1、中原名校 20172018 学年第五次质量考评高三数学（理）试题第卷 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 .所以 .故选 A.2. 已知 ，若 是纯虚数，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依题意， ,故 ，解得 .故 在复平面内所对应的点为 ，位于第二象限，故选 B.3. 已知等比数列 的前项和为，且 ，则数列 的公比为 （ ）A.
2、 3 B. C. D. 2【答案】D【解析】设等比数列 的公比为 q,因为 ， 则 .则 .故 .故选 D.4. 已知抛物线 的焦点为，准线为，且过点 ，在抛物线上，若点 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】依题意， ，则抛物线 ,过点 M 作 ，垂足为 ，过点作 ，垂足为，则 ，故选 B.5. 运行该程序框图，若输出的的值为 16，则判断框中不可能填（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】运行该程序，第一次， ,第二次， ，第三次， ，第四次， ，第五次， ，第六次， ，第七次， ，第八次， ，观察可知，若判断框中为 。 ，则第四次结束，输出
3、的值为 16，满足；若判断框中为 。 ，则第四次结束，输出的值为 16，满足；若判断框中为 。 ，则第八次结束，输出的值为 16，满足；若判断框中为 。 ，则第七次结束，输出的值为 4，不满足；故选 D.6. 已知网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意，该几何体由一个圆锥以及一个四棱柱拼接而成，圆锥的侧面积为 ，棱柱的表面积为，故所求几何体的表面积为 .故选 B.7. 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. 2 B. 8 C. 11 D. 15【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图
4、，阴影部分所示，而 ，表示阴影区域内的点(x,y)到直线 的距离的 倍，观察可知，C(2,1)到直线 的距离最大，故 的最大值为 .故选 C.8. 已知函数 ，若在区间 上存在 ，使得，则的取值不可能为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】作出函数 的图象如图所示，故问题转化为 的图象的交点个数问题，观察可知，的取值为 1，2，3，故选 D.9. 已知三棱锥 中 ， 是边长为 的正三角形，则三棱锥 的外接球半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 平面 ，以 为一条侧棱， 为底面把三棱锥 补成一个直棱柱，则该直棱柱的外接球就是三棱锥 的外接球，且
5、该直棱柱上下底面的外接圆圆心的中点就是球心，因为底面外接圆的半径 ，所以三棱锥 的外接球半径为.故选 A.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距
6、离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.10. 老师在四个不同的盒子里面放了 4 张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第 1 个盒子里面放的是梅花，第 3 个盒子里面放的是方片；小红说：第 2 个盒子里面饭的是梅花，第 3 个盒子里放的是黑桃；小张说：第 4 个盒子里面放的是黑桃，第 2 个盒子里面放的是方片；小李说：第 4 个盒子里面放的是红桃，第 3 个盒子里面放的是方片；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半 ”则可以推测，第 4 个盒子里装
7、的是（ ）A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花【答案】A【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：（1）当小明猜对第 1 个盒子里面放的是梅花 A 时，第 3 个盒子里面放的不是方片 A，则小李猜对第 4 个盒子里面放的时红桃 A，小张猜对第 2 个盒子里面放的是方片 A，小红猜对第 3个盒子里面放的是黑桃 A；（2）若小明猜对的是第 3 个盒子里面放的是方片 A，则第 1 个盒子里面放的不是梅花 A,小红猜对第 2 个盒子里面放的是梅花 A，小张猜对第 4 个盒子里面放的是黑桃 A，小李猜对第 3个盒子里面放的是方片 A,则第一个盒子只能是红桃 A,
8、故选 A.11. 已知函数 ，过点 ， ，则且当 ，且的最大值为，则的值为（ ）A. B. C.和 D.和【答案】B【解析】由图可知， ，解得 ,于是 ，得 .因为 ，即 .所以 ，又 ，故 .所以 .因为 ，于是 ，所以 .当 时，当且仅当 时， 取得最大值 1，与已知不符；当 时，当且仅当 时， 取得最大值 ，由已知得 ，解得 .当 时，当且仅当 时， 取得最大值 .由已知得 ，解得 ,矛盾.综上所述： .故选 B.点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求12. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.
