1、让学生掌握具有思想方法做灵魂的知识“植树问题”教学实录与思考（已发表）牛献礼教学内容：人教版小学数学四年级下册“数学广角”。教学设想：美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、 统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”数学思想与方法作为数学学科的一般原理的重要组成部分，在教学中的有意渗透能够帮助学生更好地理解和掌握数学内容。当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，所学知 识 就会“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，也就是能够使新知识较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。因此，教师要在比较宽的视野
2、下看待数学教学，不仅考虑显性的知识，更要充分挖掘教学内容蕴涵的数学思想方法。加强数学思想、方法的渗透，用数学思想、方法来指导和带动具体知识内容的教学，从而让学生掌握具有思想方法做灵魂的知识。就“植树问题”这一经典课题而言，诸多任课教师往往特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，即所谓的“两端都种”“一端种一端不种”与“两端都不种”，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”“不加不减”“减一”），从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。但是，实际教学效果却并不如人意，“有些学生虽然会解决这一问题，但 这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了
3、能找到规律但不会熟练运用规律”，反映出学生只是在“机械应用”，思 维的灵活性却明显不够。如何破解 这一难题呢？近日，有幸读到郑毓信教授“植树问题”教学之我见一文，深受启发， 对“植树问题”的教学也有了更深层次的思考。事实上， “植树问题”的本质就是对应问题， 只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此，在此真正重要的应是“一一对应”的数学思想，应该用对应思想统领课堂。从而，在此真正需要的也就并非“规律的应用”，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。对于“两端都种”“只种一
4、端”与“两端都不种”这样三种情况的区分则不必过于强调，更不必将相应的计算法则看成是重要的规律乃至要求学生牢牢地去记住并能不假思索地加以应用。另外，无论是“植树问题”， 还是“路灯问题”、“排 队问题”、“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“敲钟问题”等等，都有着相同的数学结构，即可以被 归结为同一个数学模式，可以统称为“分隔问题”（郑毓信语）。因此，尽管 “植树问题”可以被看成提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中我们还需要超出这一特定情境，设法帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，帮助学生建构普遍的数学模式，以提升学生的思维水平。教学目标：1、经历用“一一对应”的数学
5、思想方法解决“摆花盆问题”的过程，初步学会运用对应思想解决一些简单的实际问题，体会对应思想的妙处。2、通过观察、比较、概括等数学活动，理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构，能够运用总结出的思想、方法灵活地解决简单的实际问题，发展思维能力。3激发对数学问题的好奇心，增强用数学的眼光观察、分析事物的意识和能力。教学重点：理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构，能够应用总结出的思想、方法解决一些简单的实际问题。教学难点：理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构。教学过程：一、引入。（出示）学校操场边有 9 棵树排成一行，为了美化校园环境，同学们又在每相邻的两
6、棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花？学生尝试解决，全班交流。生 1：（画图）一共有 9 棵树，就有 8 个“空”，所以摆了 8 盆花。师：这个“空”，数学上称为“间隔”。用画图的方法很容易看出 9 棵树之间有 8 个间隔，知道了间隔数，就知道了花的盆数。师：假如有 1000 棵树排成一行，还是这样，每相邻两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花呢？生独立思考，全班交流。生 2：1000 棵树排成一行，就有 999 个间隔，所以能摆 999 盆花。师：你怎么知道有 999 个间隔呢？生 3：9 棵树有 8 个间隔，所以，1000 棵树就有 999 个间隔。师：这是一种
7、合理的推想，有道理。还有别的方法吗？生 4：你看，从头开始，一棵树一盆花，一棵树一盆花，最后这棵树很孤单，后面没有了花盆，所以花盆数比树的棵数少 1，一共可以放 999 盆花。师：听懂他的意思了吗？生（齐）：听懂了。师：尽管数变大了，我们还可以用画图的方法来分析问题（出示图）。可以像生 3 那样思考问题：从头开始，一棵树对应一盆花，一棵树对应一盆花，最后这棵树很孤单，没有花盆和它对应，所以花盆数比树的棵数少 1，一共可以放999 盆花。这种方法好不好？（生：好）数学上把这种方法称为“一一对应”（板书：一一对应）。我们借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系。（思考：
8、在上述片段中，精心设计了“在两棵树之间摆花盆”的情境，从 9 棵树到 1000 棵树，由少到多，由看到算，从直观图示中能直接看到间隔个数到必须按“一一对应”的方法算得，不只是量的增多，更是质的提高。不知不觉中，学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差。）二、展开。1、应用“一一对应”思想解决问题。（1）师：假如还是这 1000 棵树，每相邻两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？学生独立思考，师生交流。师：放了多少盆花？生（齐）：1001 盆。师：说说你是怎么想的？生 1：刚才“头和尾都不放花”时，可以放 999 盆，现
