1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试5 月调研测试卷 理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由已知 ，结合子集的概念，可以确定参数的取值范围.详解：因为 ，所以 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关子集的概念，以及根据包含关系，确定有关参数的取值范围的问题，可以借助数轴来完成.2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，从
2、而求得复数的值.详解：由 ，得 ，解得 ，即 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关复数的运算问题，在求解的过程中，需要先用加减法合并，之后用除法运算法则求得结果.3. 设命题 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.详解：因为 为： ，故选 C.点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.4. 已知随机变量 ，若 ，则实数 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析：根据正太分布对称性确定 ，进而解得 .详解：因为 ，所以 ,
3、因为 ，所以 选 C.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.(2)利用 3 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 ， 进行对比联系，确定它们属于( ， )，( 2 ， 2 )，( 3 ， 3 )中的哪一个.5. 山城农业科学研究所将 5 种不同型号的种子分别试种在 5 块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为 （ ）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解
4、析】分析：先确定 两型号的种子种法，再对剩下 3 型号全排列，即得结果.详解：因为 两型号的种子试种方法数为 种，所以一共有 ,选 B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.6. 已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心的圆与抛物线交于 两点，与抛物线的准线交于 两点，若四边形 为矩形，则矩形 的面积是（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：首先根据题的条件，四边形 为矩形，可以得到对边是平行且相
5、等的，所以得到两条边是关于圆心对称的，从而可以求得圆心到直线的距离，从而求得其横坐标，代入抛物线的方程，可以求得点 M 和点 N 的坐标，从而求得矩形的边长，之后应用矩形的面积公式求得结果.详解：根据题意，四边形 为矩形，可得 ，从而得到圆心 到准线的距离与到 的距离是相等的，所以有 M 点的横坐标为 3，代入抛物线方程，从而求得 ，所以 ，从而求得四边形 的面积为 .点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN和 PQ 关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点 M 的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.
6、7. 已知实数 满足不等式组 ，且 的最大值是最小值的 2 倍，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的形式，结合其几何意义，能够判断出最优解的位置，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到 z 的最值，再由最大值是最小值的 2 倍列式求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：作出直线 ，平移直线 ，由图可知，当直线经过点 D 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 取得最大值，由，可得 ，所以 的最大值是 1，当直线经过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 取得最小值，由 ，可得
7、，所以 的最小值是 ，因为 的最大值是最小值的 2 倍，所以 ，解得 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先画出约束条件对应的可行域，之后结合目标函数的形式得到其对应的几何意义，从而判断出其最优解，联立方程组求得最值，根据 2 倍关系找出其满足的等量关系式，最后求得结果.8. 九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入 ，则输出 的值是（ ）A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析
8、】分析：首先需要分清该框图所要解决的问题是关于对应量的求和问题，在求和时需要分析项之间的关系，从而可以发现其为等差数列求和问题，理清等差数列的首项与公差，利用求和公式求得结果，得到关于 n 的不等式，求解即可得结果.详解：输入 ，运行过程中， ，此时向右走， ，接着向右走，依次运行，可以发现，其为以 204 为首项，以 12.5 为公差的等差数列的求和问题，令 ，结合 n 的取值情况，解得 ，故选 B.点睛：该题表面上是解决的程序框图运行之后的输出结果的问题，实际上是解决的等差数列的求和问题，在解题的过程中，需要明确对应的等差数列的首项与公差，以及等差数列的求和公式，解对应的不等式即可得结果.
9、9. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为 ，则侧视图中的的值为 （ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】分析：首先通过观察几何体的三视图，还原几何体，得知其为一个正三棱柱，结合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心连线的中点处，利用外接球的表面积，得到底面边长所满足的关系式，求得其边长，再根据侧视图中对应的边长与底面边长的关系，求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是一个正三棱柱，设其底面边长为 ，则底面正三角形的外接圆的半径为 ，设该三棱锥的外接球的半径为 R，结合正三棱锥的外接球的球心在上下底面的外心连线的中点处，则有 ，
10、因为该三棱柱的外接球的表面积为 ，则有 ，从而解得 ，因为侧视图中对应的边为底面三角形的边的中线，求得 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，以及与外接球相关的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的表面积公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半径与棱柱的高以及底面三角形的外接圆的半径的关系，将其整合，得到 x 所满足的等量关系式，求得结果.10. 已知圆 的方程为 ，过第一象限内的点 作圆 的两条切线 ，切点分别为 ，若 ，则 的最大值为（ ）A. 3 B. C. D. 6【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数量积的定义式，得到 ，利用圆的切线的性质，结合勾股定理，
11、得到 ，从而得到 ，之后利用基本不等式的变形求得结果，注意等号成立的条件.详解：根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得 ，所以可求得 ，即 ，结合基本不等式，可得 ，当且仅当 时取等号，故选 B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式、勾股定理、基本不等式，在求解的过程中，利用向量的数量积的定义式求得 是解决该题的突破口，之后求得 ，下一步就是应用基本不等式的变形求得结果，对于小题，也可以直接凭经验当两者相等的时候取得最值.11. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，以 为直径的圆 与双曲线相交于 两点，其中 为坐标原点，若 与圆 相切，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答
12、案】C【解析】分析：首先根据题中的条件，确定出圆的半径的大小，根据数轴上的点的坐标，求得 ，根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中，求得，利用诱导公式，结合余弦定理，求得 ，最后利用离心率的公式求得结果.详解：根据题意，有 ，因为若 与圆 相切，所以 ，所以由勾股定理可得 ，所以 ，所以 ，由余弦定理可求得 ，所以， ，故选 C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12. 已知函数 ，等差数列 满足： ，则下列可以作为 的通项公式的是（ ）A.
