1、1数学高考易错题大盘点（文科）对于文科考生来说，数学学科 临场发挥的好坏，几乎决定高考的成败。综观近年高考阅卷，直面考生解题过程，正如名言“幸福的家庭都是一 样的幸福，不幸的家庭各有各的不幸”所述，正确的解法通常表现为思维流畅、方法得当、知识清晰、书写规范， 让阅者有“一气呵成”之感，而有 问题的解法则往往显示出各种各样的缺漏，使人颇有“冤枉丢 分”之憾；实践证实：尽量减少考 试失误是高考数学致胜的法宝；本文旨在通过对考生失误情况的分析和诊断，力求把学生引向高考数学的至高点。症状一：审题性失误文科考生数学意识一般不太强，加上在考 试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现 失误：或没有
2、注意题目中关键 的叙述， 误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误纠错良方：仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析错因 1 忽略条件信息例 1已知集合 A=k|方程 表示的曲线是双曲线，2- 2-3=1B=x|y= ，则 A B=（ ）2-1 A.（1,3） B.（3+ ） C.（- ，-1 （3，+ ） D.（- ， -1） （1，+ ） 错解 1 令 k0 k-30 令 2-101或 -1B=x|x 或 x 1 -1错解 2前面同上，由 A=k|k3，B=x|x 或 x A1 -1 ， = 错解 3令 k（k-3 ）0 k3 或 k0
3、的解集，即 A=（- ， 0）（3，+ ），集合 B=（- ，-1 1，+ ）， A B=（- ，-1 （3， + ），故选 C 错因反思 在解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本真纠错良方：审题时抓住细节和关键点，重 视限制条件，注意反思和检查错误档案：（1）（2007 年安徽高考题）若集合A=x ，B=x|222-1 中元素个数为（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 3解题时易忽略“x ”这个已知条件，从而无选项。（2）（2007 重庆高考题）设 为公比 q1 的等比数列，若 a2004 和 a20
4、05是方程 的二根，则42-8+3=0a2006+a2007 = 解题时忽略“q1” 的条件而误填：3 或13A=k|k32错因 2：遗忘隐含条件例 2（2006 年陕西高考题）已知不等式（x+y）（ + ） 1 9 对任意正实数 x，y 恒成立，求正实数 a 的最小值？错解x+y 且 + ，（x+y）（ + ） 4212 1 要使（x+y）（ + ） 对任意正实数 x、y 恒成立，只要1 94 ,即 a ，故正实数 a 的最小值为98116 8116错因诊断以上解法因忽视等号成立而导致错误，这种错误比较隐蔽不易察觉，本题中，当 a= 时，固然有（x+y）( +8116 1） 对任意 x，y
5、恒成立，但当且仅当 x=y 且 = ，即 9 1 a=1 且 x=y 时才成立，显然 a=1 与 a= 两者相矛盾，故8116（x+y）( + ） ，4 和 a= 中的等号都不能成立1 4 9 8116正解由（x+y）( + ）1=1+a+ + 1+a+2 = ， （ 1+） 2由 a 4，当且仅当 a=4 且 x=y 时，（ 1+） 29 （x+y）（ + ） 且 9 和 a 4 中1 （ 1+） 2 （ 1+） 2 的等号都成立，故正实数 a 的最小值为 4纠错反思 正确运用题设，合理地将已知条件 实施等价 转换，从而达到化难为易，化繁为简 ，化未知 为已知之目的，要切实注意“等价转换”
6、过程中的隐含条件纠错良方:要深入理会，充分挖掘隐含条件，有意识地重点关注：等式成立的条件、变量的取值范围、隐蔽的性质、常识性结论等错误档案：（1）若直线 L：y=k（x-2）+2 与圆 c:有两个公共点，则实数2+222=0k 之取值范围为 解题时由于没有充分挖掘隐含条件“点（2，2）在圆 C 上”，以致把问题复杂而造成错解，事实上只需考虑直线 L 与圆 C 不相切即可（2）已知函数 的()=+2定义域为（- ），且 ，求关， 2+2 |- 等性质，导致没能找到解题 |的切入点。错因 3：曲解题意本质例 3 已知电流 I 与时间 t 的函数关系为：I=Asin（ wt+）。1、如右图是I=As
7、in（ wt+）（|0)，21150 1150w 150 471，又 w 是整数，故 w 的最小正整数 为 472错误诊断 错将题意中“ 任意一段 ”理解为“存在一段”正解 依题意：周期 T 即1150 21150(0)w 300 942，又w 是整数，故 w 的最小 正整数为 943错因反思 见到熟悉题型切不可沾沾自喜，审题时粗枝大叶，没有深刻领会条件中的关键字眼就轻率落笔，容易掉进命题者设计的圈套中得：22+1+3+8 条，其实上面的支路通电有：（+ ）（ + ）=9 条（即二条中至少有一条1222 1222通电且另二条中至少有一条通电），下面的支路通电有： + + =7（条）（即三条中至
