1、凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,选 A.2. 已知复数 （为虚数单位） ，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 选 D.3. 下列说法正确的是（ ）A. 若命题 ， ，则 ，B. 已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均增加 个单位C. 命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则实数 ”为真命题D. 已知随机变量 ，若 ，则【答案】C【解析】若命题 ， ，则
2、， ;已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均减少 个单位;命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则 为真命题;已知随机变量 ，若 ，则 ;所以选 C.4. 如图，在边长为 的正方形 中， 是 的中点，过 ， ， 三点的抛物线与 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】以 M为原点，BA 所在直线为 y轴，BA 的垂线为 x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D 的抛物线方程为 ，则图中阴影部分面积为 ，所以落在阴影部分的概率为 ，故选择 D.5. 已知某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体如图，体积为 ，选 B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析6. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ， ， = ，选 D.当且仅当 时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条
4、件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7. 20世纪 70年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数 ，按照以下的规律进行变换：如果 是个奇数，则下一步变成 ；如果 是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的 4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的值为 ，则输入的 值为（ ）A. B. C. 或 D. 或 或【答案】C【解析】若 ，执行程序框图， ， ，结束循环，输出 ； 时，执行
5、程序框图， ，结束循环，输出 或，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在 的二项展开式中，若第四项的系数为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，解得： ，故选 B.9. 已知等差数列
6、 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，即 ，所以，则 ，应选答案 B。10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,平移后函数 为奇函数,所以 ,解得,所以当 时, 有最小值 11. 如图，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，交其准线于点 ，若，且 ，则此抛物线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图分别过点 作准线的垂线，分别交准线于点 ，设 ，则由已知得： ，由抛物线定义得： ，故 ，在直角三角形 中，从而得，因此抛物线方程为
7、 ,故选 C.12. 已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）A. B. 或 C. 或 D. 或 或【答案】A【解析】f（x）=（x1） （x+3）e x，所以 f（x）在（，3）和（1，+）上单调递增， （3，1）上单调递减，又当 x时 f（x）0，x+时 f（x）+，故 f（x）的图象大致为：令 f（x）=t，则方程 必有两个实根 t1，t 2（t 1t 2）且 ，当 t1=2e 时恰有 ，此时 f（x）=t 1有 1个根，f（x）=t 2有 2个根；当 t12e 时必有 ，此时 f（x）=t 1无根，f（x）=t 2有 3个根；当2et 10 时必有 ，此
8、时 f（x）=t 1有 2个根，f（x）=t 2有 1个根；综上，对任意 mR，方程均有 3个根故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则实数 _【答案】【解析】由已知求出 ,所以有 ,所以.14. 设实数 ， 满足不等式组 则 的最大值为_【
9、答案】8【解析】作可行域，则直线 过点 B(5,2)时取最大值 8.15. 已知双曲线经过点 ，其一条渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为_【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为 ,由点 在双曲线上,有,所以 ,故双曲线方程为 .16. 已知等腰直角 的斜边 ，沿斜边的高线 将 折起，使二面角的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为_【答案】【解析】等腰直角 翻折后 是二面角的平面角，即 ，因此 外接圆半径为 ，四面体 的外接球半径等于 ，外接球的表面积为 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，
10、再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ，且有 .（1）求角 的大小；（2）当 时，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析： 根据题意和正弦定理及和差角的三角函数公式，易得 ，由三角形内角的范围可得；利用余弦定理，基本不等式的性质，三角形面积计算公式即可得出。解析：（1）由 及正弦定理，得 ，即 ，即 .因为在 中， ， ，所
11、以 ，所以 ，得 . （2）由余弦定理，得 ，即 ，故 ，当且仅当 时，取等号 .所以 ，即 的最大值为 .点睛：在解三角形的过程中运用正弦定理进行边角的互化，通常情况下求什么化成什么，要求角，则把条件里的边化为角，然后利用和差的三角函数进行化简就可以求得结果。在求三角形面积时运用面积公式，遇到最值题目需要借助基本不等式解答18. 某调查机构随机调查了 岁到 岁之间的 位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照 ， ， ， ， 分成 组，绘制成频率分布直方图（如图） .（1）求频率分布直方图中实数 的值及这 位网上购物者中年龄在 内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的 位网上购物者
