yxA B C D18218xy2134xy2143xy7.设 ，若函数 在区间 上有三个零点， 则实数 的取值范围lnfxgfa0, a是（ ）A B C D 10,eln3,eln3,ln31,e8.已知函数 ，将 图象向右平移 个单位长度得1si1cos22fxaxaxf到函数 的图象，若对任意 ，都有 成立，则 的值为（ ）gR4gaA B1 C D21第卷（共 110 分）二、填空题（
3、每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9.已知集合 ，则 0,133,MNxaMN10.若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是 ,xy254yzxy11.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为 12.设函数 是定义在 上的以 5 为周期的奇函数，若 ，则 的fxR2321,affa取值范围是 13.如图，已知正六边形 的边长为 ，点 为 的中点，则 ABCDEFaGCDAEGF14.若二次函数 的值域为 ，则 的最小值为 24fxaxc0,2244ac三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15
4、. 在 中，角 的对边分别为 .已知 的面积为 ，周长为ABC, ,abcABC3sinA，且 .421sin2sinA（1）求 及 的值；aco（2）求 的值.s3A16.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段： 后得到如图的频率分布40,5,6,901直方图.（1）求图中实数 的值.a（2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校髙一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数；（3）若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两40,59,10名学生的数学成绩之差的绝对值不大于
5、 10 的概率.17.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ，PABCDAB60DABPABCD，点 分别为 和 中点.1PDA,EFP（1）求证：直线 平面 ；/AFPEC（2）求证： 面 ；CBD（3）求 与平面 所成角的正弦值.PE18.设数列 的首项 ，前 项和 满足关系式 .na1nnS*10,2nntStNn（1）求证：数列 是等比数列；（2）设数列 的公比为 ，作数列 ，使 ，求数列naftnb*11, ,2nnbf的通项公式；nb（3）数列 满足条件（2），求和： .n 12342121nnbbb19.已知函数 .21lfxax（1）求函数 的单调区间；f（2）若函数
6、存在极小值点 ，且 ，求实数 的取值范4gxfx0x2010gxaa围.20.已知椭圆 的两个焦点分别为 和 ，过点210yab1,Fc2(),c的直线与椭圆相交与 两点，且 .2,0aEc,AB1212/,AB（1）求椭圆的离心率；（2）求直线 的斜率；AB（3）设点 与点 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 的外接圆C2FB,0Hmn1AFC上，且 ，求椭圆方程.53H试卷答案一、选择题1-5: CCBAC 6-8: DDD 二、填空题9. 10. 11. 12. 0,31,7362,20,313. 14. 24a2三、解答题15. 解：（1） 1sin3iSbcA6bc 2bca421
7、a4a（2）22 1os 3bcbcA in3 ，427si,cos99A467cos2318A1in3iSb6b 2ca412a4a2 21os 3bcbA in3 ，427si,cos99A467cos2318A16.解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1所以 解得0.5.0120.5( ).a0.3a（2）成绩不低于 60 分的频率为 11.85由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 人640.854（3）成绩在 分数段内的人数为 人，分别记为40,50.2,AB成绩在 分数段内的人数为 人，分别记为9.
8、14.1,CDEF若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本40,59.0事件有：,ABCDAEFBCDEBFCDEFDEF共 15 种，如果两名学生的数学成绩都在 分数段内或都在 分数段内，那么这两名学生40,590.1的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 分数段内，另一个成绩在 分数段内，那么这两名学生的数学40,5.成绩之差的绝对值一定大于 10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 ，则事件从包含的基本事本M有：共 7 种，所以所求概率为 .,ABCDEFDEF715P17.解：（1）证明：作 交 于 ./ACP 面 点
9、 为 中点， .P1/2MCD ,/2AEB/FME 为平行四边形， /A 平面 ， 平面 ，PCPC直线 平面 ./AFE（2） 底面 是菱形，QABCDACBD平面 , 平面 ,QPDABCPDABCPD又 面（3）过 作 交 于 ,连结E/HH 面 为 在平面 内的射影， 为 与平面 所成角PBPEBEPHPDB73,2421sin4 为 与平面 所成角的正弦值为 .EHD18.（1）因为 1,2nntSt12,3ntSt，得 ，所以 . - 10nna*1,3natNn又由 ，得 .又因为 ，所以 .21ttt2t121at所以 是一个首项为 1，公比为 的等比数列.nat（2）由 ，
10、得tf.*112,nnnbfbN所以 是一个首项为 1，公差为 1 的等差数列.于是 . nb（3）由 ，可知 和 是首项分别为 1 和 2，公差均为 2 的 等差数列，于是nb21nb2n，2n所以 12342121nnbbb2542nbb2.n19.解（1）因为函数 ，21lnfxax所以其定义域为 0,所以 2axafx当 时， ，函数 在区间 上单调递减.00ff0,当 时，axaf当 时， ，函数 在区间 上单调递减，x0ffx,a当 时， ，函数 在区间 上单调递增.0afxf0,综上可知，当 时，函数 的单调递减区间为 ；当 时，函数 的单调0f ,0afx递增区间为 ，单调递减
11、区间为 .,a,a（2）因为 214ln4gxfxx所以 20aa因为函数 存在极小值点，gx所以 在 上存在两个零点 ，且0,12,x120x即方程 的两个根为 ，且 ，24xa,所以 ，解得 .1260xa40a则 2124xg当 或 时， ，当 时， ，10x20g12x0gx所以函数 的单调递减区间为 与 ，单调递增区间为 ，所以 为函g,12,x1x数 的极小值点 .x0x由 ，得 .204a24a由于 等价于201gx200ln4xa由 ，得 ，所以 .204a204xal因为 ，所以有 ，即 .40a0ln1x01xe因为 ，所以 ，解得 .02x24a241ae所以实数 的取值
12、范围为 .a2,0e20.解：（1）由 且 ，得 ，从而 12/FAB12FB21EFBA21ac整理，得 ，故离心率 .23ac3cea（2）由（1）得 ，所以椭圆的方程可写为22b2236xyc设直线 的方程为 ，即 .ABykxc3ykxc由已知设 ，则它们的坐标满足方程组12,x 2236ykxc消去 整理，得 .y222318760kxckc依题意， ，得 .22480c3而 1223kx76c由题设知，点 为线段 的中点，所以BAE123x联立解得22199,33kckcxx将 代入中，解得 .12,x（3）由（2）可知 .120,cx不妨取 ，得 ，由已知得 .3k,A0,2Cc线段 的垂直平分线 的方程为 ，直线 与 轴的交点 是1AFlyxlx,02c外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 .1AFC 22ccxy直线 的方程为 ，于是点 的坐标满足方程组2B2yxc,Hmn，由 ，解得294ccmn0m532cn由 解得22533cc29c故椭圆方程为 .2178xy