8、少有132333一条通电），故共有 9+1+7=17（条）（2）（2007 年浙江高考题）直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是（ ）A. x+2y-1=0 B. 2x+y-1=0C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0 这道题常见错误是：将直线 x-2y+1=0中的 x 换成-x，故选 A；原来直线与直线 x=1时的交点为（1，1），所求直线经过点（1，1）且与已知直线垂直，故得直线：2x+y-3=0 选 C症状二：知识性失误文科考生知识掌握不够熟练，借助死 记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面， 对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力纠错良方
9、：知识是能力的载体，基本知识 和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认 真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞错因 1 概念理解偏差例 4 某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：种子粒数2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000发芽粒数2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715则一粒种子发芽的概率为 错解 种子粒数较大时，误差较小，故该菜籽发芽的概率为：P=21753000=0.905错因诊断 随机事件在一次试验中发生的频率纠错良方：掌握概念内涵，弄懂概念外延，准确把握，透彻理解错误档案：（1）若函数 处的导
10、数为 A，()在 =且： = 0 （ +） （ ）A，则：之值为（ 0（ +） （ ）A.A B.2A C. A D. -2A错误原因是对导数概念理解不清，即：(a)=0（ +） （ ）4=-11()(x)=03=7= ，它随着试验次数的改变而改变，在大量重复频 数试验 次数试验 中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近一个常数，这个常数就是随机事件发生的概率正解 我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别为：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905，随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于 0.9，且在
11、它附近摆动，故此种子发芽的概率为 0.9错因反思 当试验次数越来越大时，频率趋向于概率，但不是概率，而随机事件的概率应该是接近于频率各个值的一个常数，不能曲解“概率”概念的本质（2）（2006 年全国高考题）若 x= ，则13（3x+2） 10 的展开式中最大项是（ ）由 n=10，可知系数最大项为第 6 项，即：T6= 525=8064，以上解法错误地理510（ 313）解为求“二项式系数最大的项”，而问题是求展开式中数值最大的项，从而导致概念错误错因二：运用结论致错例 5 （2007 年重庆高考题）定义域为 R 的函数在（ 8，+ ）上为单调递减，且函数 y=() 为偶函数，则（ ） (+
12、8)B. .(6)(7) (6)(9) C. D. (7)(9) (7)(10)错解 根据 y= 为偶函数，所以 = ( +8) (+8)，又令 t=8+x， 代入 = (8) (+8)中得： = ，所以函数 是偶 (8) () () ()函数，再去选择答案时，发现不能确定对错错因诊断 对偶函数的性质运用产生错误正解y= 是偶函数 (+8)，即 y= 关于直线 x=8 (+8)= (+8) ()对称，又 在（ 8，+ ）上为减函数，故在（-() ）上为增函数，检验知：选 D， 8纠错反思 由 为偶函数，则有()= ，而不是 = ，该() () () ()题还可把 y= 向右平移 8 个单位得到
13、 y= (+8)纠错良方：产生因运用结论（定理、性质、公式、常用性结论）不当而致错的根本原因是：对相关结论成立的背景不熟，结论的变式理解不透，没能准确把握，似是而非，突破方法是：透彻理解，准确掌握，灵活运用，及时反思错误档案：（1）（2006 年重庆高考题）设函数 =()的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点332+3（1，-11 ），求 a、b 之值？错解为：由 (x)= 326+3依题意知：错误原因是：误把切点当极值点得到 (1)=0这个结论，而应该是 (1)=-12，联立可得 a=1 b=-3（2）（2007 辽宁高考题）设等差数列a n的前几项和为 Sn，若 S3=9，S 6=36
14、，则： a7+a8+a9=（ ）5图象，故 y= 的对称轴为 X=8，从而得到() ()的单调性()A.63 B.45 C.36 D.27错解为：S 3，S 6，S 9 成等差数列，又 S6-S3=27 ，S 9=63 错选 A 或 D，事实上： S3，S 6- S3，S 9- S6 才是等差数列，S 9- S6=45 选 B错因 3：知识变通性差例 6（2007 年湖北卷文）已知函数=2sin2（ ）- cos2x，x ， ，()4+ 3 4 2求 的最大值和最小值？若不等式 |()|0 ）的因素关于原点对称，则 y = 的() ()解析式为（ ）A. = (x0) ()12纠错良方转化与化