12、中随机抽取 人，再从这 人中任选 人，设这 人中年龄在 内的人数为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1）192；（2）【解析】试题分析：（1）根据所有小长方形面积和为 1，解得 ，再根据频数等于频率与总数的乘积得年龄在 内的人数；（ 2）先根据分层抽样确定各区间抽取人数，再确定随机变量确定，利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）由频率分布直方图，可得 ，得.则这 位网上购物者中年龄在 内的频率为 ，故这 位网上购物者中年龄在 内的人数为 .（2）由频率分布直方图可知，年龄在 内的人数与其他年龄段的总人数比为，由分层抽样的知识知，抽出的 人中年龄
13、在 内的人数为 ，其他年龄段的总人数为 .所以 的可能取值为 ， ， .， ，所以 的分布列为0 1 2故 的数学期望 .19. 如图，菱形 与四边形 相交于 ， ， 平面 ， ， ， 为 的中点， .（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，根据三角形中位线性质得 ，再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面 平面 ，最后根据面面平行性质得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.试题解析：（1）证明：
14、取 的中点 ，连接 ， .因为 为菱形对角线的交点，所以 为 中点.又 为 中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .又因为 ， 分别为 ， 的中点.所以 ，又因为 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面，又 ， 平面 ， ，所以平面 平面 .又 平面 ，所以 平面 .（2）解：连接 .设菱形的边长 ，则由 ，得 ， .又因为 ，所以 .则在直角 中， ，所以 .由 平面 ， ，得 平面 .以 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，过点 与平面 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，则 ， .设 为平面 的一个法向量，则 即 .令 ，得 ，所以 .又 ，所以
15、 .设直线 与平面 所成角为，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .20. 已知椭圆 的两个焦点为 ， ，离心率 .（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，当变化时，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何条件得 ，再由离心率解得 ，即得 ，（2）由直线与椭圆有两个交点得判别式大于零，解得 m取值范围，再根据点斜式写出线段的垂直平分线方程，解得 点坐标，根据点到直线距离公式得 高，根据弦长公式得底边边长，根据三角形面积公式得 面积函数关系式，最后根据二次函数性质求最大值.试题解析：（1）由离心率
16、，半焦距 ，解得 .所以 ，所以椭圆 的方程是 .（2）解：设 ， ，据 得直线与椭圆 有两个不同的交点， ，又 ，所以 且 .由根与系数的关系得 ，设线段 中点为 ，点 横坐标 ， ， ，线段 垂直平分线方程为 ，点 坐标为 ，点 到直线 的距离 ，又 ，所以，所以当 时，三角形 面积最大，且 .点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 已知函数 （是常数）.（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，函数 有零
17、点，求的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)首先求解导函数，然后结合参数的范围分类讨论即可得到函数的单调区间；(2)结合(1)的结论讨论函数的最值，结合题意得到关于实数 a的不等式，求解不等式可得的取值范围是 或 .试题解析：（1） 根据题意可得，当 时， ,函数在 上是单调递增的，在 上是单调递减的，当 时， ,因为 ,令 ，解得 或当 时，函数 在 ， 上有 ，即 ，函数 单调递减；函数 在 上有 ，即 ，函数 单调递增；当 时，函数 在 上有 ，即 ，函数 单调递增；函数 在 上有 ，即 ，函数 单调递减；综上所述，当 时，函数 的单调递增区间 ，递减区间为
18、；当 时，函数 的单调递减区间为 ，递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；（1）当 时， 可得 ，故 可以；当 时，函数 的单调递减区间为 ，递增区间为 ，（） 若 ，解得 ；可知： 时， 是增函数， 时， 是减函数，由 在 上 ；解得 ，所以 ；（）若 ，解得 ；函数 在 上递增，由 ，则 ，解得由 ，即此时无解，所以 ；当 时，函数 在 上递增，类似上面 时，此时无解，综上所述， 或 .22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为 .（1）求曲线
19、 的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）设 是曲线 上的任意一点，求点 到直线的距离的最大值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）利用平方法可得曲线 的普通方程，利用两角差的正弦公式及可得直线的直角坐标方程；（2） ，则点 到直线的距离为，利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）因为 ，所以曲线 的普通方程为 ，又 展开得 ，即 ，因此直线的直角坐标方程为 ；（2）设 ，则点 到直线的距离为等号成立当且仅当 ，即 ，即 时成立，因此点 到直线的距离的最大值为 23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集 ；（2）当 时，证明： .【答案】 （1） ；（ 2）见解析【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，解出即可；（2）利用作差法可得结论.试题解析：（1）由 ，得 ，即 ，解得 ，所以 ；（2）法一：因为 ，故 ， ， ， ，故 ，又显然 ，故 法二：因为 ，故 ， ，而，即 ，故
