1、一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220Ay x By x45 54Cy x Dy x15 255解析：在双曲线 1 中，a5，b2 ，而其渐近线方程为 y x，其渐近x225 y220 5 ba线方程为 y x，故选 D.255答案：D2已知椭圆 C 的方程为 1(m 0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在x216 y2m2 22x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A2 B2 2C8 D2 3解析：根据已知条件得 c ，则点 在椭圆16 m2 (16 m2，22 16 m2) 1(m 0)上， 1，可得 m2 .x
2、216 y2m2 16 m216 16 m22m2 2答案：B3(2018张掖模拟)双曲线 1(a0，b0)的渐近线与圆 x2( y2) 21 相切，x2a2 y2b2则双曲线的离心率为( )A. B. C2 D 32 3解析：双曲线 1 的渐近线与圆 x2(y2) 21 相切，则圆心(0,2)到直线x2a2 y2b2bxay0 的距离为 1，所以 1，即 1，所以双曲线的离心率 e 2，故选 C.2aa2 b2 2ac ca答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1、A 2，x2a2 y2b2且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay 2ab0
3、 相切，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.63 33 23 13解析：以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a.由题意，圆心到直线 bxay2ab0 的距离为 a，即 a23b 2.又 e21 ，所以 e .2aba2 b2 b2a2 23 63答案：A5已知双曲线 1(a 0，b0) 的焦距为 4 ，渐近线方程为 2xy0，则双曲x2a2 y2b2 5线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：易知双曲线 1(a0，b0) 的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为x2
4、a2 y2b22xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2a 2b 2，可得ba 5 5a2，b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216答案：A6(2018长春模拟)已知 O 为坐标原点，设 F1，F 2 分别是双曲线 x2y 21 的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点 F1 作F 1PF2 的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH |( )A1 B2C4 D.12解析：不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交PF2 于点 M，由于 PH 既是 F1PF2 的平分线又垂直于 F1M，故PF 1M 为等腰三角形，| PF1|PM| 且 H 为 F
5、1M 的中点，所以 OH 为MF 1F2 的中位线，所以|OH| |MF2| (|PF2|PM |) (|PF2|PF 1|)1.故选 A.12 12 12答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线 C： 1( a0，b0)的离心率为 ，则点x2a2 y2b2 2(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 2解析：由题意，得 e ，c 2a 2b 2，得 a2b 2.又因为 a0，b0，所以 ab，ca 2渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 2 ，42 2故选 D.答案：D8(2018石家庄一模)已知直线 l：y2x3 被椭圆 C： 1( ab0)截得
6、的弦x2a2 y2b2长为 7，有下列直线：y2x3；y 2x1；y 2x3；y2x3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为 7 的有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：易知直线 y2x 3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2x3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y 2x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.选 C.答案：C9(2018洛阳模拟)设双曲线 C： 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近线x216 y29的垂线，垂足分别为 M，N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则 的值为
7、d|PF|( )A. B.34 45C. D无法确定54解析：双曲线 C： 1 中，a4，b3，c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为x216 y29y x.不妨设 M 在直线 y x 上，N 在直线 y x 上，则直线 MF 的斜率为 ，其方34 34 34 43程为 y (x5)，设 M(t， t)，代入直线 MF 的方程，得 t (t5)，解得 t ，即43 34 34 43 165M( ， )由对称性可得 N( ， )，所以直线 MN 的方程为 x .设 P(m，n)，则165 125 165 125 165d|m |， 1，即 n2 (m216) ，则| PF| |5m16|.故
8、165 m216 n29 916 m 52 n2 14 d|PF| ，故选 B.|m 165|14|5m 16| 45答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直23线与 C 交于 M，N 两点，则 ( )FM FN A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设 M 为(1,2) ，N 为(4,4) 又抛物线焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)，FM FN 0 3248.FM FN 故选 D.答案：D11(2018广西
9、五校联考)已知点 F1，F 2 分别是双曲线 1(a0，b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M，N 两点，若 10，则该双曲线MF1 NF 的离心率 e 的取值范围是( )A( ， 1) B(1， 1)2 2 2C(1， ) D( ，)3 3解析：设 F1( c,0)，F 2(c,0)，依题意可得 1，得到 y ，c2a2 y2b2 b2a不妨设 M ，N ，(c，b2a) (c， b2a)则 1 1 4c 2 0，MF NF ( 2c， b2a)( 2c，b2a) b4a2得到 4a2c2(c 2a 2)20，即 a4c 46a 2c20，故
10、e46e 210，解得 32 e 232 ，2 2又 e1，所以 1e 232 ，2解得 1e1 2答案：B12(2018南昌模拟)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若 x1x 24 |AB|，则AFB 的最大值为( )233A. B.3 34C. D.56 23解析：由抛物线的定义可得|AF |x 12，|BF |x 22，又 x1x 24 |AB|，233得|AF| |BF| |AB|，233所以|AB| (|AF|BF |)32所以 cosAFB|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF|AF|2 |BF|2 32(|
