1、黔东南州 2018 届高三模拟考试理科数学试卷I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ,答案为 D.2. 若复数 ，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知 ，则= .故选 C.3. 甲乙两名同学 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 、 ，标准差分别为 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知 图中数据显示甲同学的
2、成绩比乙同学稳定，故 .故选 C.4. 已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为A. B. 45 C. D. 【答案】B5. 已知 ，则 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知 ，由指数函数性质易知 ，又 ，故选 D.点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于 0 小于 1 时，函数单调递减，当底数大于 1 时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1） ，对数函数过点（1，0） ，所以还经常借助特殊值 0,1 比较大小.6. 一只蚂蚁在边长为 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 的
3、区域内的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为 2 的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在 3 扇形内，故 .故选 A.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥 ）的直观图如下：可计算 ，故该几何体的最大边长为 .点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画
4、出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 若函数 的定义域为 R，其导函数为 若 恒成立， ，则 解集为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知有 ，令 ，则 ，函数 在 R 单调递减， ，由 有 ，则 ，故选 D. 9. 执行如图的程序框图，则输出的 值为A. 1 B. C. D. 0【答案】D【解析】由图知本程序的功能是执行此处注意程序结束时 ，由余弦函数和诱导公式易得：.10. 在 中，内角 所对的边分别为 ,已知 ，且 ，则面积的最大值为A.
5、B. C. D. 【答案】B【解析】由已知有 ， ，由于 ，又 ，则 ，当且仅当 时等号成立.故选 B.11. 设函数 的最大值为 M,最小值为 N，则 的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知 ，令 ，易知 为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为 ， =1，故选 A.12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 若双曲线上存在点使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可设 P 在右支非 轴上，由正弦定理有 ，为方便运算，设， ，则 ，又 ， 解得 ，又 ，则 不共线，则 ，即 ，整理得，两边同时除以 得 ，解得 ，又 ，则 ，
6、故 ，故选 C.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是_【答案】 .【解析】约束条件 表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为 、 、
7、，带入 所得值分别为 、 、 ，故 的最小值是.另，作出可行域如下：由 得 ，当直线经过点 时，截距 取得最大值，此时取得最小值，为 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14. 甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为 三个层次） ，得 的同学直接进入第二轮考试从评委处得知，三名同学中只有一人获得 三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的
8、状态，他只能得 或 ；乙说：我肯定得 ；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得 的同学是_【答案】甲.【解析】若得 的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得 的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得 的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得 的同学是甲.15. 在 的展开式中， 的系数为_(用数字作答)【答案】31【解析】展开式中含有 的项有： 五项， 的系数为.16. 在平面上， ，且 ， 若 ，则 的取值范围是_【答案】 .【解析】分别以 、 为 、 轴建立直角坐标系 ，设 ，由 得
9、 .设 ，由 得 ， ，两式相加得 ，即 ，于是 ，又 ，故 ，即 的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 （）求数列 的通项公式；（）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： 【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（I）当 时， ，整理得 ，当 n=1 时，有 .数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列即可求数列 的通项公式 （II）由（I）有 ，则 ,用裂项相
10、消法可求其前 n 项和.试题解析：（I）当 时，有 ，解得 .当 时，有 ，则整理得： 数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列即数列 的通项公式为： （II）由（I）有 ，则 故得证.18. 据统计，2017 年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客 590.23 万人次，实现旅游收入 48.67 亿元，同比分别增长 44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于 40（单位：百万元） ，则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游 100 名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图
11、和乙公司的频数分布表如下：分组频数 18 49 24 5（）求 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（）若导游的奖金 （单位：万元） ，与其一年内旅游总收入 （单位：百万元）之间的关系为 ，求甲公司导游的年平均奖金；（）从甲、乙两家公司旅游收入在 的总人数中，随机的抽取 人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】 （1） ， ，甲（2）2.2（3）见解析【解析】试题分析：（I）由频率和为 1 可求得 ，由频数为 100 可求得 进而可求得甲，乙公司的导游优秀率，得结论.（II）先求甲公司年旅游总收入在 ， ，的人数，再用平均数公式求甲公司导游的年平均奖金（）