9、 D. 【答案】C【解析】记函数 在 上的最小值为 : 的定义域为 .令 ，得 或 . 时，对任意的 , ， 在 上单调递增， 的最小值为当 时，的最小值为 ;当 时，对任意的 , 在 上单调递减， 的最小值为.由可知易知 在 上单调递减，且 ,故实数的取值范围为 .故选 C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分
10、，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ，则 在 方向上的投影为 _【答案】【解析】依题意， ，而 ，则 在 方向上的投影为 .答案为： .14. ，则 _【答案】【解析】依题意， ，则 ，故 或 ，即 或 （舍去，否则 不存在） ，则 .答案为： .15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 ，以 为直径的圆与直线 的交点为 ，且点在线段 上，若 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】因为 ，即 ，由 ，故 ，则 ，则 中，可得 .即 ，故 ，故答案为： .16. 已知等差数列 的前项和为，且 ，数列 的前项和为，且对于任意的 ，则实数的取值范围为_【答案】【解析】依题意，设等差数列 的公
11、差为，因为 ，故 ，故 .又 ，故 ，故 ，故 ，故 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，显然 ，所以 ，又 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .所以 .答案为： .点睛：数值最值的求解方法如下：1邻项比较法，求数列 的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列 的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数 的图像即可求解；3单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过 差值的正负确定数列 的单调性三、解答题 （本大题共 6
12、小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图所示， 中， （1）求证： 是等腰三角形；（2）求的值以及 的面积【答案】 （1）见解析（2） ，【解析】试题分析：（1）在 中，由正弦定理得 ，进而得 ，从而得 ，即可证得；（2）在 中，由余弦定理： ，得 ，从而得，利用 求面积即可.试题解析：（1）在 中，由正弦定理得 ，则 ， ， 是等腰三角形；（2）由（1）知： ，故 ，在 中，由余弦定理： ，即 ，整理得 ，解得 （舍去） ， ， ，故 ； 18. 2017 年 10 月 18 日上午 9：00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕习近平代表第十八
13、届中央委员会向大会作了题为决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的报告全国各地、国外网友观众通过手机、互联网、电视等方式，都在关注十九大盛况某调查网站从观看十九大的观众中随机选出 200 人，经统计这200 人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传煤 端口观看的人数之比为 4：1将这 200 人中通过传统的传煤方式电视端口观看的观众按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）求的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；（2）把年龄在第 1，2，3 组的观众称青少年组，年龄在第 4，
14、5 组的观众称为中老年组，若选出的 200 人中通过新型的传媒 端口观看的中老年人有 12 人，问是否有 90%的把握认为是否通过新型的传媒 端口观看十九大与年龄有关？附：0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828【答案】 （1） ，平均年龄为 （2）没有 90%的把握认为是否通过新型的传媒 端口观看十九大与年龄有关【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的矩形面积和为 1 得，利用每一个矩形的横坐标中点乘以面积求和可得平均值；（2）写出 列联表，计算 ，查表下结论即可.试题解析：（1）由频率分布直方图可得： 得 ，所以通
15、过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：.（2）由题意得 列联表通过新型的传媒 端口观看十九大通过传统的传媒方式电视端口观看十九大合计青少年（人） 28 96 124中老年（人） 12 64 76合计（人） 40 160 200，所以没有 90%的把握认为是否通过新型的传媒 端口观看十九大与年龄有关19. 如图，在四棱锥 中，二面角 的大小为 90， ， ， （1）求证： ；（2）试确定的值，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接 ，易证得 ， ，从而证得 平面 ，进而得证；（2）以为原点，直线 坐标轴，建立空间直角坐标系 ，求得
16、面 的法向量为，由 求解即可.试题解析：（1）证明 ：因为 ，且 ，故四边形 为平行四边形；连接 ，因为 ，由余弦定理得 ，得 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，所以平面 ，所以 ；（2）因为二面角 的大小为 90， ，所以 底面 ，所以直线 两两互相垂直，以为原点，直线 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，则，所以，则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，得 依题意， ，化简可得 ，即 ，解得 点睛：传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建
17、立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 若椭圆上一点满足 ，且椭圆过点 ，过点 的直线与椭圆交于两点 （1）求椭圆的方程；（2）若点是点在轴上的垂足，延长 交椭圆于，求证： 三点共线【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再通过点在椭圆上求得 ，进而得椭圆方程；（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，直线与椭圆联立得 ，由题可得直线 方程为 ，由化简直线 方程为 ，令 ，可得直线 过点 ，进而得证.试题解析：（1）依题意， ，故 ，将 代入 中，解得 ，故椭圆 ；（2）由题知
18、直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，联立 得 ，即 ，由题可得直线 方程为 ，又 ，直线 方程为 ，令 ，整理得，即直线 过点 ，又椭圆的右焦点坐标为 ， 三点 在同一条直线上21. 已知 （1）若关于的方程 在 上恒成立，求的值；（2）证明：当 时， 【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）令 ，讨论的取值，只需即可；（2）由（1）知 时， ，即 恒成立，令 ，即，一次赋值，再累加得，再取对数即可.试题解析：（1）令 ，若 ，与已知矛盾，若 ，则 ，显然不满足在 上 恒成立，若 ，对 求导可得 ，由 解得 ，由 解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 要使 恒成立，则
19、须使 成立，即 恒成立，两边取对数得， ，整理得 ，即须此式成立，令 ，则 ，显然当 时， ，当 时， ，于是函数 的 上单调递减，在 单调递增， ，即当且仅当 时， 恒成立， 满足条件，综上所述， （2）由（1）知 时， ，即 恒成立，令 ，即 ，即 ，同理， ，将上式左右相加得： ，即 ，即 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
20、分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线 ，直线 ，直线 ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出曲线的参数方程以及直线 的极坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于 两点，直线与曲线分别交于 两点，求 的面积【答案】 （1）的参数方程是 (为参数)， （2）【解析】试题分析：（1）由圆的标准方程确定圆心和半径，进而得圆的参数方程，利用直角坐标与极坐标的转化求直线的极坐标方程即可；（2）在极坐标系下求导交点坐标，再利用 求解即可.试题解析：（1）依题意，曲线 ，故曲线的参数方程是 (为参数)，因为直线 ，直线 ，故 的极坐标方程为；（2）易知曲线的极坐标方程为 ，把 代入 ，得 ， ，把 代入 ，得 ， ， 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）解不等式： ；（2）若函数 的解集包含 ，求实数的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）依题意， 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，求函数的最小值即可.试题解析：（1）依题意， ；当 ，原式化为 ，解得 ，故 ；当 时，原式化为 ，解得 ，故 ；当 时，原式化为 ，无解；综上所述，不等式 的解集为 ； （2）依题意， 在 上恒成立；则 在 上恒成立；即 ，故 ；故实数的取值范围为