13、 B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据导数研究三次函数对称点，再结合等差数列等距性性质判断与验证满足条件的数列.详解：因为 ，所以 ，因此函数 关于 对称，而 时， ，因此，满足题意，选 A.点睛：三次函数的一阶导数得函数极值点，三次函数的二阶导数得函数拐点，即对称中心.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13. 函数 的最大值是_【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.详解：因为 ，所以即最大值是 .点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过
14、变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征14. 已知 ，且 的展开式中常数项为 5，则 _【答案】【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求常数项是哪一项，再根据常数项为 5 解 a.详解：因为 ，所以因此 .点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.15. 在如图所示的矩形 中，点 分别在边 上，以 为折痕将 翻折为，点 恰好落在边 上，若 ，则折痕 _
15、【答案】【解析】分析：首先设出 ，根据题中的条件 ，得到 ，结合诱导公式得到 ，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得，从而求得其值，最后在 中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设 ，根据 ，得到 ，同时可得 ，从而得到 ，根据翻折的问题，可得在直角三角形中，有 ，解得 ，所以折痕 .点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果.16. 已知点 为 的内心， ，若 ，则_【答案】【解析】分析：先根据三角形内心
16、向量性质得 ，再根据向量表示唯一性确定 x,y 值，即得结果.详解：因为点 为 的内心，所以 ,其中 O 为任一点，a,b,c 为三角形三边.因此 ,所以点睛:三角形中有关“心”的向量表示：内心 I： ；重心 G：，外心 P： .三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在 中， 为锐角，且 .（1）求 ；（2）若 的面积为 ，求 边上的高.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得 ，再根据 为锐角得 ；（2）先根据面积公式得 ，再根据余弦定理得 ，最后根据等面积法求高.详解：解：（1） ；（2） ，由余
17、弦定理有： ，由面积公式有： .点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 从某校高三年级中随机抽取 100 名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这 100 人中随机抽取 1 人，其视力在 的概率为 .（1）求 的值；（2）若某大学 专业的报考要求之一是视力在 0.9 以上，则
18、对这 100 人中能报考 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取 8 人，调查他们对 专业的了解程度，现从这 8 人中随机抽取 3 人进行是否有意向报考该大学 专业的调查，记抽到的学生中视力在 的人数为，求 的分布列及数学期望.【答案】 （1） , （2）见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得 b，再根据所有小长方形面积和为 1 求区间0.9,1.1概率，除以组距即得 a,(2)先根据分层抽样得确定视力在 的人数为 3，再确定随机变量的取法，分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：（1） ；（2） 的可能取值为 0，1，2，3，
19、概率为： ，所以其分布列如下：0 1 2 3则 .点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，第二步是“探求概率” ，第三步是“写分布列” ， 第四步是“求期望值”. 19. 如图，三棱柱 中， .（1）求证： 为等腰三角形；（2）若平面 平面 ，且 ，求二面角 的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1) 设 中点为 ，根据计算得 ，再根据 由线面垂直判定定理得 面 ，即得 ，最后改好等腰三角形性质得结果， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求解两平面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定结果.详解
20、：解：（1）设 中点为 ，连接 ，又设 ，则 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 面 ，所以 ，又因为 为中线，所以 为等腰三角形；（2）设以 中点 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，故，设面 的法向量 ，则有 ，同理得：面 的法向量 ，设所求二面角为 ，则 ，故 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合.（1）求椭圆的 的方程；（2）设点 为
21、圆 上任意一点，过 作圆 的切线与椭圆 交于 两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）见解析【解析】分析：(1)根据条件列方程组，解得 a,b， （2）先设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径得 ，联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理计算 为零，进而确定以 为直径的圆经过原点.详解：解：（1）由题意有： ；（2）由对称性，猜测该定点为 ，设该切线方程为 ，则有 ，联立方程有： ，所以 ，即原点以在 为直径的圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒
22、定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数 .（1）若直线 与曲线 相切，求 的值；（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：(1)根据导数几何意义得 ，再根据切点既在曲线上，也在切线上得，最后利用导数确定函数单调性进而得 ，解得 ， （2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即求 最小值非负，根据隐零点化简得最小值 ，再根据导数研究最小值函数单调性，根据单调性确定最小值函数非负时的条件，即得 的取值范围详解：解：（1） ，则有：
23、，令 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，又因为 ，所以 ；（2）令 ，则原命题等价于 恒成立，又 ，设 ，则 在 上单减，在 上单增，故只需 ，令 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，即 .点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参
24、数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（2）设点 ，直线 与曲线 交于不同的两点 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点 ，且倾斜角为 ，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于 t 的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果.详解：（1） ；（2）考虑直线方程 ，则其参数方程为 （ 为参数） ，代入
25、曲线方程有： ，则有 .点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数 t 的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值.【答案】 （1） （2） 或 .【解析】分析：第一问首先利用绝对值的意义，先将绝对值符号去掉，将函数化为分段函数的形式，之后结合图像找出不等式的解集；第二问结合不等式解集的形式，端点值往往都是不等式对应方程的根，求出之后验证即可.详解：（1） 结合函数图像有： ；（2）由题意知 或 ，经检验，两种情况均符合题意，所以 或 .点睛：该题考查的是有关含绝对值的不等式的解法问题，再者就是已知不等式的解集求有关参数值的问题，在求解的过程中，注意应用绝对值的意义去掉绝对值符号，再者就是注意不等式的解集的端点值是对应方程的根的应用.