12、由已知按分层抽样的方法甲公司抽取 人，记为 ；从乙公司抽取 人，记为 1,2则 6 人中随机抽取 2 人的基本事件有 15 个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有 9 个可求所求概率.试题解析：（I）由直方图知： ，有 ，由频数分布表知： ，有 甲公司的导游优秀率为： ；乙公司的导游优秀率为： ；由于 , 所以甲公司的影响度高 （II）甲公司年旅游总收入 的人数为 人；年旅游总收入 的人数为 人；年旅游总收入 的人数为 人；故甲公司导游的年平均奖金 （万元） （）由已知得，年旅游总收入在 的人数为 15 人，其中甲公司 10 人，乙公司 5人按分层抽样的方法甲公司抽取 人，记为 ；从乙公
13、司抽取 人，记为1,2则 6 人中随机抽取 2 人的基本事件有：共 15 个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有： , , , , , , , 共 9 个设事件 为“参加座谈的导游中有乙公司导游” ，则所求概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在四棱锥 中，四边形 是矩形，平面 平面 ，点 、 分别
14、为 、中点.（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求平面 DEF 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）（I）证明：取 中点 ，连接 在 中，有分别为 、 中点在矩形 中， 为 中点四边形 是平行四边形而 平面 ， 平面平面 （II）取 中点 ，连接 ，设 . 四边形 是矩形平面 平面 ,平面 平面 = ， 平面平面 又 ， ， 为 中点， ， .故可建立空间直角坐标系 ，如图所示，则， ， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则，即不妨设 ，则 易知向量 为平面 的一个法向量故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 【解析】试题分析：（I）取 中点 ，连接 可证得四边形 是
15、平行四边形，而 平面 ， 平面 ，有 平面 （II）取 中点 ，连接 ，证明 ，以 为原点，OA,OP 为 x,y 轴建立空间直角坐标系 ，用向量法求解即可.试题解析：（I）证明：取 中点 ，连接 在 中，有分别为 、 中点在矩形 中， 为 中点四边形 是平行四边形而 平面 ， 平面平面 （II）取 中点 ，连接 ，设 . 四边形 是矩形平面 平面 ,平面 平面 = ， 平面平面 又 ， ， 为 中点， ， .故可建立空间直角坐标系 ，如图所示，则， ， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则，即不妨设 ，则 易知向量 为平面 的一个法向量故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 点睛：解本
16、题的关键是利用线面平行的性质研究线线、线面的位置关系.寻找线线平行的一般办法有：一、利用中位线定理，二、利用平形四边形的性质，三、利用两直线都垂直于同一平面，四、利用线面平行的性质等；寻找线面平行的一般方法有：一、由线线平行得线面平行；二、由面面平行得线面平行.20. 已知点 P 为曲线 C 上任意一点， ，直线 、 的斜率之积为 （）求曲线 的轨迹方程；（）是否存在过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 、 ，使得 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）设点 ，由 ,整理得可得.（II）设点 ，取 MN 的中点 H，则 ，则 可转化为 ,联
17、立直线与椭圆，结合韦达定理建立关于斜率 k 的方程，求解即可. 试题解析：（I）设点 ，则整理得：故曲线 的轨迹方程为：. （II）假设存在直线满足题意显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆 不相交当直线的斜率 时，设直线为： 联立 ，化简得：由 ，解得设点 ， ，则取 的中点 ，则 ，则即 ，化简得 ，无实数解，故舍去当 时， 为椭圆 的左右顶点，显然满足 ，此时直线的方程为 综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为 21. 函数 ， (m 常数)（1 求函数 的单调区间；（2 当 时,函数 有零点，求 的取值范围【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：(1) ,分 ， ， 三种情况讨
18、论 的单调区间. （II）分 ， ， 三种情况讨论 的单调性，根据函数 有零点，确定 的取值范围.试题解析：(1)题意知： ，则， 当 时，令 ，有 ；令 ，有 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减当 时，令 ，有 ；令 ，有 故函数 在上单调递增，在 和 上单调递减当 时，令 ，有 或 ；令 ，有 故函数 在和 上单调递增，在 上单调递减综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ；当时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； （II）当 时，由 可得 ，有 ，故 满足题意当 时，若 ，即 时，由（I）知函数
19、 在 上递增，在上递减而 ，令 ，有若 ，即 时，由（I）知函数 在 上递增而，令 ，解得 ，而 ，故 当 时，由（I）知函数 在 上递增，由 ，令，解得 ，而 ，故 综上所述， 的取值范围是： 另，题目可转化为函数 与函数 的图像有交点 .（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.22. 选修 44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，将曲线 (为参数) 上任意一点 经过伸缩变换后得到曲线 的图形以坐标原点 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 （）求曲线 和直线的普通方程；（）点 P 为曲线 上的
20、任意一点，求点 P 到直线的距离的最大值及取得最大值时点 P 的坐标【答案】 （1） , （2） ，P【解析】试题分析：（I）根据伸缩变换的公式代入原方程,可以得到伸缩后的曲线方程；（II）利用点 P 在椭圆上设出参数坐标,根据点到直线的距离公式求三角函数的最值,并求出取得最值时的值.试题解析：（I）由已知有 （为参数） ，消去得 将 代入直线的方程得曲线 的方程为 ，直线的普通方程为 . （II）由（I）可设点 为 ， 则点 到直线的距离为：故当 ，即 时 取最大值 此时点 的坐标为 23. 选修 45：不等式选讲已知函数 , （）当 时,求不等式 的解集；（）设 ,且当 时，都有 ,求 的
21、取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（） 时，对 x 进行分类讨论去掉绝对值符号，在每种情况下分别解出不等式的解集，从而得到原不等式的解集；（）根据 x 的范围化简 ，将问题转化为不等式中的恒成立问题，进而求解。试题解析：（I）当 时， ，故不等式 可化为：或 或解得：所求解集为： . （II）当 时，由 有：不等式 可变形为：故 对 恒成立，即 ，解得而 ，故 . 的取值范围是：点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用
