1、天水一中 2015 级 20172018 学年度高三第一学期第二阶段考试数学试题(文科)一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 或 ， ，或 ，故选 D.2. 已知复数为纯虚数，且 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 是纯虚数， 可设 ，可得 ，故选 B.3. 若向量 ， ，则 的面积为( )A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】 ， 与 夹角余弦为 ， ，故选 A.4. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地
2、从育龄人群中随机抽取了容量为 100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各 50 人；男性 60 人，女性 40 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C【解析】试题分析：从题设中所提供人数比的柱状图可以看出：倾向选择生育二胎的人数与户籍有关；是否选择生育二胎与性别无关,其中倾向选择不生育二胎的人
3、员中,农村户籍的人数少于城镇户籍的人数.所以提供的四个选择支中 A，B，D 都是正确的，其中 C 是错误的,故应选 C.考点：柱状图的识读和理解5. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥 是长方体的一部分，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该棱锥外接球的直径等于长方体的对角线长，所以球的半径 ，则外接球的体积 ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键
4、，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 若 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】故选 C.7. 按照如图所示的程序框图，若输入的为 2018， 为 8，则输出的结果为( )A. 2473 B. 3742 C. 4106 D. 6014【答案】B【解析】执行程序框图，输入 ，第一次循环 除以 可得，商 ，余数，将排在最右边，即循环结束后，全部余数从右到左排列，得到的数个位数字为 ，只有选项 符合题意，故选
5、B.8. 若实数满足 ，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据对数函数的性质，由 ，可得 ，由 ，得 ，综上， 的取值范围是 ，故选 C.9. 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，基本事件总数 ，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（1，1） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ，
6、（5，1） ， （2，2） ， （3，2） ， （4，2） ， （5，2） ，（3，3） ， （4，3） ， （5，3） ， （4，4） ， （5，4） ， （5，5） ，共有 个基本事件.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 .故选 A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10. 在 中，角 为 ， 边
7、上的高恰为 边长的一半，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】作 延长线上一点 为等腰直角三角形，设 ，则，由勾股定理得 ，由余弦定理得 ，故选 A.11. 等差数列 各项都为正数，且其前 项之和为 45，设 ，其中 ，若中的最小项为 ，则 的公差不能为( )A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由前 项之和为 45，可得， ，要使 最小，则 ， ，可验证 ， 时，都有 成立，而当 时，不是最小值， 的公差不能是 ，故选 D.12. 已知为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D
8、. 【答案】D【解析】设 ， ，当 时， ，函数 在 上为增函数，设 ，对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则是 的不含极值点的单调区间的子集， ， 在 上递减，在上递增，最小值 ， ，最大值为，要使得对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则 的最大值不大于 的最大值 ，解得 ； 在 上递减，在 上递增， 的值域为 时，有两个 值与之对应，若只有唯一的 ，则 的最小值要比 大，即： ，综上：的取值范围是 ，选 D.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】画出条件 表示的可行域，为如图所示的开放区域，由 可得
9、，由图知，的最大值是点 的纵坐标 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _.【答案】【解析】由 得渐近线方程为 ，即 圆心 到渐近线的距离等于半径， ，故答案为 .15. 已知函数 为奇函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线的斜率为_.【答案】2【解析】当 时，
10、当 时， ，函数 为奇函数 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为故答案为 .16. 祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆 所围成的平面图形
11、绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于_.【答案】【解析】椭圆的长半轴为，短半轴为 ，现构造一个个底面半径为 ，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得半椭球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，所以椭球的体积为，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等比数列 满足 ，其中 ， 为 的前 项和， .(1)求 ；(2)设 ，若 ， 恒成立，求 的最小值.【答案】 （1）