15、归是处理新问题的基本思路，但不是盲目套用经验，既要看清新题与陈题的相似之处，更要弄准其不同的地方，切不可见到一点类似，就去直接套用老方法解，7B. = (x0） ()D. =-log2 （ 0）得： = (x0）恒过点（1，0），()所以 y=f（x）恒过点（-1，0 ），所以选 B错因诊断 第一种解法没有真正理解对称的含义，不清楚利用图系变换去求函数表达式的方法第二种解法主观臆断，以为只要恒过点（-1，0）的解析式即为所求正解：设 y=f（x）上任一点 p（x,y），由于 p 关于o 对称的点 p（ -x,-y）在 y=g（x）上，-y=log 2（ ）即-y=-log2（- x）这里-x0
16、，x0）上一定点 M（x 0，y 0）（y 00），作两条直线分别交抛物线于 A（x 1,y1），B（x 2,y2），当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则： =（ ）1+20A. 4 B. -4 C.2 D. -2错解K mA= 且 KmB= ，而直线 MA 与10102020MB 的斜率存在且倾斜角互补，K mA+KmB= + 1010 = 0，如何由上式求出 =？因太繁琐而放弃20201-20求解错因诊断 此思路易想但离结果太远，因而这种解法不可取，应另辟途径正解 2=2p ， = ，同理： = ，x 2=0 0 0022 1122，代入 + = +022 1-01-0 2-0
17、2-0 21+0 22+0= =0， =- ，即2（1+2+20）（1+0）（2+0） 1+2 20=-2，故选 D1+20错因反思 在高考中，解题过程的繁琐，不仅会造成错解，更是“ 潜在失分” ，即使没有做错，也由于耽误了时间，影响其它题的得分，因此必须重视解法的选择，合理选取简捷方法纠错良方首先要熟练掌握每一类题型的解题通法，这是高考考查热点，其次平时在解题时要有意识地一题多解，通过比较找准最简单易求的方法，烂熟于心，第三，临场时要认真审题，回顾比较才能精选优法。错误档案（2007 年合肥联考）已知等差数列5，8，11，与 3，7，11均有 100 项，问有多少个数同时在这两个数列中出现？
18、错误处理方法为：第一个数列a n通项公式为：a n=3n+2；第二个数列 bn通项公式为：bn=4n-1。令：a n=bn，则 3n+2=4n-1，n=3 ，即只有一项 a3=b3=11，同时在两个数列中出现显然，这个结论是错误的原因是设 an=bn 不妥当，因为一个数同时在两个数列中出现时，该数在两个数列中的位置未必相同正解为：对于 an=3n+2（1 ），100bk=4k-1（1 ），令 an=bk， 1003n+2=4k-1， k= ，设3（+1）4n+1=4t（ t N*） n=4t-1k=3t又由 1 n，k 1 t 25，即有 25 10， 个数同时在两个数列中出现10错因 3：答
19、题不合规范例 12如图三梭锥 S-ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形， ，O 为 BC 中点，证明：SO 平面=90 ABC， 求二面角 A-SC-B 之余弦值？错解 (I)由题设 AB=AC=SB=SC=SA，连结 OA， ABC 为等腰 Rt，所以：OA=OB=OC= SA，且 AO22SBC 为等腰，故 SO 又SA，从而且 =22OA2+SO2=SA2，所以 AOS 为直角三角形，SO ，又 AO BO=0，所以 SO 平面 ABC(II)取 SO 中点 M，连结 AM、OM，由（I）知：SO=OC，SA=AC，得 OM SC，AM SC， 且 SO为 二面角 -
20、之平面角，由 ，于 0，平面 SBC，所以 AO SBC 中，OM= BC，得： ，在22在ABC 中，OA= AC，且 AC=SC，所以：tan OMA= =122 ，其余弦值为 =4522错因诊断 该解法错误之处在于题目中边角关系过多，没有理顺，特别是把SBC 当作等腰直角三角形，致使计算“在 SBC 中，OM= SC”出现错误22正解（II）所以 AO OM，又 AM= SA，故 sin AMO=32 = ，所以二面角 A-SC-B 之余弦值为23 63 63错因反思 叙述要去粗取精，突出思路，紧扣定理应用，做到详略得当纠错良方答题不规范，直接影响得分高低，突破方法是对照高考标准答案，学
21、标答的叙述过程及思路，重点关注如下几点：1、叙述必须从条件出发，然后去展开2、答题叙述必须能展示完整解题思路3、每步书写必须给出定理和重要结论的应用过程4、叙述要详细得当，该推理处重推理，该计算处重计算平时必须有意识地训练叙述，逐渐规范答题错误档案（2007 年北京高考题）如图，在 RtAOB 中，=6斜边AB=4，RtAOC 可以通过 RtAOB，以直线 AO 为轴旋转得到且二面角B-AO-C 是直二面角，动点 D 在斜边AB 上，求证：平面 COD 平面 二面角 B-AO-C 是直二面角CO BO，又CO AO，CO 平面 AOB，又 CO 在平面 COD 内，平面 COD 平面 AOB该证明过程在应用“二面角 B-AO-C 是直二面角” 时，未详细论述二面角的平面角是什么，而直接得到结论“CO BO”，跨度过大，线面垂直时，要把平面的两条相交直线说清楚，显然条件“ AO BO=O”未罗列，故易失分以上列举的四类症状是考生在学习和考试中经常遇到的，也是同学们失分频率较高的地方，因此在平时的复习和解题中要处处留心，针对性地加以训练，尽量避开这些误区，努力考出自己的最优成绩！11131415