9、在头和尾多了 2 盆花，用 999+2=1001，所以放了 1001 盆花。师：他联系了上题的结果，比较两题放法的不同，得出 1001 盆，是个很好的办法。还有别的想法吗？生 2：我是这样想的，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多 1，所以1000+1=1001借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数比树的棵数多 1。（2）师：还是这 1000 棵树，如果开头放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？学生独立思考，师生交流。生 3：开头放花，一盆花对应一棵树，一盆花对应一棵树，这样一组一组地对应下来，没有剩下的，所以花盆数与树的棵数
10、一样多，放了 1000 盆花。借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数和树的棵数一样多。（3）师：假如有 51 棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放 4 盆花，头和尾都不放花，一共要准备多少盆花？学生独立思考，尝试解答，个别板演：（511）4=200（棵）师：这里的“511”求的是什么呀？生 1：树的棵数。生 2：不对，不是树的棵数，是间隔数。师：对，题目中已经告诉我们了，树的棵数是 51 棵。“50”是间隔数吗？求间隔数为什么要用 511 呢？生 2：因为“头和尾都不放花”，开头的是树，结尾也是树，一棵树对应一盆花，最后剩下一棵树，所以树比花多 1,就得用 511=50再借助图示用“一一对应”
11、的方法说明。小结：在解决问题的时候，画图和“一一对应”的方法能帮助我们既准确又快捷地找到答案。（思考：围绕“树的棵数”和“花盆数”之间的关系，不断地进行变式练习，但万变不离其宗“一一对应”思想。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内化为学生的数学素养。）2、数学建模师：想一想，生活中还有什么事情跟摆花盆这样的问题类似，可以用“一一对应”的方法来解决？师生交流，逐步出示：植树问题、路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。师：想一想，在这些问题中谁和谁是“一一对应”的？同桌互相说一说。小组讨论，然后全班交流，师借助图示帮助学生理解。
12、生 1：我们讨论的是路灯问题，路灯数和间隔数一一对应。生 2：锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应。师：锯的段数也就是间隔数，锯的次数也和间隔数一一对应。生 3：排队问题里，人数和间隔数一一对应。生 4：植树问题里，树的棵数和间隔数一一对应。生 5：爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应。师：在爬楼问题里，两层之间的楼梯数也就是两个楼层的间隔，楼层数与间隔数生：一一对应。师：大家想一想，这些问题有什么共同特点？生：它们都与“间隔”有关。师：对，不管是树的棵数，路灯数，排队的人数，楼层数，还是锯的次数，它们都与“间隔数”一一对应，属于同一类数学问题。在数学上，这些问题统称为“分隔问题”。（板书
13、：分隔问题）你认为要解决分隔问题，关键是找到什么？生：找到间隔数。师：对，找到了间隔数，再按照一一对应的方法，就能找到跟它对应的数量了。（思考：几乎每个学生在生活中都遇到过间隔现象，但是大多数学生都没有研究过间隔现象。让学生带着刚刚明确的“对应思想”重返生活，有意识地关注过去没有注意的现象，经历从诸多实际问题中抽取出植树问题模型的过程，使学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，巩固、深化对“对应思想”的理性认识，发展学生的数学思维。）三、应用。1、园林队沿 500 米长的公路一侧植树（两端都不种），每隔 10 米种一棵，一共种了多少棵？学生独立
14、思考、尝试解决，个别板演：500101=49（棵）师：50010 求的是什么？生 1：间隔数。师：用总长度除以每个间隔的长度，就求出了“间隔数”。（板书：总长度间隔长度=间隔数）求树的棵数为什么要“1”呢？生 2：因为两头都不种，树的棵数比间隔数少 1，所以要“1”。借助图示反馈，应用“一一对应”思想进行验证。师：如果是“两端都种”呢？能种多少棵？生 3:49+2=51（棵），两端都不种时种了 49 棵，现在两端都种，就多了 2 棵，就是 51 棵。生 4：我是这样想的，间隔数还是 50 个，两端都种，开头的是树，一棵树对应一个间隔，结尾的是树，一组一组对应完以后，最后还剩下 1 棵树，所以树
15、比间隔数多 1，就是 51 棵树。师：如果是“一端种树一端不种“呢？一共种了多少棵？生 5:种了 50 棵，因为开头的是树，结尾的是间隔，一棵树对应一个间隔，最后没有剩下的了，所以间隔数和树的棵数一样多。师：对，找到了间隔数，不管你是什么种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。2、一条马路的一边一共安装了 15 盏路灯（两头都装），相邻两个路灯之间的距离是 20 米，这条小路长多少米？学生独立审题、解答，个别板演，全班交流。师：“151”求的是什么？生 1：求的是“间隔数”。师：为什么要“1”呢？生 2：因为“两头都装”，所以间隔数比路灯数少 1。（借助图示反馈）小结：用间隔长度间隔数，就求
16、出了小路的长度。3、（出示）学校教学楼每层楼梯有 24 个台阶，老师从一楼开始一共走了 72 个台阶。老师走到了第几层？学生独立思考，个别板演。师：7224=3，求的是什么？生 1：求的是“间隔数”。师：为什么要用“间隔数+1”呢？生 2：因为上一楼不需要走台阶的，走一个“24 个台阶”就到二楼了，走 2 个“24 个台阶”到三楼，走 3 个“24 个台阶”到 4 楼。师：也就是说，楼层数比间隔数生（齐）：多 1。借助画图反馈，应用“一一对应”思想进行验证。师：如果王老师从一楼走到了五楼，他一共走了多少个台阶呢？生 3：24（51）=96（个），他一共走了 96 个台阶。借助画图反馈，应用“一一对应”思想进行验证。（思考：对应思想在实际生活中应用比较广泛，让学生理解并运用这一数学思想方法解决一些简单的实际问题，不仅有利于提高他们用数学解决问题的能力，同时也可使他们感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识。同时，在教学中明确提出“分隔问题”这样一个概念，并清楚地总结出相关的计算法则“路的长度间隔长度间隔数”，再利用适当的图形以帮助学生很好地建构起相应的数学模式，包括通过正、反两个方面的练习帮助学生更好地去掌握这一模式，有利于学生思维能力的发展。）