12、1；（2）【解析】试题分析：（1）由 ，可得 两式相减得 .于是公比 ，所以 ，解得 ；（2）根据等比数列的定义求出数列 的通项公式，根据等比数列的求和公式可得 ，于是得 ，即 的最小值为 .试题解析：(1) ，可得 两式相减得 .于是公比 ，所以 ， .(2) ， ， ， ，所以 的最小值为 .18. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在 市 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格.记 表示在各区开设分店的个数， 表示这 个分店的年收入之和.（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 与 的关系，求
13、 关于 的线性回归方程；（2）假设该公司在 区获得的总年利润 (单位：百万元)与 ， 之间的关系为 ，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司在 区开设多少个分店时，才能使 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为 ，其中 ， .【答案】 （1） ；（2）4【解析】试题分析：（1）结合所给数据首先求得样本中心点，然后结合回归方程的计算公式求得， ，据此即可求得 关于 的线性回归方程；（2）结合（1）中的结果求得 区利润函数，然后结合基本不等式，即可求得所需开设分店的个数试题解析：(1)由表中数据和参考数据得： ， ， ，. 关于 的线性回归方程为 .(2) ，区平均每个分店的年利润
14、 ， 时，取得最大值.故该公司应在 区开设 个分店时，才能使 区平均每个分店的年利润最大.19. 如图，四棱锥 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ，为 的中点， 平行于 ， 平行于面 ， .(1)求 的长；(2)求点 到平面 的距离【答案】 （1）4；（2）【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 、 ，根据题设条件可证四边形 为平行四边形，即可求出 的长；（2）取 的中点 ，由 及侧棱 垂直于底面可证 垂直于面 ，即可得 为点 到平面 的距离.试题解析：(1)取 的中点 ，连接 、 .因为 平行于 ， 平行于 ，所以 平行于 ，所以 四点共面，因为 平行于面 ，面 与面 交与 ，所以 平行于
15、，所以 为平行四边形.所以 ， .(2)取 的中点 ，则 垂直于 ，因为 平行于 ，所以平行线 、 的间距为 ，即 .因为 垂直于 ， 垂直于 ，所以 垂直于面 ，所以 到面 的距离为20. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ， 点坐标为 ， 为椭圆 上不同于 的任意一点，且满足 .(1)求椭圆 的方程；(2)设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 的另一交点为 ， 的中点为 ，若 ，求直线 的斜率.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）设 ，由 两点的坐标及 可得椭圆 的方程；（2）由题可知，斜率一定存在且 ，设过焦点 的直线方程为 ，设 ， ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出点
16、 的坐标，根据，结合椭圆的焦半径公式可得 ，根据题设条件 ，即可算出直线的斜率.试题解析：(1)设 ， ， ，整理得： ， 、 两点在椭圆上椭圆 的方程为 .(2)由题可知，斜率一定存在且 ，设过焦点 的直线方程为 ，设 ， .联立 ，则 ， ， ， ，又 .点睛：用代数法解直线与圆锥曲线综合问题时，注意以下几点：（1）设直线方程时，若不知直线的斜率存在与否，则需进行讨论，分斜率不存在和斜率存在两种情况；（2）解题过程中，由于计算量较大，故解题中注意“设而不求” 、 “整体代换” 、 “韦达定理”等思想方法的运用，以简化运算，提高解题的效率，另外，对于求出的参数的值，要判断是否满足判别式的要求
17、，这一点容易忽视，本题在求弦长问题时，可直接利用焦半径公式.21. 已知函数 .(1)讨论 的单调性；(2)若 有两个零点，求的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对函数 求导，再对进行分类讨论，根据 和 ，即可得函数 的单调性；（2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围.试题解析：(1) ，当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 . 的单增区间为 ，单减区间为 .当 时，令 ， 或 .当 ，即 时， 在 单增，当 ，即 时，由 得， ，由 得， . 单增区间为 ， 单减区间为 .当 ，即 时，由 得， ，由 得， . 的
18、单增区间为 ， 的单减区间为 .(2) .i.当 时，只需 ，即 时，满足题意；ii.当 时， 在 上单增，不满足题意；当 时， 的极大值 ，不可能有两个零点；当 时， 的极小值 ， ， ，只有 才能满足题意，即 有解.令 ， ，则 . 在 单增. ，方程无解 .综上所述， .点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22. 在直角坐标
19、系 中，抛物线 的方程为 .(1)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；(2)直线的参数方程是 (为参数)，与 交于 两点， ，求的倾斜角.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）将 ，代入 ，可得 的极坐标方程为 ；（2）把直线的参数方程代入抛物线方程得 ，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得 ， 或 .试题解析：(1) ，代入 ，(2)不妨设点 ， 对应的参数分别是 ， ，把直线的参数方程代入抛物线方程得： ， ，则 ， ， 或 .【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23. 已知函数 ， .(1)当 时，求不等式 的解集；(2)若 的解集为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）试题解析：(1) ， ， .(2) 的解集为 ， ，而 ，当 时， , 时， ,经检验 的解集为.
