1、一、选择题1定义：|a b|a|b|sin ，其中 为向量 a 与 b 的夹角，若|a|2， |b|5，ab6，则|ab|等于( )A8 B8C8 或 8 D6解析：由|a| 2 ，|b|5，ab 6，可得 25 cos 6cos .又 0， ，35所以 sin .从而 |ab|2 5 8.45 45答案：B2已知外接圆半径为 R 的ABC 的周长为(2 )R，则 sin Asin Bsin C( )3A1 B132 34C D 12 32 12 3解析：由正弦定理知 abc2R(sin Asin Bsin C)(2 )R，所以 sin Asin 3Bsin C 1 ，故选 A.32答案：A3
2、设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量 x1，x 2，x 3，x 4 和 y1，y 2，y 3，y 4 均由 2个 a 和 2 个 b 排列而成若 x1y1x 2y2x 3y3x 4y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则a 与 b 的夹角为( )A B23 3C D06解析：设 Sx 1y1x 2y2x 3y3x 4y4，若 S 的表达式中有 0 个 ab，则 S2a 22b 2，记为 S1，若 S 的表达式中有 2 个 ab，则 Sa 2b 22ab，记为 S2，若 S 的表达式中有 4个 ab，则 S4ab，记为 S3.又| b|2|a|，所以 S1S 32a 22b 2
3、4ab2(ab)20，S 1S 2a 2b 22ab( ab) 20，S 2S 3(ab) 20，所以 S3S 2S 1，故SminS 34ab，设 a，b 的夹角为 ，则 Smin4ab8| a|2cos 4| a|2，即 cos ，又120 ，所以 .3答案：B4已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC 1，P 是腰 DC 上的动点，则| |的最小值为( )PA PB A5 B4C3 D6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2,0)，设 P(0，y)，C(0，b) ，则 B(1，b)，则 3 (2，y) 3(1， by )(5,3b4y)所以PA PB | 3
4、| (0yb) 当 y b 时，| 3 |min5.PA PB 25 3b 4y2 34 PA PB 答案：A二、填空题5(2018石家庄质检)非零向量 m，n 的夹角为 ，且满足|n| |m|(0)，向量组3x1，x 2，x 3 由一个 m 和两个 n 排列而成，向量组 y1，y 2，y 3 由两个 m 和一个 n 排列而成，若 x1y1x 2y2x 3y3 所有可能值中的最小值为 4m2，则 _.解析：由题意，x 1y1x 2y2x 3y3 的运算结果有以下两种可能：m 2mnn 2m 2|m|m|cos 2m2( 2 1)3 2m2；mnmnmn3|m |m|cos m2.又 2 1 2
5、1( )2 0，3 32 2 32 12 34所以 m24m 2，即 4，解得 .32 32 83答案：836定义平面向量的一种运算 a b|ab|a b|sina，b ，其中a，b是 a 与b 的夹角，给出下列命题：若a，b90，则 ab a2b 2；若|a|b|，则( ab) (ab )4ab ；若|a|b|，则 a b2|a| 2；若 a(1,2) ，b( 2,2)，则(ab) b.其中真命题的序号是_10解析：中，因为a，b90，则 ab|a b|a b|a 2b 2，所以成立；中，因为|a|b| ，所以(a b)，(ab)90 ，所以(ab) (ab) |2a|2b|4|a|b|，所
6、以不成立；中，因为|a|b|，所以 a b|ab| ab| sina，b|a b |ab| 2|a| 2，所以成立； 中，因为 a(1,2)，b(2,2) ，|a b|2 |a b|22所以 ab(1,4)，sin(ab)，b ，所以(a b) b3 ，33434 5 5 33434 453434所以不成立故真命题的序号是.答案：7设非零向量 a，b 的夹角为 ，记 f(a，b)acos bsin .若 e1，e 2 均为单位向量，且 e1e2 ，则向量 f(e1，e 2)与 f(e2，e 1)的夹角为_32解析：由 e1e1 ，可得 cose 1，e 2 ，32 e1e2|e1|e2| 32
7、故e 1，e 2 ， e 2，e 1 e 2，e 1 .6 56f(e1， e2)e 1cos e 2sin e1 e2，6 6 32 12f(e2，e 1)e 2cos ( e 1)sin e1 e2.56 56 12 32f(e1， e2)f(e2， e1)( e1 e2)32 12 e 1e20，(12e1 32e2) 32所以 f(e1，e 2)f( e2，e 1)故向量 f(e1，e 2)与 f(e2，e 1)的夹角为 .2答案：28对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 。 .若平面向量 a，b 满足|a| |b|0，a 与 b 的夹角 ，且 a。b 和 b。a 都在集合 Error
8、!中，则(0，4)a。b_.解析：a。b ，abbb |a|b|cos |b|2 |a|cos |b|b。a .baaa |b|a|cos |a|2 |b|cos |a| ， cos 1.(0，4) 22又|a |b|0， 0 1.0 cos 1，即 0b。a1.|b|a| |b|a|b。aError!， b。a .12，得(a。b)( b。a)cos 2 ，(12，1) (a。b) 1，即 1a。b2，a。b .12 12 32答案：329三国魏人刘徽，自撰海岛算经 ，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰
9、，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高均为 3 丈的标杆 BC 和 DE，前后标杆相距 1 000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚 H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B 退行 123 步到 F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F 三点共线，从后标杆杆脚 D 退行 127 步到 G，人眼著地观测到岛峰， A，E，G 三点也共线，问岛峰的高度 AH_ 步( 古制：1 步6 尺，1 里 180 丈1 800 尺300 步)解析：如图所示，由题意知 BCDE5 步，BF123 步，DG1
10、27 步，设 AHh 步，因为 BCAH，所以BCF HAF，所以 ，所以 ，即 HF .因为 DEAH ，所以BCAH BFHF 5h 123HF 123h5GDE GHA，所以 ，所以 ，即 HG ，由题意(HG 127)(HF 123)DEAH DGHG 5h 127HG 127h51 000，即 41 000，h1 255，即 AH1 255 步127h5 123h5答案：1 255三、解答题10已知下凸函数 f(x)在定义域内满足 f .若函(x1 x2 xnn ) fx1 fx2 fxnn数 ytan x 在 上是下凸函数，那么在锐角ABC 中，求 tan Atan Btan C
11、的最小(0，2)值解析：因为 ytan x 在 上是下凸函数，(0，2)则 (tan Atan Btan C)tan tan ，即 tan Atan Btan C3 ，当13 (A B C3 ) 3 3 3且仅当 tan Atan Btan C，即 ABC 时，取等号，所以 tan Atan Btan C 的最小3值为 3 .311在ABC 中，边 a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且满足 2sin Bsin Asin C ，设 B 的最大值为 B0.(1)求 B0 的值；(2)当 B B0，a3，c6， 时，求 CD 的长AD 12DB 解析：(1)由题设及正弦定理知，2bac，即 b .a c2由余弦定理知，cos B .a2 c2 b22ac a2 c2 (a c2 )22ac 3a2 c2 2ac8ac 32ac 2ac8ac 12当且仅当 a2c 2，即 ac 时等号成立ycos x 在(0，)上单调递减，B 的最大值 B0 .3(2)B B0 ，a3，c6，3b 3 ，a2 c2 2accos B 3c 2a 2b 2，即 C ，A ，2 6由 ，知 AD AB2，在ACD 中，AD 12DB 13由余弦定理得 CD .AC2 AD2 2ACADcosCAD 13
