1、北方工业大学试卷 第 1 页 共 7 页 一、填空题：（每题 4 分，共 20 分）1. 设 与 为互斥事件， ，则 0 AB0BPBA2. 设随机变量 且 ， ，则 6 ， 0.4 。),(pnX4.2EX4.1Dnp3. 已知 ，则 = 0.5 。)1,0(N0P4. 设 均未知,样本容量为 ，样本方差为 , 的 95%的置信区2),(Xn2s间为 。1,122nssn5. 设随机变量 相互独立，服从相同的正态分布 ，则4321X, ),(N2服从 分布。)X2X(2Y 43122 )2二、选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 设两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为 4 和 2，则
2、随机变量 的方差是 XYYX23（D） （ ） 8 （ ） 16 （ ） 34 （ ） 44ABCDD(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)2.随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 。XAXEP)(（ ） （ ）A1eB12e（ ） （ ）C2DE(X)=3. 设 X 服从 分布, ，则 为 ( ) 。)(nt aXP|XPA北方工业大学试卷 第 2 页 共 7 页 （ ） （ ） （ ） （ ） Aa21Ba2Ca21Da214. 为使 为二维随机向量 的联合密度,则 必为（ 其 他,00,),()43(yxKeyxf YXK） 。C（ ） 6 （ ） 7 （ ） 12 （ ） 16AB
3、CD5. 设随机变量 ， 则（ ）1ntX2XY（ ） （ ） （ ） （ ）Y21n1,nFYnFY,1三、 (10 分) 市场上供应的电池中，甲厂产品占 80%，乙厂产品占 20%，甲厂产品合格率为 98%，乙厂产品合格率为 85%，现从市场任意购买一节电池，求：(1)所购买的电池是合格品的概率？(2)若已知所购买的电池是合格品，该电池是甲厂生产的概率？解： A=甲厂生产 B=乙厂生产 C=合格 ，则 ， ， (1 分)()0.8P()0.2(1 分)5C(1 分)().9A由全概率公式，所购买的电池是合格品的概率为(4 分)()()(0.954PCPCB由贝叶斯公式可知，已知所购买的电池
4、是合格品，该电池是甲厂生产的概率为=0.82 (3 分)()A()A注：最终计算结果 0.82 是保留两位小数，保留四位小数 0.8218 也是可以的。四、 (10 分) 设 是连续型随机变量，其密度函数为X2,0;()cxf其 他求： （1） 的值；c北方工业大学试卷 第 3 页 共 7 页 （2） 的分布函数 ；X()Fx（3） .(1P评分标准：解： （1） 因为 是密度函数， 所以满足 ， ()fx ()1fxd即 ，201cd解得 (4 分)38(2) 对密度函数 进行分段积分，得到 的分布函数()fxX30,()281,.xFx(4 分)（3）方法一：. 101121003(1)(
5、)()8PXfxdxfdx(2 分)方法二：. (2 分)(1)(1)08F五、 (10 分) 设 的联合分布律为(,)-1 0 20 21北方工业大学试卷 第 4 页 共 7 页 （1） 求 的边缘分布律；,（2） 判断 是否独立.解： 的边缘分布律为01 2概率 4(3 分)的边缘分布律为-1 0 2概率 2515(3 分)因为 ， 而 ， ，120p14p125所以 ，1类似可以验证 ， ijij,2,3.ij因此， 有定义知 相互独立. (4 分),1 201202 44北方工业大学试卷 第 5 页 共 7 页 六、 （10 分）设二维随机变量 的概率密度为),(YX其0),(81),
6、(yxyxf 其20,yx求 XYCOVXYEDYEX),(),(,)(,)(解：解：（） （分）202067y)(x81),()( ddxyf2020 35)(),()(fXE（分）361)7(5)()() 222 XED（分）7)(8),()(2020dxyydxyfYE 2020 35)(1),()(f(1 分)36)7(5222YEYD（2） （2 分）01034)8),()( dxyydxyfXE（2 分）61734)(, YXYCov（2 分）/6/1)(,DX七、 （10 分）设总体 概率密度为 ， 未知，1,01()xfx其 他 为来自总体的一个样本. 求参数 的矩估计量和极大
7、似然估计12,nX量. 北方工业大学试卷 第 6 页 共 7 页 解：(1)(1 分)21)()()(10 dxxdxfXE令样本一阶原点矩 等于总体一阶原点矩 ,则 （2 分）niiX1 )(XE（1 分）XE2)(则 的矩估计量 （1 分）X1或表示为： 的矩估计量 niiiiniiii X1122注意：三种答案表示方法均可(2)似然函数为 （2 分）1()niiLx（1 分）1ln()llnii由 （1 分）l0dL得极大似然估计量 (1 分) niiX1l（注意：求的是估计量）八、 （10 分）设某产品寿命（单位：小时）服从正态分布 。现进行工艺革),170(2N新，从一批新工艺产品中
8、随机地抽取了 25 个，测得产品寿命平均值为 1737 小时,样本标准差为 150 小时。问能否认为革新后产品的平均寿命仍为 1700 小时( )？ 05.注： 4.2),0596.2)(,71.)24(,7081.)25( 75.95.095.9.0 tttt北方工业大学试卷 第 7 页 共 7 页 解：（1） 由题意，要检验假设， (2 分)170:0H170:（2）构造检验统计量 nSXT/在原假设成立时， （2 分）)1(（3）由显著性水平 ，查标准正态分布表，0.5642)()1(975.021Tn所以拒绝域为： （3 分）.(4)由 ，代入检验统计量，计算得：150,7,25,730Snx3./1/SXT未落入拒绝域 （2 分）064.2故不能否定零假设，即这批产品该指标值为 1700。 (1 分)
