1、课时规范练A 组 基础对点练1若直线上有两个点在平面外，则( )A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：根据题意，两点确定一条直 线，那么由于直 线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直 线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内答案：D2四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有( )A4 个 B3 个C2 个 D1 个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面答案：A3已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l ，l，
2、则( )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：由于 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直 线 l 满足 lm，ln，则交线平行于 l，故选 D.答案：D4过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD ，AA 1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 .联想正方体的其他体对角线，如连接 B
3、D1，2则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等，BB 1AA1，BCAD，体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等， 过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条答案：D5若直线 ab，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是( )AbBbCb 或 bDb 与 相交或 b 或 b 解析：结合正方体模型可知 b 与 相交或 b 或 b 都有可能答案：D6若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l ”的( )A
4、充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：由“m 且 lm”推出“l 或 l”，但由 “m 且 l”可推出“lm” ，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故 选 B.答案：B7已知 A，B ，C，D 是空间四点，命题甲：A，B，C ，D 四点不共面，命题乙：直线 AC和 BD 不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 A，B，C，D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交，充分性成立；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行， 则 A，B，
5、C，D 四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件答案：A8(2018绵阳诊断)已知 l，m ，n 是三条不同的直线， 是不同的平面，则 的一个充分条件是( )Al，m，且 lmBl，m，n，且 lm ，lnCm，n ，mn，且 lmDl，lm，且 m解析：依题意知，A、B、C 均不能得出 .对于 D，由 lm，m 得 l，又 l ，因此有.综上所述，选 D.答案：D9下列命题中，错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么 l平面 D如果平面 平
6、面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选项 A 显然正确根据面面垂直的判定定理， 选项 B 正确对于选项 C，设 m ，n，在平面 内取一点 P 不在 l 上， 过点 P 作直线 a，b，使am，bn.，am，a，al，同理有 bl.又ab P，a，b， l.故选项 C 正确对于选项 D，设 l，则 l，但 l 不垂直于 ，故在 内存在直线不垂直于平面 ，选项 D 错误答案：D10已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是( )A若 m ，n，则 mnB若 m，n ， ，则 mnC若 l，m ，m，则 mlD若 m ，n，l m ，l n，则 l解析：A：m，n
7、 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；C：根据线面平行的性质可知 C 正确；D：若 mn，根据 线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C.答案：C11已知 ， ， 是三个不同的平面，命题“，且 ”是真命题，如果把， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：将 ， 分别换成直线 a，b，则命题变为“ab，a b”是真命题；将 ， 分别换成直线 a，b，则命题变为“， ab b”是假命题；将 ， 分别换成直线 a，b，则命题变为“a， bab”是真命 题，故真命题有
8、 2 个答案：C12设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ；若 外的一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l；设l，若 内有一条直线垂直于 l，则 ；直线 l 的充要条件是 l 与 内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是_解析：若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线， 则 ，所以正确；若 外的一条直线 l 与 内的一条直线 平行，则 l，所以正确；设 l ，若 内有一条直线垂直于 l，则 与 不一定垂直，所以 错误；直线 l 的充要条件是 l 与 内的两条相交直线垂直，所以错误所有的真命 题的序号是.答案：13.如图所示，在空间四
9、边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且 ，则下列说CFCB CGCD 23法正确的是_(填写所有正确说法的序号 )EF 与 GH 平行EF 与 GH 异面EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上解析：连接 EH，FG(图略)，依题意，可得 EHBD，FGBD，故 EHFG，所以 E，F，G，H 共面因为 EH BD，FG BD，故 EHFG，12 23所以 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交，设交点为 M，因为点 M 在 EF 上，故点 M
10、 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线 AC 上答案：14如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对答案：3B 组 能力提升练1(2018天津检测)设 l 是直线， 是两个
11、不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 l，l，则 B若 l，l ，则 C若 ，l ，则 lD若 ，l ，则 l解析：对于 A 选项，设 a，若 la，且 l，l，则 l，l，此 时 与 相交，故 A 项错误；对于 B 选项，l，l， 则存在直线 a，使得 la，此时 a，由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 B 选项正确； 对于 C 选项，若 ，l，则 l 或 l，故 C 选项错误；对于 D 选项，若 ，l，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 选项错误故 选 B.答案：B2(2018贵阳监测)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )Am ，n ，且 ，则 m
