1、课时规范练A 组 基础对点练1体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B. 323C8 D4解析：由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱 长 a2.又正方体的体 对角线是其外接球的一条直径，即 2R a(R 为正方体外接球的半径 )，所以 R ，故所求球的表面 积3 3S4 R212.答案：A2平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积2为( )A. B4 6 3C4 D6 6 3解析：设球的半径为 R，由球的截面性质得 R ，所以球的体积 V R34 22 12 343.3答案： B3已知一个几何体的三视图如图所示，则
2、该几何体的体积为( )A. B.323 163C. D.83 43解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV 柱 V 锥 (11)12 (11)12 ，故选 C.12 13 12 83答案：C4如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线(实线和虚线) 表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )A24 B29C48 D58解析：如图，在 324 的长 方体中构造符合题意的几何体 (三棱锥 ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为 4R2(3 22 24 2)29.答案：B5(2018西安质量检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A
3、. B.43 52C. D373解析：根据几何体的三视图，得 该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是 V 几何体 V 三棱柱 V 三棱锥 211 211 .故选 A.12 13 12 43答案：A6(2018山西四校联考)若三棱锥 PABC 的最长的棱 PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径 R PA1，所以 该三棱锥的外接球的体积 V 13 .12 43 43答案： 437已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且
4、 AB3，BC ，过点 D3作 DE 垂直于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 EABCD 的体积为_解析：如图所示，BE 过球心 O，DE 2，42 32 32VEABCD 3 22 .13 3 3答案：2 38已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB 12，AB平面 ，H 为垂足， 截球 O所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_解析：如图，设截面小圆的半径 为 r，球的半径 为 R，因为 AHHB12，所以 OH R.由勾股定理，有 R2r 2OH 2，又由 题意得 r2，则 r1，故13R21( R)2，即 R2 .由球的表面积公式，得 S4R 2 .13 98 92
5、答案：929(2016高考全国卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD ；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积54 2解析：(1)证明：由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得 ，故 ACEF.AEAD CFCD由此得 EFHD，EFHD，所以 ACHD.(2)由 EFAC 得 .OHDO AEAD 14由 AB5，AC6 得 DOBO 4.AB2 AO2所以 OH1，DHDH3.于是 OD 2O
6、H 2(2 )21 29DH 2，2故 ODOH.由(1)知，ACHD，又 ACBD，BDHDH ，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD 平面 ABC.又由 得 EF .EFAC DHDO 92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 .12 12 92 694所以五棱锥 DABCFE 的体积 V 2 .13 694 2 232210.如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，E 为 SA 的中点，SASB 2，AB 2 ，BC3.3(1)证明：SC 平面 BDE；(2)若 BCSB ，求三棱锥 CBDE 的体积解析：(1)证明：连接
7、AC，设 ACBDO，四 边形 ABCD 为矩形，则 O 为 AC 的中点在ASC 中，E 为 AS 的中点，SCOE，又 OE平面 BDE，SC平面 BDE，SC平面 BDE.(2)BCAB，BCSB，ABSBB，BC平面 SAB，又 BCAD，AD平面 SAB.SC平面 BDE，点 C 与点 S 到平面 BDE 的距离相等，VCBDEV SBDEV DSBE，在ABS 中，SA SB 2，AB2 ，3SABS 2 1 .12 3 3又 E 为 AS 的中点，S BES SABS .12 32又点 D 到平面 BES 的距离为 AD，VDBES SBESAD 3 ，13 13 32 32VC
8、BDE ，即三棱锥 CBDE 的体积为 .32 32B 组 能力提升练1一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )A36 B. 1123C32 D28解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱 锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是 2 .将该四棱锥补形成一个三棱柱，如 图所示，则其底面是边3长为 4 的正三角形，高是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱 锥的外接球 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形， 底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为 2 ，外接球的半径 R ，外接球23 3 433 (433)2 22 283的表面积 S4R 24 ，故 选 B.283 1123答
9、案：B2(2018广州模拟)九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC 4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A8 B12C20 D24解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以 PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O，易得 2RPC ，所以 R ，球 O 的表面积为 4R220 ，选 C.20202答案：C3在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若ABBC，AB 6，BC8，AA
10、 13，则 V 的最大值是( )A4 B.92C6 D.323解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R ，该球的体积最大， Vmax R3 .32 43 43 278 92答案：B4四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 88 ，则球 O 的体积等于( )3A. B.323 3223C16 D.1623解析：依题意，设球 O 的半径为 R，四棱
11、锥 SABCD 的底面边长为 a、高 为 h，则有 hR，即 h 的最大值是 R，又 AC2R， 则四棱锥 SABCD 的体积 VSABCD 2R2h .因此，13 2R33当四棱锥 SABCD 的体积最大，即 hR 时，其表面 积等于 ( R)24 R 212 288 ，解得 R2，因此球 O 的体积等于 ，选 A. 2R22 R2 3 4R33 323答案：A5多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为_cm 3.解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如 图所示，在三棱锥DABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为 E，则底边AB 及底边上的高 CE 均为 4，侧棱
12、AD平面 ABC，且 AD4，所以三棱锥 DABC 的体积 V SABCAD 444 (cm3)13 13 12 323答案：3236已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球322 3的表面积为_解析：过 O 作底面 ABCD 的垂 线段 OE(图略) ，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知( )2OE ，所以 OE ，故球的半径 ROA ，则球的表面积13 3 322 322 OE2 EA2 6S4 R224.答案：247如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 P
13、AB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明：G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积解析：(1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE.因为 PDDE D，所以 AB平面 PED，故 ABPG.又由已知，可得 PAPB ，所以 G 是 AB 的中点(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PB
14、PC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC.因此 EF平面PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG.23由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE PG，DE PC.23 13由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 .2在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF 2，所以四面体 PDEF 的体积 V 222 .13 12 438如图所示，平行四边形 ABCD
15、 中，DAB60 ，AB2，AD 4.将CBD 沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面 EBD平面 ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥 EABD 的侧面积和体积解析：(1)证明：在 ABD 中，AB2，AD4，DAB60，BD 2 .AB2 AD2 2ABADcosDAB 3AB2BD 2AD 2，ABBD.又平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABDBD ，AB平面 ABD，AB平面 EBD.又 DE平面 EBD，ABDE.(2)由(1)知 ABBD.CDAB，CDBD，从而 DEBD.在 RtDBE 中，DB2 ，DEDCAB 2，3SEDB DBDE2 .12 3AB平面 EBD，BE平面 EBD，ABBE.BEBCAD4，SEAB ABBE4.12DEBD，平面 EBD平面 ABD，ED平面 ABD，而 AD平面 ABD，EDAD，SEAD ADDE4.12综上，三棱锥 EABD 的侧面 积 SS EDBS EABS EAD82 .3DE平面 ABD，且 SABDS EBD2 ，DE2，3VEABD SABDDE 2 2 .13 13 3 433