11、AF| |BF|)22|AF|BF|14|AF|2 14|BF|2 32|AF|BF|2|AF|BF| 2 ，而 0AFB，18(|AF|BF| |BF|AF|) 34 18 |AF|BF|BF|AF| 34 12所以AFB 的最大值为 .23答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线 1( a0)和抛物线 y28x 有相同的焦点，则双x2a2 y22曲线的离心率为_解析：易知抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，所以双曲线 1 的一个焦点为(2,0)，x2a2 y22则 a222 2，即 a ，所以双曲线的离心率 e .2ca 22 2答案： 214(2018武汉调研)双曲线 ：
12、1( a0，b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的y2a2 x2b2距离为 3，则 的实轴长等于 _解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 axby 0 的距离为ab b3，所以 a4,2a8.|5b|a2 b2 5bc答案：815(2018唐山模拟)过抛物线 y22px( p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF| 2|BF| 6，则 p_.解析：设 AB 的方程为 xmy ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且 x1x 2，将直线 AB 的方程p2代入抛物线方程得 y22pmyp 20，所以 y1y2p 2,4x1x2p 2.设抛物线的准线为 l，过 A
13、作 ACl，垂足为 C，过 B 作 BDl ，垂足为 D，因为|AF| 2|BF| 6，根据抛物线的定义知，| AF| AC|x 1 6，| BF|BD|x 2 3，所以 x1x 23，x 1x 29p，所以p2 p2(x1x 2)2( x1x 2)24x 1x2p 2，即 18p720，解得 p4.答案：416(2017高考全国卷改编) 设 A，B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上x23 y2m存在点 M 满足AMB120 ，则 m 的取值范围是_解析：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 tan 60 ，即 ，ab 3 3m 3解得 0
14、m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,1 9，) 答案：(0,19，)三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，上顶点为 B，若BF 1F2 的周长为 6，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1，A 2 是椭圆 C 长轴的两个端点，P 是椭圆 C 上不同于 A1，A 2 的任意一点，直线 A1P 交直线 xm 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2
15、，求实数 m 的值解析：(1)由题意得 F1(c, 0)，F 2(c,0)，B(0，b) ，则 2a2c6，直线 BF2 的方程为 bxcybc0，所以 b，即 2ca，| bc bc|c2 b2又 a2b 2c 2，所以由可得 a2，b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)不妨设 A1(2,0)，A 2(2,0)，P(x 0，y 0)，则直线 A1P 的方程为 y (x2) ，y0x0 2所以 M(m， (m2)，y0x0 2又点 P 在椭圆 C 上，所以 y 3(1 )，20x204若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2MA 2P， 0，A2M A2P 所以(m2， (
16、m2)(x 02，y 0)(m2)(x 02) (m2)(m2)( x02)y0x0 2 y20x0 2(m2)( x02)( m )0.31 x204x0 2 14 72又点 P 不同于点 A1，A 2，所以 x02，所以 m14.18(2018福州模拟)抛物线 C：y2x 24xa 与两坐标轴有三个交点，其中与 y 轴的交点为 P.(1)若点 Q(x，y )(1x 4)在 C 上，求直线 PQ 斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆 E 过定点解析：(1)由题意得 P(0，a)(a0)，Q (x,2x24x a)(1 x4)，故 kPQ 2x4，2x2 4x a ax因为 1x4，
17、所以2k PQ4，所以直线 PQ 的斜率的取值范围为 (2,4)(2)证明：法一：P(0，a)(a0)令 2x24xa0，则 168a0，a2，且 a0，解得 x1 ，4 2a2故抛物线 C 与 x 轴交于 A(1 ，0) ，B(1 ，0) 两点4 2a2 4 2a2故可设圆 E 的圆心为 M(1，t) ，由|MP |2|MA| 2，得 12(ta) 2( )2t 2，解得 t ，4 2a2 a2 14则圆 E 的半径 r|MP | .1 14 a22所以圆 E 的方程为(x1) 2(y )21( )2，a2 14 14 a2所以圆 E 的一般方程为 x2y 22x( a )y 0，12 a2
18、即 x2y 22x ya( y)0.12 12由Error! 得Error!或Error!故圆 E 过定点(0， )，(2， )12 12法二：P(0 ，a)(a0)，设抛物线 C 与 x 轴的两个交点分别为 A(x1,0)，B(x 2,0)，圆 E 的一般方程为 x2 y2DxFy G0，则Error!因为 x1，x 2 是方程 2x24xa0，即 x22x 0 的两根，a2所以 x 2x 1 0，x 2x 2 0，21a2 2 a2所以 D2，G ，a2所以 F (a )， G a2a 12所以圆 E 的一般方程为 x2y 22x( a )y 0，12 a2即 x2y 22x ya( y)
19、0.12 12由Error! 得Error!或Error!故圆 E 过定点(0， )，(2， )12 1219(2018广州模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0) 的上y2a2 x2b2焦点为 F1，椭圆 C 的离心率为 ，且过点(1， )12 263(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若 0，且| MO| MA|，求直线 l 的方程F1B F1H 解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ，即 a2c.12 ca 12又 a
20、2b 2c 2，所以 b23c 2，即 b2 a2，所以椭圆 C 的方程为 1.34 y2a2 x234a2把点(1， )代入椭圆 C 的方程中，解得 a24.263所以椭圆 C 的方程为 1.y24 x23(2)由(1)知，A(0,2) ，设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 ykx2，由Error! 得(3 k24)x 212kx0.设 B(xB，y B)，得 xB ， 12k3k2 4所以 yB ， 6k2 83k2 4所以 B( ， ) 12k3k2 4 6k2 83k2 4设 M(xM，y M)，因为|MO| MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM1，因为 yMkx M2，所以 xM ，即 M( ，1)1k 1k设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH ，即 .1k 1 1k xH 1k所以 xHk ，即 H(k ， 0)1k 1k又 F1(0,1)，所以 ( ， )， (k ，1)F1B 12k3k2 4 4 9k23k2 4 F1H 1k因为 0，所以 (k ) 0，F1B F1H 12k3k2 4 1k 4 9k23k2 4解得 k .263所以直线 l 的方程为 y x2.263