12、nBm，n ，且 ，则 mnCm，mn，n，则 Dm ，n，m，n，则 解析：A：m 与 n 的位置关系为平行，异面或相交， A 错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出 ，C 错误；D ：只有当 m 与 n 相交时，结论才成立， D 错误故选 B.答案：B3设 l，m，n 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是( )若 l，则 l 与 相交；若 m，n，lm，ln，则 l；若 lm，mn，l，则 n；若 lm，m，n，则 ln.A1 B2C3 D4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故正确；由于不能确定直 线 m，n 相交，不符合线面垂直的判定定理
13、，故 不正确；根据平行线的传递 性， ln，故 l时，一定有 n，故正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得 mn，再根据平行线的传递性，可得 ln，故正确答案：C4(2018宁波模拟)下列命题中，正确的是 ( )A若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b ，则 a，b 是异面直线B若 a，b 是两条直线，且 ab，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线 a平面 ，点 P，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条解析：对于 A，当 ，a，b 分别为第三个平面 与 ， 的交线时，由面面平行的性质可
14、知ab，故 A 错误对于 B，设 a，b 确定的平面为 ，显然 a，故 B 错误对于 C，当 a 时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C 错误易知 D 正确故 选D.答案：D5已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故 A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故 B 错误；
15、C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故 C 错误；D 中，若两条直 线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故 D正确答案：D6已知两条不重合的直线 m，n 和两个不重合的平面 ，有下列命题：若 mn，m，则 n；若 m，n，mn，则 ；若 m，n 是两条异面直线， m，n，m ，n，则 ；若 ， m，n ， nm，则 n.其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析： 若 mn，m，则 n 或 n，故 错误；因为 m，mn，所以 n，又 n，则 ，故正确； 过直线 m 作平面 交平面 于直线 c，因
16、为 m，n 是两条异面直线，所以设 ncO.因为 m，m ， c，所以 mc.因为 m ，c，所以 c.因为n，c，n cO，c ，n，所以 ，故 正确；由面面垂直的性质定理可知正确答案：C7.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是棱 CC1 上的一个动点，平面 BED1 交棱 AA1 于点 F.则下列命题中真命题有( )存在点 E，使得 A1C1平面 BED1F；存在点 E，使得 B1D平面 BED1F；对于任意的点 E，平面 A1C1D平面 BED1F；对于任意的点 E，四棱锥 B1BED1F 的体积均不变A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：当点 E 为棱 CC
17、1 中点 时， A1C1EF，可得 A1C1平面 BED1F；因为 B1D 与 BD1 不垂直，因此 B1D平面 BED1F 不成立；因 为正方体的体对角线 BD1 与平面 A1C1D 垂直，因此平面A1C1D平面 BED1F；四棱锥 B1BED1F 的体积等于 2VB1BED12VD 1BEB12 D1C113BB1BC 为定值，故选 D.12答案：D8直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA 90 ，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.110 25C. D.3010 22解析：如图，取 BC 的中点 D，连接
18、 MN，ND，AD，由于 MN 綊 B1C1綊 BD，12因此有 ND 綊 BM，则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角设 BC2，则 BMND ，AN ，AD ，因此 cosAND6 5 5 .ND2 NA2 AD22NDNA 3010答案：C9已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )A. B.16 36C. D.13 33解析：设正四面体 ABCD 的棱长为 2.如图，取 AD 的中点 F，连接 EF，CF.在ABD 中，由 AEEB，AFFD，得 EFBD，且 EF BD1.12故CEF 为直线 CE
19、与 BD 所成的角或其补角在ABC 中，CE AB ；32 3在ADC 中，CF AD .32 3在CEF 中，cos CEFCE2 EF2 CF22CEEF . 32 12 32231 36所以直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 .36答案：B10已知两个不同的平面 ， 和两条不重合的直线 m，n，则下列四个命题中不正确的是( )A若 mn，m，则 n B若 m，m，则 C若 m，mn，n，则 D若 m ， n，则 mn解析：由线面平行、垂直之间 的转化知 A、B 正确；对于 C，因为 m，mn，所以 n，又n，所以 ，即 C 正确；对于 D，m，n，则 mn，或 m 与 n 是异面直线
20、，故 D 不正确答案：D11在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，过点 A，C，B 1 的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l，则l 与 AC 的位置关系是_解析：平面 ABCD平面 A1B1C1D1，平面 ABCD平面 ACB1AC ，平面 A1B1C1D1平面ACB1l，由面面平行的性质定理得 ACl.答案：平行12如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABC BAD 90，BC2AD，PAB 和PAD都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为_解析：如图所示，延长 DA 至 E，使 AEDA ，连接 PE，BE.ABCBAD90，BC2 AD，DEBC，DEBC.四
21、边形 CBED 为平行四边形，CDBE.PBE 就是异面直 线 CD 与 PB 所成的角在PAE 中，AEPA， PAE120，由余弦定理，得PE PA2 AE2 2PAAEcosPAE AE2 AE2 2AEAE( 12) AE.3在ABE 中，AEAB， BAE90，BE AE.2PAB 是等边三角形，PBABAE，PB2BE 2AE 22AE 23AE 2PE 2，PBE90.答案：9013(2018济南模拟)在正四棱锥 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析：如图，设 ACBDO， 连接 VO，因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥，所以 VO平面ABCD，故 BDVO.又四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以BDVA，即异面直 线 VA 与 BD 所成角的大小为 .2答案：2
